Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chuyên đề mũ logarith

Chuyên đề MŨ_ LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 TUYỂN TẬP ĐỀ THI “TOÁN HỌC TUỔI TRẺ”: MŨ- LGARITH Đề 1: THTT 2010 Giải phương trình: 2log 23 1x x= - (1) Bài giải: TXĐ: ( )0;D = +¥ . Đặt 2log 2tt x x= Û = Lúc đó, (1) trở thành: 3 13 1 4 1 4 4 t t t t æ ö æ ö+ = Û + =ç ÷ ç ÷è ø è ø (*) Dễ thấy 3 1( ) 4 4 t t f t æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷è ø è ø nghịch biến trên R nên (*) có nghiệm duy nhất 21: log 1 2t x x= = Û = Đề 2: THTT 2010 Giải bất phương trình: ( ) ( )2 22 log 2 log 62 3.2 1x xx x - +-+ > (1) Bài giải: TXĐ: ( )0;D = +¥ . ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3.2 1 (I) 2 log 2 log 6 0 (1) 2 3.2 1 (II) 2 log 2 log 6 0 x x x x x x x x - - éì + >ïêí - + >êïîÛ ê ì + >êï íê - + >ïêîë Giải hệ (I) và (II), đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của (1) là ( )3;T = +¥ . Đề 3: THTT 2010 Giải phương trình: ( )222 1 2 2 log 4 3 log 1 2 0x x x- + + - - ³ Bài giải: TXĐ: ( ) ( );1 3;D = -¥ È +¥ . Bpt ( ) ( )2 2log 1 3 2 log 1 2 0x x xÛ - - - - - ³ ( ) ( ) ( )22 2 2 3 3 log 1 3 log 1 2 log 2 4 ... 1 1 x x x x x x x - -Û - - - - ³ Û ³ Û ³ Û - - Giải và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của (1) là 1 ;1 3 T é ö= ÷êë ø . Đề 4: THTT 2010 Giải phương trình: ( ) ( )3 2 2 2 2 1 3 0x x+ - - - = (1) Bài giải: TXĐ: D R= . ( ) ( )2(1) 2 1 2 2 1 3 0 (*)x xÛ + - - - = Chuyên đề MŨ_ LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 Đặt ( ) ( ) 12 1 0 2 1x xt t = + > Þ - = Phương trình (*) trở thành: ( ) ( )2 3 2 1 (lo¹i)2 3 0 3 2 0 1 2 0 2 (nhËn) t t t t t t t t t = -é - - = Û - - = Û + - - = Û ê =ë Với ( ) 2 12 : 2 1 2 log 2 x t x += + = Û = . Đề 5: THTT 2010 Giải phương trình: ( )2 2 9 log 9 log 0 x x x x +é ù+ + =ë û (1) Bài giải: TXĐ: ( ) ( ); 9 0;D = -¥ - È +¥ . ( ) ( )22 2 2 9 (1) log 9 log 0 log 9 0 10 x x x x x x +é ùÛ + + = Û + = Û = -ë û (thỏa) Đề 6: THTT 2010 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (với 2n ³ ), ta có: ( ) ( )2ln ln 1 . ln 1n n n> - + Bài giải: Với 3n = thì BĐT hiển nhiên đúng. Xét 3n > , khi đó ( )ln 1 0n - > và ln 0n > . BĐT tương đương với: ( ) ( )ln 1ln ln 1 ln nn n n + > - (1) Xét hàm số ( ) ln ( ) ln 1 x f x x = - , với 3x > là hàm nghịch biến nên BDDT (1) đúng (đ.p.c.m) Đề 7: THTT 2010 Giải phương trình: 3 .2 3 2 1x xx x= + + (1) Bài giải: TXĐ: D R= . ( )(1) 3 2 1 2 1x x xÛ - = + (*) Nhận xét rằng 1 2 x = không là nghiệm của phương trình (*), nên (*) có dạng: 2 13 2 1 x x x + = - (**) Hàm