Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Giải hệ bằng các phương pháp tổng hợp

1 Giải hệ bằng các phương pháp tổng hợp Loại 1. Giải hệ bằng phương pháp thế A. Nội dung phương pháp Ý tưởng chung: +) Từ một trong hai phương trình, rút y theo x để được  y f x . +) Thay  y f x vào phương trình còn lại, ta được một phương trình đối với x . Giải phương trình này để tìm x . +) Với mỗi x tìm được, ta suy ra y tương ứng. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHA03] Giải hệ 3 1 1 2 1 x y x y y x         . Giải Điều kiện: 0x  , 0y  . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2 2x y y xy x        0xy x y x y       1 0xy x y    1 y x y x      . +) Thế y x vào phương trình thứ hai của hệ ta có 32 1x x   3 2 1 0x x       21 1 0x x x     1 1 5 2 x x       . +) Thế 1y x   vào phương trình thứ hai của hệ ta có 32 1x x     4 2 0x x    x . (     2 2 4 4 2 2 2 1 1 32 1 1 0 2 2 2 x x x x x x x x                        x ) Vậy hệ đã cho có ba nghiệm    ; 1;1x y  ,    1 5 1 52 2; ;x y     ,  1 5 1 52 2;    . Nhận xét. Ở Ví dụ 1, phương trình thứ nhất của hệ có dạng    f x f y . Phương trình dạng này bao giờ cũng đưa được về dạng    ; 0x y g x y  . 2 Ví dụ 2. [ĐHB02] Giải hệ 3 2 x y x y x y x y          . Giải Điều kiện: x y . Mũ 6 hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được    2 3x y x y       2 1 0x y x y     1 y x y x     . Thế y x vào phương trình còn lại của hệ ta được 2 2 2x x   2 0 2 1 x x x      1x  ,  1y  (thỏa mãn). Thế 1y x  vào phương trình còn lại của hệ ta được 2 1 2 1x x    1 2 24 4 1 2 1 x x x x        3 2 x   1 2 y  (thỏa mãn). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là    ; 1;1x y  ,    3 12 2; ;x y  . Ví dụ 3. [ĐHA04] Giải hệ  1 4 1 4 2 2 log log 1 25 yy x x y       . Giải Điều kiện: 0y y x    . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với  1 1 1 4 4 4 1 4log log logy x y     1 14 4 4log log yy x   4 yy x   3 4 x y . Thay 3 4 x y vào phương trình còn lại của hệ ta đươc 2 23 25 4 y y          4 4 loaïi y y      3x  (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm duy nhất    ; 3;4x y  . Ví dụ 4. Giải hệ [ĐHD08] 2 22 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y           . Giải Điều kiện: 0y  , 1x  . Coi phương trình thư nhất của hệ là phương trình bậc hai đối với x : 3  2 21 2 0x y x y y     .  * Ta có      2 221 4 2 3 1y y y y       . Do đó  *          1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 y y x y y y x y              . Ta thấy trường hợp x y  không thỏa mãn điều kiện. Thay 2 1x y  vào phương trình còn lại của hệ ta được  2 1 2 2 2 2y y y y y        1 2 2 1y y y       1 2 2 0y y    1 2 (loaïi)y y      5x  (thỏa mãn). Nhận xét. Ở ví dụ trên, phương trình thứ nhất của hệ có dạng 2 2 0ax bxy cy dx ey f      . Ta thường xử lý phương trình này như sau: coi phương trình là phương trình bậc hai đối với x , từ đó ta có thể giải x theo y . Tương tự, nếu coi phương trình là phương trình bậc hai đối với y thì ta cũng có thể giải y theo x . Ví dụ 5. [ĐHB08] Giải hệ 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x          . Giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với  21 6 6 2 xy x x    .  1 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với  22 2 9x xy x   .  2 Thế  1 vào  2 ta có   2 2 21 6 6 2 9 2 x x x x          2 21 3 3 2 9 2 x x x         4 3 212 48 64 0x x x x      34 0x x    0 4 x x     . Ta thấy 0x  không thỏa mãn  1 . Thay 4x   vào  1 suy ra 17 4 y  . 4 Vậy hệ có nghiệm suy nhất là   17; 4; 4 x y       . Nhận xét. Trong ví dụ trên, phép thế được thực hiện cho cả cụm xy . Để làm xuất hiện “cụm thế” ta cần thực hiện một vài phép biến đổi. Các ví dụ tiếp theo sẽ làm rõ hơn điều này. Ví dụ 6. [ĐHD02] Giải hệ 1 3 2 4 2 2 2 2 5 4 x x x x y y y       . Giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 14 2 2 2 x x x y       2 2 2 2 2 x x x y     2x y .  1 ( 0y  ) Phương trình thứ nhát của hệ tương đương với  3 22 5 4x y y  .  2 Thế  1 vào  2 ta được 3 25 4y y y   3 25 4 0y y y     0 1 4 loaïiy y y      . Thay 1y  vào  1 ta được 0x  , 4y  vào  1 ta được 2x  . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là    ; 0;1x y  ,    ; 2;4x y  . 