Giáo án lớp 12 môn Đại số - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

N©ng cao toan 12 I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2- 2x+3. Kq:f(x) = f(1) = 2 2) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2- 2x+3 trên [0;3]. Kq: f(x)=f(1)=2 và f(x)=f(3)=6. 3) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = với x<1. Kết quả : f(x) = f(0) = - 4 4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m3, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 5) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = . Kết quả : y = f(±1) = 6) Định m để hàm số y = f(x) = x3 - 3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghịch biến trên khoảng(-1;0). Kết quả : m £ 7) Tìm trên (C): y = điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;) 8) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số a) y = 3 sinx – 4 cosx. b) y = HD: dïng ®k cã nghiƯm cđa pt a.sinx+b.cosx = c lµ ®Ĩ t×m tËp gi¸ trÞ cđa hµm sè. c) y = HD: dïng ®k cã nghiƯm cđa pt bËc hai ®Ĩ t×m tËp gi¸ trÞ cđa hµm sè. 9) Tìm GTLN: y=-x2+2x+3. Kết quả: y=f(1)= 4 10 ) Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0. Kết quả: y=f(1)= -3 11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + . Kết quả: ; 12 ) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2-1 trên đoạn Kết quả: ; 13) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x4-2x2+3. Kết quả: y=f(±1)=2; Không có y b) y = x4+4x2+5. Kết quả: y=f(0)=5; Không có y c). Kết quả: y=; y=1 d). Kết quả: y=; y=3 14) Cho hàm số . Chứng minh rằng : 15) Cho hàm số . Chứng minh rằng : -1£ y £ 1 Hướng dẫn:y’=0 Û 2sin2a . x2-2sin2a =0 Û x=-1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận -1£ y £ 1. 16) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx- trên đoạn [0;p] (Đề thi TNTH PT 2003-2004) Kết quả: f(x)=f(p /4)= f(3p /4)=; f(x)=f(0)=f(p )=0 II. TIỆM CẬN 1 )Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : a) y = . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = . Kết quả: x = -2 và y = x-3 2 ) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số : y = . Kết quả: y = ±1 3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = . Kết quả: y = ±x 4) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = . Kết quả : y = - x+1. 5) Cho (Cm ) : . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). 6 )Tìm trên đồ thị (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 7) Lấy một điểm bất kỳ MỴ(C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2=. III. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 ) Khảo s¸t sù biÕn thiªn vµ vµ ®å thÞ hµm sè : Hµm sè bËc ba 1 ) y = x3 – 3x2. 2 ) y = x3 – 6x2 + 9x. 3) y = 2x3 – 3x2 + 5. 4) y = - x3 + 3x2 + 1 y = x3 – 3x2 + 3x + 2 6) y = 7) y = x3 + 3x + 4 8)y= -x3+3x2-4x+2 Hµm sè bËc bèn trïng ph­¬ng 9) y = 10) y = x4 – 2x2 + 2 y = - x4 + 2x2 - 2 12 ) y = x4 – 2x2 + 1 13) y = x4 – x2 + 1 14 ) y = Hµm h÷u tØ 15) y = 16) y = 16) y = 18) y = y = 20) y = 21) y = - x - 22) y = 23) y = 24) y = 25) y = 26) y = IV.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: a) (C): y = và d: y = x-m. Hd: Lý luận x= b) (H): và d: y= -2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm. 2) a.KSVẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2-2 b.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2-(m-2) = 0 3) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2. 4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 5) Dùng đồ thị (C): y = x3-3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x3-3x2 +1 | -m = 0. 6) Cho parabol (P): y=x2-2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. 7) Cho hàm số , có đồ thi (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b) Cho đường thẳng d: y= -2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 8) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3-3x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 9) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = . Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) (C1): y = f1(x) = b) (C2): y = f2(x) = c) (C3): y = f3(x) = d) (C4): |y| = f4(x) = e) (C5): y = f5(x) = f) (C6): |y| = f6(x) = 10) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3-3x2+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3-3x2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3-3x2 +1 - m = 0. 11 ) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2-1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đoán đường thẳng cố định: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x-1-y=0, phương trình này có D= (x)2-1.(x2+x-1-y)=0 Û -x+1+y=0 Û y= x-1 là đường thẳng cố định. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=-x2-x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 Û m=-x, thay trở lại (2):y=x-1 là đường thẳng cố định. 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x-1 là: x2+(2m+1)x+m2-1=x-1 Û x2+2mx+m2=0 Û (x+m)2=0 Û x=-m (nghiệm kép) Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x-1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau Û phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. 12) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3-3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;-23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định.