Giáo án lớp 12 môn Đại số - Định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm

Tuần 1: Tiết 1-2 : Chương I §1.ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I.MỤC TIÊU BÀI DẠY : Nắm được định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm II. ĐỒ DÙNG DẠY HỌCÏ : Minh hoạ vận tốc và ý nghĩa đạo hàm III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 1. Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh 2. Kiểm tra bài cũ : 3. Bài mới: TG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ NỘI DUNG GV: Nhắc lại số gia của biến số và số gia của hàm số: + x = x – x0 (xx0) + y = f(x0+ x) –f (x0) GV:Cho một ví dụ để HS nhận xét cách giải HS:trả lời,GV củng cố và nêu: HS:giải ví dụ, GV: sửa và Nhắc lại cách tìm giới hạn (lớp 11) GV:Tương tự ta có đạo hàm một bên GV:Tồn tại đạo hàm khi nào? Suy ra điều gì ? HS:giới hạn trái và phải bằng nhau . Suy ra đạo hàm của hàm số tại điểm x0 tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm bên trái và bên phải tại x0 bằng nhau GV: Kết luận và đưa ra định lí GV:Nhắc lại tính chất Hàm số liên tục tại xo = f(x0) HS: Nhận xét để có tính chất mới : f(x) lt tại x0 = 0 GV: Đảo lại có đúng không ? HS: Trả lời, giáo viên cũng cố và đưa ra chú ý GV:Chuyển sang ý nghĩa hình học của đạo hàm, giáo viên treo hình vẽ GV: Cho 2 ví dụ cho 2 học sinh lên bảng , cả lớp giải nháp và so sánh kết quả trên bảng 1.Bài toán vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng: (SGK) 2.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0Ỵ(a;b). Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại xo được kí hiệu là y’(x0) hay f ’(x0) .Được định nghĩa như sau: hay 3.Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa: 1.Cho x0 số gia x và tính : y = f(x0+ x) – f (x0) 2.Lập tỉ số : 3.Tìm giới hạn : Ví dụ:Tính đạo hàm của hàm số sau: tại điểm x0 = – 1 4.Đạo hàm một bên: Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại x0 , Kí hiệu là: f ’() được định nghĩa là f ’() = Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại x0 , Kí hiệu là: f ’() được định nghĩa là: f ’() = Định lí: Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi f ’() và f ’() tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f ’(x0) = f ’() = f ’() 5.Đạo hàm trên một khoảng. Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b) nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b Kí hiệu: y’ hay f’(x) 6.Quan hệgiữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Định lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , thì nó liên tục tại điểm đó. Chứng minh: Ta có: = = y’(x0).0 = 0 Vậy hàm số liên tục tại x0 Chú ý: Đảo lại không đúng. Ví dụ: Xét hàm số y= çx ç tại điểm x0 = 0 Tóm lại: f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0 7. Ý nghĩa của đạo hàm. Ý nghĩa hình học. a.Tiếp tuyến của đường cong phẳng. Cho một đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M0 trên (C) .Kí hiệu M là một điểm di chuyển trên (C) ; đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C). Định nghĩa. Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C). Điểm M0 được gọi là tiếp điểm. b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại điểm x0 Ỵ(a;b) ; gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Định lý. Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0;f(x0)). Tức là: f ’(x0)= hệ số góc của tiếp tuyến M0T c. Phương trình của tiếp tuyến. Định lí. Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là: Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số: 1. y = x2 +2 tại điểm M Ỵ (C) có hoành độ x = -1 2. tại điểm MỴ(C) có hoành độ x = -1 2.Ý nghĩa vật lý. a.Vận tốc tức thời. Xét chuyển động thẳng xác đinh bởi phương trình: s = f(t); ( f(t) là hàm số có đạo hàm) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t0 : Vậy: v(t0) = s’(t0) = f ’(t0) b. Cường độ tức thời. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , Q = f(t) (f(t) có đạo hàm ) Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t là đạo hàm của điện lượng Q tại t: It = Q’(t) 4.Củng cố: Dùng định nghĩa đạo để tính đạo hàm số: x ; x2 ; ; tại điểm x0 5.Dặn dò:Các em giải bài tập (SGK) và xem trước bài:” Các qui tắc tính đạo hàm” *******o0o******* Tuần 2: Tiết 5-6 : Chương I §2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU : Nắm được các quy tắc tính đạo hàm. II. PHƯƠNG PHÁP: -Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề. III. cÁC BƯỚC LÊN LỚP : 1. Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh 2. Kiểm tra bài cũ :Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=x2+3x+2 tại x0=1/2 3. Bài mới: TG PHƯƠNG PHÁP NỘI DUNG GV cho HS tính đạo hàm các hàm số : x , , , x3 bằng định nghĩa từ đó đưa ra định lý. GV cho 4 nhóm HS giải ví dụ và chỉnh sửa GV chứng minh định lý GV cho 2 nhóm HS giải ví dụ và chỉnh sửa GV chứng minh định lý Chú ý. Có thể giải bằng cách sau: Ta có : y = (2 – x2)(3 +4x3) = – 4x5 + 8x3 – 3x2 + 6 Þ y’ =(–4x5 + 8x3 – 3x2 + 6)’ = – 20x4 + 24x2 – 6x GV cho 3 nhóm HS giải ví dụ và chỉnh sửa GV chứng minh định lý Chú ý.Đối hàm số ta có GV cho 3 nhóm HS giải ví dụ và chỉnh sửa GV hướng dẫn HS tìm hàm số trung gian của hàm số hợp y = f(g(x)): 1. y = 2. y = sin(2x –1)3 GV cho 2 nhóm HS giải ví dụ và chỉnh sửa. I.Đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Định lí: 1. (C)’ = 0 (C là hằng số ) 2. (x)’ = 1 "xỴR 3. "xỴR\{0} 4. "xỴR+ 5. (xn)’ = n.xn – 1 "xỴR , nỴN Chứng minh. (SGK) Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số: a. y = x3 , b. y = x4 , c. y = x10 , d. y = x100 II.Đạo hàm của tổng (và hiệu) những hàm số. a.Đạo hàm của tổng (hiệu). Định lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x , ta có: b.Tổng quát. Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1. y = x3 + + 2. y = x4 – x2 + 4 III.Đạo hàm của tích những hàm số. 1.Định lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x , ta có: 2.Hệ quả. Nếu k là hằng số thì: 3.chú ý: Ta dể dàng CM dược công thức suy rộng: Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1.y = (2 – x2)(3 +4x3) 2. y = x2(1– x)(x +2) 3. y = x(x +1)(x +2) 4. y = x(1– 3x2)(x +2) Giải.Ta có: 1.y’ = (2 – x2)’(3 + 4x3) + (3 + 4x3)’(2 – x2) = – 2x(3 + 4x3) + 12x2(2 – x2) = – 6x – 8x4 + 24x2 – 12x4 = – 20x4 + 24x2 – 6x IX.Đạo hàm của thương những hàm số. 1.Định lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x và v(x) ¹ 0 , ta có: 2.Hệ quả. a. (v = v(x) ¹ 0) b. ( nỴZ ) Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1. y = 2. y = 3. y = 4. y = Giải.Ta có: 1. y’ V.Đạo hàm của hàm số hợp. 1.Hàm số hợp. Xét hai hàm số g : (a;b) ® R và f : (c;d) ® R x a u = g(x) u a y = f(u) Khi đó , hàm số : h : (a;b) ® R x a y = f(u) được gọi là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = g(x) , kí hiệu là : y = f(g(x)) Ví dụ: Xét hàm số y = (x2 – 3x +1)2 Đặt: u = x2 – 3x +1 , ta có : y = u2 Như vậy hàm số y = (x2 – 3x +1)2 là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = x2 – 3x +1 2.Đạo hàm của hàm số hợp. a.Định lí. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu là và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu là và ta có: b.Hệ quả. i. Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y = (2x + 11)4 2. y = 3. y = (x2 + 1) 4. y = Giải. Ta có y’ = 4(2x + 11)3(2x + 11)’= 8(2x + 11)3 4.Củng cố: +Vận dụng các qui tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn 5.Dặn dò: +Các em giải bài tập (SGK) và soạn bài:” Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản” +Phân công 4 nhóm học sinh giải bài toán sau đây: Nhóm1:Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm của hàm số: y = sinx Nhóm2:Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm của hàm số: y = cosx Nhóm3:Dùng qui tắc đạo hàm của thương các hàm số , tính đạo hàm của hàm số: y = tgx biết (sinx)’ = cosx , (cosx)’ = – sinx Nhóm4:Dùng qui tắc đạo hàm của thương các hàm số , tính đạo hàm của hàm số: y = cotgx biết (sinx)’ = cosx , (cosx)’ = – sinx ********o0o******** Tuần : 3-4 Tiết :9-11 Chương I §3.ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU : Nắm được các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản II. PHƯƠNG PHÁP: -Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề. III. CÁC BƯỚC LÊN LỚP : 1. Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh 2. Kiểm tra bài cũ :Tính đạo hàm các hàm số sau: y=; y= 3. Bài mới: TG PHƯƠNG PHÁP NỘI DUNG GV nhắn lại các phép toán về giới hạn của hàm số. GV:Tính đạo hàm bằng định nghĩa gồm mấy bước? HS: Gồm ba bước GV nhắn lại các công thức lượng giác + cosa + cosb =2 + cosa – cosb =–2 + sina + sinb = 2 + sina – sinb = 2 Chú ý : GV nhắc lại các công thức lượng giác * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – sin2a GV cho HS chứng minh định lí GV hướng dẫn học sinh. Hàm số y = cos2(x2 + 1) = u2 với u= cos(x2 + 1) Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’ Học sinh áp dụng công thức để chứng minh: (tgx)’ GV hướng dẫn học sinh. Hàm số y = tg2(x2 +3x) = u2 với u= tg(x2 + 3x) Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’ Học sinh có thể áp dụng công thức để chứng minh hoặc áp dụng (tgu)’ GV hướng dẫn học sinh. Hàm số y = cotg4(x2 +x) = u4 với u= tg(x2 + x) Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’ Học sinh có thể dùng phép chia đa thức : GV nhắc các phép toán tính giới hạn. GV nhắc các phép toán về luỹ thừa. + an.am = an + m + + (a.b)n = an.bn + (an)m = an.m Chú ý: Nhắc lại: GV cho học sinh giải và nêu kết quả. HS1: y’ HS2:y’ Nhắc lại: + loga(x1.x2) = logax1 + logax2 + loga = logax1 – logax2 GV cho học sinh giải và nêu kết quả. HS: y’ = HS: y’= GV cho học sinh giải và nêu kết quả. HS : y’ = = (x > 0) HS : y’ = I.Đạo hàm của một hàm số lượng giác. 1.Định lí: x ỴR Chứng minh. (SGK) Ví dụ : 1) 2) 2.Đạo hàm của hàm số y = sinx. Định lí. Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi xỴR và : Chứng minh. Cho số gia Dx tại x , ta có 1. Dy = sin(x + Dx) – sinx = = y’ = = = = cosx Chú ý : Đối với hàm số hợp sinu , ta có Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số y = sin23x Giải. ta có y’ = (sin23x)’ = 2sin3x.(sin3x)’ = 2sin3x.cos3x.(3x)’= 6sin3x.cos3x = 3sin6x 3.Đạo hàm của hàm số y = cosx. Định lí. Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi xỴR và Chú ý : Đối với hàm số hợp cosu , ta có Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số : y = cos2(x2 + 1) Giải. ta có y’ = (cos2(x2 + 1))’= 2cos(x2 + 1).(cos(x2 + 1))’ = 2cos(x2 + 1).[–sin(x2 + 1)].(x2 + 1)’ = – 4xcos(x2 + 1).sin(x2 + 1) = –2xsin2(x2 + 1) 4.Đạo hàm của hàm số y = tgx. Định lí. Hàm số y = tgx có đạo hàm tại mọi xỴR\{ + kp , kỴZ } và : Chú ý : Đối với hàm số hợp tgu , ta có Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số : y = tg2(x2 +3x) Giải. ta có y’= (tg2(x2 +3x))’ = 2tg(x2 +3x).(tg(x2 +3x))’ = 2tg(x2 +3x) = 2(2x +3) 5.Đạo hàm của hàm số y = cotgx. Định lí. Hàm số y = cotgx có đạo hàm tại mọi xỴR\{kp , kỴZ } và : Chú ý : Đối với hàm số hợp cotgu , ta có Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số : y = cotg4(x2 +x) Giải. ta có y’= (cotg4(x2 +x))’= 4(cotg3(x2 +x)).(cotg(x2 +x))’ = 4(cotg3(x2 +x))(x2 +x)’ = – 4(2x + 1) II.Đạo hàm của các hàm số mũ , lôgarit và luỹ thừa. 1.Giới hạn có liên quan với số e. Ta đã biết rằng : , nỴN* với e » 2,71828 Ta thừa nhận định lí sau: Định lí. Ví dụ : Tìm Giải. Ta có Đặt : thì x = 2y + 1 . Vậy: Hệ quả. Chứng minh: (SGK) 2.Đạo hàm của hàm số mũ. a.Định lí 1. Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi xỴR và Chứng minh. 1.Cho số gia Dx tại điểm bất kì x Ỵ R , ta có Dy = ex + Dx – ex = ex(eDx – 1) y’ Chú ý : Đối với hàm số hợp eu , ta có b.Định lí 2. Hàm số y = ax (0 < a ¹1 ) có đạo hàm tại mọi xỴR và Chứng minh. Vì a = elna nên y = ax = exlna. Vậy (ax)’ = (exlna)’= exlna.(xlna)’= exlnalna = axlna Chú ý : Đối với hàm số hợp au , ta có Ví du 1ï. Tìm đạo hàm của hàm số : Ví du 2ï. Tìm đạo hàm của hàm số : 3.Đạo hàm của hàm số lôgarit . a.Định lí 1. Hàm số y = lnx có đạo hàm tại mọi xỴ và Chứng minh. (SGK) Chú ý : 1.Đối với hàm số hợp lnu , ta có 2. ( x ¹ 0) b.Định lí 1. Hàm số y = logax (0 < a ¹ 1) có đạo hàm tại mọi xỴ và Chú ý :Đối với hàm số hợp logau , ta có Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = ln(x2 + 2x +5) Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y = log2(3x +5) 4.Đạo hàm của hàm số luỹ thừa. Định lí 1. Hàm số luỹ thừa y = xa (aỴR) có đạo hàm tại mọi xỴ và Chú ý :Đối với hàm số hợp ua , ta có Ví du ï1ï. Tìm đạo hàm của hàm số y = Ví du ï2. Tìm đạo hàm của hàm số y = 4.Củng cố: +Vận dụng các qui tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn 5.Dặn dò: + Các em giải bài tập (SGK) và soạn bài:” Đạo hàm cấp cao”