Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Đại số tổ hợp

ĐẠI SỐ TỔ HỢP Lý thuyết: Qui tắc nhân: Giả sử một nhiệm vụ H nào đó được thục hiện lần lượt qua K giai đoạn như sau: Giai đoạn thứ K1 có n1 cách thực hiện. Giai đoạn thứ K2 có n2 cách thực hiện. . Giai đoạn thứ K có nk cách thực hiện. Mỗi cách làm trên không trùng với bất kỳ một cách làm nào của việc còn lại. Khi đó để hoàn thành công việc H ta phải thực hiện đồng thời K giai đoạn trên nên có: n1.n2nk cách thực hiện. Qui tắc cộng: Một công việc H bao gồm k công việc H1, H2, H3, , Hk; với mỗi công việc độc lập nhau, trong đó: Công việc H1 có n1 cách thực hiện. Công việc H2 có n2 cách thực hiện. Công việc H3 có n3 cách thực hiện. Công việc Hk có nk cách thực hiện. Khi đó để hoàn thành công việc H ta có thể thực hiện một trong k công việc Hi, i = , suy ra số cách thực hiện công việc H là: n1 + n2 + n3 + + nk. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A có n phần tử và một số tự nhiên k n. Thành lập một dãy con gồm có k phần tử được lấy ra từ n phần tử sao cho: Các phần tử trong dãy đôi một khác nhau. k phần tử này sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Khi đó, số dãy con gồm có k phần tử thõa mãn hai tính chất trên được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Kí hiệu: . Hoán vị: Cho trước một tập hợp có n phần tử. Khi xếp các phần tử của chúng cạnh nhau ta có được một dãy n phần tử của tập hợp đã cho và gọi nó là một hoán vị của n phần tử đã cho. Khi đó số các hoán vị khác nhau của một tập hợp n phần tử là: Pn = n!. Tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử và một số tự nhiên k n. Một dãy đọ dài k được lấy ra từ n phần tử đôi một khác nhau gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Kí hiệu: Một số tính chất: (học sinh tự chứng minh coi như bài tập) . . . . . . Nhị thức Newton: . Chú ý: Số hạng tổng quát thứ k+1 là: . Hệ số của số hạng thứ k+1 là giá trị không chứa biến. Ví dụ: số hạng thứ 3 của khai triển (1 + 2x)n là . Hệ số của số hạng thứ ba của khai triển đó là . Bài Tập: Cho bảy chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ bảy chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 5 chữ số khác nhau? (ĐS: 2520) Từ bảy chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 5 chữ số khác nhau đều là số chẵn? (ĐS: 1080) Từ bảy chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 5 chữ số khác nhau mà nhất thiết phải có số 7? (ĐS: 1800) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ các số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? (ĐS: 720) Trong các số trên có bao nhiêu số lẻ? (ĐS: 360) Trong các số trên có bao nhiêu số trong đó có mặt hai chữ số 1 và 2? (ĐS: 480) Cho 5 chữ số: 0, 1, 3, 6, 9. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau? (ĐS: 96) Trong các số trên có bao nhiêu số chẵn? (ĐS: 42) Cho 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số: Khác nhau? (ĐS: 600) Số lẽ? (ĐS: 312) Có mặt chữ số 0? (ĐS: 480) Từ các số 1, 2, 3, 4 có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: Bắt đầu bằng chữ số 1? (ĐS: 6) Không bắt đầu bằng chữ số 2? (ĐS: 18) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập nên từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và lớn hơn 300000? (ĐS: 480) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách thành lập những số gồm 4 chữ số khác nhau, biết: Các số này < 5000. (ĐS: 120) Các số này chẵn < 7000. (ĐS: 120) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? (ĐS: 1560) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? (ĐS: 3024). Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5? (ĐS: 54 số) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. (ĐS: 625 số) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau? (ĐS: 2296 số) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung một bó hoa gồm 10 bông hồng trắng và một bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm vào bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất: 2 bông trắng và 2 bông nhung. (ĐS: 10800) 1 bông trắng và một bông nhung. (ĐS: 15000) Có bao nhiêu cách xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên cùng một ghế dài sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau? (ĐS: 24) Gieo 3 hột xúc sắc vào trong một cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả cả thảy? (ĐS: 216) Có 5 con đường nối từ thành phố X đến Y, có 4 con đường nối từ thành phố Y đến Z. Muốn đi từ X đến Z phải đi qua Y. Hỏi: Có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z? (ĐS: 20) Có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi lại về X bằng những con đường khác nhau? (ĐS: 240) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi? (ĐS: 35) Một nhóm gồm 10 học sinh (7 nam và 3 nữ). Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng gần nhau? (ĐS: 120960) Có 10 câu hỏi (4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập). Một đề thi gồm có 3 câu có cả lý thuyết và bài tập. có bao nhiêu cách tạo đề thi? (ĐS: 96) Lớp học có 40 học sinh (25 nam và 15 nữ) cần chọn một nhóm gồm 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách: Chọn 4 học sinh bất kỳ? (ĐS: 94390) Gồm 1 nam và 3 nữ? (ĐS: 11375) Gồm 2 nam và 2 nữ? (ĐS: 31500) Có ít nhất 1 nam? (ĐS: 90025) Tìm n sao cho: . (ĐS: n = 4) . (ĐS: n = 5) . (ĐS: n = 2) . (ĐS: n = 5) . (ĐS: n = 2 v n = 3) Tìm biết rằng: (ĐS: k=4 hoặc k=8) Giải các phương trình: . (ĐS: x = -1 v x = 4) . (ĐS: x = 5) . (ĐS: x = 4). (ĐS: x=7) Giải phương trình: . (ĐS: n = 5) Giải phương trình: . (ĐS: n = 6 v n = 11) Giải hệ phương trình: . (ĐS: x = 4, y = 2). Giải hệ phương trình: . (ĐS: x = 7, y = 4) Tìm n biết: . (ĐS: n = 2 v n = 3) Giải bất phương trình: (ĐS: ). Khai triển của có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó. (ĐS: 126x) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau: . (ĐS: -8064). Trong khai triển nhị thức , hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết . (ĐS: ) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng trong khai triển đó. Tìm hệ số trong khai triển (a + b)8. