Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chuyên đề 1: Đạo hàm và các ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠO HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG. 1. Đạo hàm 1.1 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa: B1: Cho x0 số gia Dx và tính Dy = f(x0 + Dx) - f(x0) B2: Lập tỉ số: B3: Tìm giới hạn: 1.2 Phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là: y - y0 = f'(x0)(x - x0) 1.3 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: 1.3.1. y = c Þ y' = 0. 1.3.2. y = x Þ y' = 1. 1.3.3. y = xn Þ y' = n.xn-1 (n ³ 2, n Ỵ N). 1.3.4. y = Þ y' = . 1.4 Các quy tắc tính đạo hàm: 1.4.1. (u + v -w)' = u' + v' - w' 1.4.2. (k.u)' = k.u'. 1.4.3. (u.v)' = u'.v + u.v', (u.v.w)' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'. 1.4.4. 1.4.5. y'x = y'u.u'x. 1.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u=u(x) (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tgx)' = 1 + tg2x = (cotgx)' = - (1 + cotg2x) = (sinu)' = u'.cosu (cosu)' = - u'.sinu (tgu)' = u'(1 + tg2u) = (cotgu)' = - u'.(1 + cotg2u) = 1.6 Đạo hàm cấp cao: f(n)(x) = (f(n - 1)(x))' (n ³ 2) 1.7 Vi phân: dy = y'dx hay df(x) = f'(x) dx. 2. Ứng dụng của đạo hàm: 2.1. Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến: 2.1.1. Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). + Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. + Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. 2.1.2. Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc khoảng (a;b). Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f'(x) không xác định hoặc bằng 0. 2.2. Tìm cực đại và cực tiểu: 2.2.1. Quy tắc I: B1: Tìm f'(x). B2: Tìm các điểm tới hạn (giải phương trình f'(x) = 0.) B3: Xét dấu của đạo hàm. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. 2.2.2. Quy tắc II: B1: Tìm f'(x). B2: Tìm các điểm tới hạn xi (i = 1, 2, 3)(giải phương trình f'(x) = 0.) B3: Tính f''(x) B4: Từ dấu của f"(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu II. (Nếu f''(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu. Nếu f''(xi) < 0 thì xi là điểm cực đại.) 2.2.3. Bổ sung quy tắc xét dấu: + Quy tắc xét dấu nhị thức bậc nhất: "Trái trái, phải cùng" + Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai: . Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt: "Trong trái, ngoài cùng" . Trường hợp tam thức vô nghiệm hay có nghiệm kép: "Luôn cùng dấu với hệ số a" 2.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Quy tắc tìm và: B1: Tìm các điểm tới hạn x1, x2, , xn của f(x) trên đoạn [a;b] B2: Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b). B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. M = , m = 2.4. Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị: 2.4.1. Tìm các khoảng lồi, lõm: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b). + Nếu f''(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó. + Nếu f''(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó. 2.4.2. Tìm điểm uốn của đồ thị: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm đến cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M0(x0, f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. 2.5. Tìm tiệmcận: 2.5.1. Tiệm cận đứng: Nếu thì đường thẳng d có phương trình x = x0 là một tiệm cận của đồ thị (C). 2.5.2. Tiệm cận ngang: Nếu thì đường thẳng d có phương trình y = y0 là một tiệm cận của đồ thị (C). 2.5.3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng (d): y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị (C) khi và chi khi: (d là tiệm cận xiên bên phải của (C)) hay (d là tiệm cận xiên bên trái của (C)) hay (d là tiệm cận xiên của (C)) (Trong đó: a = , b = ) * CÁCH KHÁC: Nếu hàm số đã cho là hàm hữu tỉ (bậc tử > bậc mẫu), chia đa thức ta được y = ax + b + P(x). Chứng minh , thì y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị (C).