Giáo án lớp 12 môn đại số - Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A) LÝ THUYẾT: I)Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D . 1) Số M gọi là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu : .Kí hiệu =M 2) Số m gọi là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu : .Kí hiệu = m II)Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f(x) : Dùng phương pháp đạo hàm : Trường hợp hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng hoặc nửa khoảng : Cách giải : +Tìm các điểm tới hạn trên khoảng hoặc nửa khoảng cho trước . + Lập bảng biến thiên rồi từ đố suy ra kết quả. Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất một cực trị : -Nếu cực trị của hàm số là ycđ thì ycđ = max y trên D. -Nếu cực trị của hàm số là yct thì yct = min y trên D. b) Trường hợp hàm số liên tục trên đoạn [a;b]: Cách giải : +Tìm các điểm tơi hạn của hàm số trên đoạn [a;b]. +Tính f(a);f(b);f(xi) với xi là các điểm tới hạn thuộc [a;b].Khi đó : & . Dựa vào điều kiện phương trình có nghiệm (hay còn gọi là Miền giá trị của hàm số) Cách giải: +Ta xem y là hằng số ,ta cần tìm y để phương trình f(x) = y có nghiệm x thuộc D. +Từ đó ta tìm ra miền giá trị của y và suy ra được GTLN-GTNN của hàm số. *Chú ý: 1) Cách giải này không cần chỉ ra giá trị của biến ứng với các GTLN-GTNN. 2) Một số phương trình ta cần lưu ý đến điều kiện có nghiệm của nó như sau: a) ax+ b = 0 có nghiệm x b) ax2 +bx +c = 0 có nghiệm x R c) asinx + bcosx = c có nghiệm x . 3)Dựa vào tính chất của bất đẳng thức và các bất đẳng thức đã học : Xem lại các tính chất của bất đẳng thức và các bất đẳng thức như Côsi ; Bunhia-cốpxki ; Bất đẳng thức trị tuyệt đối ;Đặc biệt lưu ý điều kiện trong bất đẳng thức xảy ra dấu “=”. *CHÚ Ý CHUNG:+ Có thể đặt ẩn phụ để biến đổi hàm số cho trước về dạng quen biết. + Nếu gặp những biểu thức chứa hai biến ta biến đổi đưa về trường hợp một biến . B) CÁC VÍ DỤ ( cĩ hướng dẫn) Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) ; b) ; c) y = với x d) ; e) . Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau : a) trên khoảng (0 ; +) ; b) c) ; d) Ví dụ 3:Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các biểu thức sau : a) ; với ; b) ; biết c) ; với ; d) ; biết . C) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ : VD 1a): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng. Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm x. VD 1b): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên R. Hoặc đặt ẩn Phụ t = x2 với điều kiện t ≥ 0 rồi dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên nửa khoảng. Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm . VD 1c): Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn . VD 1d): Cách 1) +Xét x= ;tính y . + Xét x .Khi đó .Đặt t = Biểu diễn sinx ; cosx theo t với công thức : Sinx = ; cosx = . + Thu được hàm số f(t) với t ; có thể giải bằng phương pháp đạo hàm . Cách 2) Dựa vào điều kiện phương trình : asinx + bcosx =c có nghiệm x . VD 1e): + Dùng ẩn phụ t =sin2x hoặc t = cos2x ;với 0 ; (hoặc có thể dùng ẩn phụ t = cos2x ; với -1) + Sau đó dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số f(t) liên tục trên đoạn. VD 2):a)+Dùng Côsi đối với 2 số hạng đầu không âm và đánh giá sinx.Từ đó suy ra được GTNN (không tồn tại GTLN). b)+Lấy điều kiện sinx ;cosx.Sau đó dùng bất đẳng thức BNC (BuNhia-Côpxki). c)+Lấy điều kiện Dùng BĐT trị tuyệt đối. d)Cách 1):Lấy điều kiện Dùng đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn . Cách 2):Lấy điều kiện Dùng BĐT Côsi. VD 3):a)Cách 1):Thay số 1 ở mẫu bỡi x2+y2 Xét trường hợp y =0 .Tính M y chia Cả tử và mẫu cho y2 rồi đặt ẩn phụ t = ;với t .Khi đó thu được hàm số f(t) là hàm phân thức có tử và mẫu đều là bậc 2 Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng. Cách 2):Do gt : x2+y2=1 đặt x = cos và y = sin Dùng điều kiện phương trình có nghiệm . b)Cách 1):Xem M là hằng số ta cần tìm M để hệ phương trình sau có nghiệm: phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y) với M là tham số .Từ điều kiện phương trình một ẩn có nghiệm (để hệ có nghiệm) miền giá trị của M GTLN-GTNN. Cách 2):Dùng BĐT BNC ;(Lưu ý :Biến đổi M = để sử dụng Gt : 36x2++16y2 = 9 ). Cách 3):Trước hết biến đổi gt về đặt M = Dựa vào điều kiện PT có nghiệm hoặc BĐT BNC hoặc dựa vào miền giá trị y = asinx +bcosx = . c) Từ gt Xét y = 0 thì M =1 . Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng . d) + gt +gt +Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn. D) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm a và b để cho hàm số : a) đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng (-1). b) đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng (-1). Bài 2:Tìm GTLN-GTNN của: a) ; b) ; c) d) ; e) ; f) trên đoạn [-1;2] g) trên [-3;2] ; h) ;với x i) trên đoạn [-3;3] ; k) với x Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của : a) ; b) ; với điều kiện : Bài 4:Tìm GTNN của : a) ; b) . c) f(x)=. ; d) . e) ; g) e) ; với xy f) ; với ab Bài 5: Tìm GTLN-GTNN của các biểu thức sau : a) ; b) ; biết c) ; d) ; biết Bài 6: Giả sử x và y liên hệ với nhau bỡi hệ thức :. Hãy tìm GTLN-GTNN của biểu thức S = x + y +1 . Bài 7: Tìm m để có GTNN nhỏ hơn (-1) . Bài 8: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau : a) ; b) c) ; d) . e) ; f) trên đoạn h) ; i) k) ; l) Bài 9: Biết x,y thay đổi và Tìm GTLN-GTNN của a) P = ; b) Q = Bài 10: Cho x,y thay đổi thoả mãn x >0 ;y> 0 và x + y = 1 .Hãy tìm GTNN của biểu thức : P = Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC ,tìm GTNN của biểu thức P = tgA.tgB.tgC Bài 12: Cho có .Tìm GTNN của biểu thức : M = Bài 13: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác .Tìm GTLN của biểu thức : M = 3cosA + 2(cosB + cosC) . Bài 14: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ phương trình : .Xác định a để tích xy là nhỏ nhất . Bài 15:a) Cho x,y thay đổi thoả mãn điều kiện .Tìm GTLN của biểu thức : A= (3-x)(4-y)(2x+3y) . b) Cho a ; b 4 ; c .Tìm GTLN của c) Cho x;y;z biến thiên và thoả mãn điều kiện : xy+yz+zx = 4 .Tìm GTNN của biểu thức F = . Bài 16: Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Tìm GTLN của biểu thức : P = Bài 17: Cho cos2x + cos2y =1 (x,y) .Tìm GTNN của A = tg2x + tg2y . Bài 18: a) Cho ,tìm GTLN của P = b) Cho ,tìm GTNN của P = . c) Cho , tìm GTLN của P = 3(cosB +2sinC)+4(sinB+2cosC) . (Tạm dừng-chào thân ái)