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toan và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đòn như trên? Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9? Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau? Từ các sô 0,1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9? Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3? c. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1. d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ? Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:\ a. Bạn C ngồi chính giữa. b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế? Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau? Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a. Các học sinh ngồi tuỳ ý? b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn? Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu a. Năm chữ số 1 xếp kề nhau b. Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý? Giải phương trình với x là số tự nhiên khác 0. Giải bất phươngtrình Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau? Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?? Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau a. Chia hết cho 5 b. Không chia hết cho 5? Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó a. Số tạo thành là số chẳn? b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1? c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5?? d. Phải có mặt hai số 0 và 1? Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?? Giải các phương trình và bất phương trình sau: a. b. c. Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý? b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?? Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? Có 5 tem thư khác nhau và 6 bìthư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư đã chọn. Mỗi bì thưchỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế?? Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp? Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau? b. Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá một nam? Có hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy? Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn a. Sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu? b. Không có đủ ba màu? Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Đội TNXK của một trường có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?? Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Cử 8 em đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách cử như vậy? Giải các PT và BPT sau: 1. 2. 3. 4. 5. 5 Giải hệ Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,3,4,5,6. trong đó 1 và 6 có mặt hai lần, các số còn lại 1 lần. Có bao nhiêu số chẳn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẳn và 3 chữ số lẻ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhưng không có mặt số 1, Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ sô biết rằng sô 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại không quá một lần? Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2  có n điểm phân biệt (n>1). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đó cho. Tỡm n. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6, có thể lâp bao nhiêu số chẳn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đo có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau? Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển: Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau: a. b. Tìm hệ số của trong khai triển của . Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển Trong khai triển tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau? Biết khai triển . Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm số hạng không chứa x? Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x4. Cho khai triển . Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 5. Tìm số hạng chính giữa? Cho khai triển . Biết tổng ba hệ số đầu là 33.Tìm hệ số của x2. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển . Biết rằng . Khai triển (3x-1)16. Từ đó chứng minh Chứng minh: a. b. Chứng minh rằng: Tính tổng a. S= b. S = Chứng minh rằng: a. b. Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)n trong đó n thoả mãn hệ thức sau Giải phương trình sau Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển biết n thoả mãn hệ thức . Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2+x)n biết Tìm hệ số của x6 trong khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1+2x+3x2)10. Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+......+15(1+x)15. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5 + x2(1+3x)10 Tìm số hạng không chứa x khi khai triển P(x) = Tìm hệ số của số hạng chứa khi khai triển P(x) = Chúng minh hệ thức sau a. b. Tính tổng a. S = b. S = Chứng minh rằng Tìm n nguyên dương sao cho: Tính tổng: S =