Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chuyên đề 5: Tích phân.

CHUYÊN ĐỀ 5: Tích phân. 1. Định nghĩa: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là . Ta cũng dùng ký hiệu để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Theo định nghĩa ta có: : công thức Newton - Laipnit. Trong đó: + f(x)dx: biểu thức dưới dấu tích phân. + f(x): hàm số dưới dấu tích phân. + f(x)dx: vi phân của mọi nguyên hàm của f(x). + a, b: các cận của tích phân, a: cận trên, b: cận dưới. + x: biến số tích phân. 2. Các tính chất của tích phân: 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. f(x) ³ 0 trên đoạn [a;b] Þ 2.7. f(x) ³ g(x) trên đoạn [a;b] Þ 2.8. m f(x) M trên đoạn [a;b] Þ m(b - a) M(b - a) 2.9. t biến thiên trên đoạn [a;b] Þ G(t) = là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. 3. Các phương pháp tính tích phân: 3.1. Phương pháp đổi biến số: 3.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1: + B1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và u(a) = a, u(b) = b. + B2: Biến đổi f(x)dx = f[u(t)].u'(t)dt = g(t)dt. + B3: Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t). + B4: Tính . 3.1.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2: + B1: Đặt t = v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục. + B2: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử: f(x)dx = g(t)dt. + B3: Tìm một nguyen hàm G(t) của g(t). + B4: Tính . 3.2. Phương pháp tích phân từng phần: Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì: hay * Chú ý: + Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm ln(fx) thì ta đặt u = lnf(x), phần còn lại là dv. + Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm đa thức P(x) và một hàm số khác (lượng giác, hàm số mũ,) thì ta đặt u = P(x), phần còn lại là dv. 4. Ứng dụng của tích phân: 4.1. Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng của hình được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1(x), y = f2(x) và các đường x = a, x = b, được cho bởi công thức: S = S = (với a, b Ỵ[a;b] là các nghiệm của phương trình f1(x) - f2(x) = 0) 4.2. Diện tích của hình tròn và hình elip: S = S = 4.3. Thể tích của vật thể tròn xoay: (vật thể quay xung quanh Ox) hay (vật thể quay xung quanh Oy)