số 2 1 2 1 x y x + = - nghịch biến trên mỗi khoảng 1 1; , ; 2 2 æ ö æ ö-¥ +¥ç ÷ ç ÷è ø è ø và hàm số 3xy = đồng biến trên R nên (**) có nghiệm 1; 1x x= - = . Kết luận: Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 1; 1x x= - = . Đề 8: THTT 2010 Tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ sáu của khai triển nhị thức ( ) ( )lg 10 3 5 2 lg32 2 x n x- -æ ö+ç ÷ç ÷è ø bằng 21 và 1 3 22n n nC C C+ = . Bài giải: Chuyên đề MŨ_ LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 Ta có: ( )1 3 2 22 , 3 9 14 0 7.n n nC C C n N n n n n+ = Î ³ Û - + = Þ = Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 lg 10 3 lg 10 3 2 lg35 2 lg35 2 7 2 . 2 21 2 1 10 3 .3 1 x x xx x xC - - + -- -æ ö æ ö = Û = Þ - =ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø Vậy 0; 2x x= = là yêu cầu bài toán. Đề 9: THTT 2010 Giải phương trình: 2 2 13 .2 6 x x x- = (1) Bài giải: TXĐ: 1\ 2 D R ì ü= í ý î þ . Lấy logarith cơ số 3 hai vế của (1) và biến đổi về dạng: ( ) ( )2 31 2 1 log 2 0x x x- + - - = Kết luận: Nghiệm phương trình là 3 3 1 9 8log 2 1 9 8log 2 1; ; . 4 4 x x x - - + - + + = = = Đề 10: THTT 2010 Tìm GTNN của biểu thức 2 2 22 2 2log 1 log 1 log 4P x y z= + + + + + trong đó , , x y z là các số dương thỏa mãn điều kiện 8xyz = . Bài giải: Áp dụng BĐT: ( ) ( )2 22 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3a b a b a b a a a b b b+ + + + + ³ + + + + + Ta được: 2 2 2 2 22 2 2 2log 1 log 1 log 4 log 4 5P x y z xyz= + + + + + ³ + = Suy ra: min 5P = đạt được khi 4 8; 2 2.x y z= = = Đề 11: THTT 2010 Giải hệ phương trình: ( ) 3 1 2 3 1 2 2 2 2 2 17.2 (1) log 3 1 log 1 (2) x y y x x xy x + + + -ì + =ï í + + = +ïî (I) Bài giải: Điều kiện: 23 1 0 1 0 x xy x ì + + >ï í + >ïî Từ (2) của hệ suy ra: ( ) 03 1 0 1 3 x x x y y x =é + - = Û ê = -ë Với 0x = thay vào (1) ta được: 1 2 4 4 2 4.2 17.2 2 log 9 9 y y y y-+ = Û = Û = Với 1 3y x= - thay vào (1) ta được: 3 1 3 32 2 17.x x+ -+ = Đặt 32 0xt = > ta có: 2 1 2 17 8 0 1 2 t t t t =é ê- + = Û ê = - ë suy ra 2; 2.y y= - = Kết luận: Vậy hệ (I) có nghiệm là ( )2 4 1 0;log ; 1; 2 ; ;2 . 9 2 æ ö æ ö- -ç ÷ ç ÷è ø è ø Chuyên đề MŨ_ LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 Đề 12: THTT 2010 Giải phương trình: 2 2 2 4 2 4log log log64 3.2 3. 4x x xx= + + (1) Bài giải: TXĐ: ( )0;D = +¥ . Đặt 2 4log4 0xt = > thì 2 2log 22 x t= và 2 4log 364 x t= . (1) trở thành: ( ) ( )24 1 0 4t t t t- + + = Û = . Với 2 4log 2 4 4 4 : 4 4 log 1 1 4 x x t x x =é ê= = Û = Û ê = ë Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình (1) là 14; . 4 x x= =