5 C. Bài tập Bài 1. [ĐHB05]  2 39 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y         . ĐS:  1;1 ,  2;2 . Bài 2. [ĐHB10]   2 2 2 4 2 0 2log 2 log 0 x x y x y          . ĐS:  3;1 . Bài 3. [ĐHB10]  2 2 log 3 1 4 2 3x x y x y       . ĐS:  121; . Bài 4. [ĐHA11]       2 2 3 22 2 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y            . ĐS:  1;1 ,  1; 1  ,  2 10 105 5; ,  2 10 105 5;  Bài 5. 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y y x        . ĐS:  2; 1 ,  2;1 . Bài 6. 2 3 4 2 3 4 2 2 1 x x x x y y y y x y            . ĐS: 1 1; 2 2       , 1 1; 2 2        ,  0; 1 ,  1;0 . Bài 7. 2 2 2 2 3 2 x xy x y x y         . ĐS:  1; 1 ,  1;1 . Bài 8. 2 2 26 5 24 y x x y x y        . ĐS:  5;1 ,  5; 1  . 6 Loại 2. Phương pháp ẩn phụ A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD09] Giải hệ     2 2 5 1 3 0 1 0 x x x y x y          . Giải Điều kiện: 0x  . Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho x ta được   13. 1 0x y x     . Đặt 1 u x y v x       0v  và hệ đã cho trở thành 2 2 3 1 0 5 1 0 u v u v        .     1 2 Từ  1 , ta rút được u theo v 3 1u v  .  3 Thế  3 vào  2 ta được  2 23 1 5 1 0v v     24 6 2 0v v    1 1 2 v v      . +) 1v   1 2 x u     1x y  . +) 1 2 v   2 1 2 x u      2 3 2 x y      . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là    ; 1;1x y  và    32; 2;x y   . Ví dụ 2. [ĐHB09] Giải hệ 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y        . Giải 7 Thay 0y  vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1 0  x . Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho y và chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2y , ta được hệ phương trình tương đương 2 2 1 7 1 13 xx y y xx y y            2 1 7 1 13 xx y y xx y y                  . Đặt 1u x y   , xv y  , hệ nói trên trở thành 2 7 13 u v u v        2 7 7 13 v u u u        4 3 u v    hoặc 5 12 u v     . +) 4 3 u v     1 4 3 x y x y         13 4 3 y y x y        3 1 x y    hoặc 1 1 3 x y     . +) 5 12 u v      1 5 12 x y x y          112 5 12 y y x y          ;x y  (vì 112 5y y     212 5 1 0y y   vô nghiệm). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm    ; 3;1x y  và   1; 1; 3 x y       . Ví dụ 3. [ĐHA08] Giải hệ   2 3 2 4 2 5 4 51 2 4 x y x y xy xy x y xy x                . Giải Hệ đã cho tương đương với       2 2 22 5 4 5 4 x y xy x y xy x y xy               . 8 Đặt 2u x y v xy      , hệ đã cho trở thành 2 5 4 5 4 u uv v u v             2 2 2 5 5 5 4 4 4 5 4 u u u u v u                          2 2 2 5 5 5 4 4 4 5 4 u u u u v u                          3 2 2 1 0 4 5 4 u u u v u            0 5 4 u v      hoặc 1 2 3 2 u v         . +) 0 5 4 u v       2 0 5 4 x y xy         2 3 5 4 y x x          3 3 5 4 1 25 2 2 x y        . +) 1 2 3 2 u v          2 1 2 3 2 x y xy           2 2 1 2 1 3 2 2 y x x x                2 3 1 2 1 3 0 2 2 y x x x            1 3 2 x y      . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm    5 253 34 16; ;x y   ,    32; 1;x y   . 9 B. Bài tập Bài 1. 2 2 1 3 1 3 xx y y xx y y           . ĐS:  1;1 . Bài 2. 2 4 0 xx y y x xy y          . ĐS:  22 32 3 , 3 3 3 3          ,  22 32 3 , 3 3 3 3          . Bài 3. 2 2 6 2 6 0 xx y y x xy y          . ĐS:  23 3 3(3 3); 2 3           ,  6 2 3 3 ;2 3 3 3 3         . Bài 4. 2 2 4 4 x yx y y x x yx y y x              . ĐS:  1;1 . Bài 5.   3 3 2 2 3 1 11 1 4 1 4 x x y y x y x y xy y                  . ĐS:  1;1 ,  1; 1  . Bài 6.     2 2 2 2 1 21 1 3 1 x y y x xy x y          . ĐS:  1;1 , 1 1; 3 3       . Bài 7. [ĐHD11] Tìm m để HPT sau có nghiệm  3 2 2 2 2 1 2 x y x xy m x x y m           . ĐS: 2 32m  . 10 Loại 3. Phương pháp hàm số A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD06] Chứng minh rằng với mọi 0a  , hệ sau có nghiệm duy nhất    ln 1 ln 1x ye e x y y x a          . Giải Từ phương trình thứ hai của hệ, rút y theo x và thay vào phương trình thứ nhất, ta được    ln 1 ln 1x x ae e x x a          ln 1 ln 1 0x a xe e x x a        .  * Dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất   * có nghiệm duy nhất. Xét      ln 1 ln 1x a xf x e e x x a       , với 1x   . Ta có  'f x 1 1 1 1 x a xe e x x a            1 01 1 x a ae e x x a        1x   (do 0a  )  f đồng biến trên  1;  . Lại có   1 lim x f x    ,  lim x f x     đồ thị hàm số  y f x có đúng một điểm chung với trục hoành   * có nghiệm duy nhất  hệ có nghiệm duy nhất (ĐPCM). Ví dụ 2. [ĐHA10] Giải hệ    2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x            . Giải Điều kiện: 3 4 5 2 x y       . Đặt 5 2u y   25 2 uy   2 13 2 uy    , phương trình thứ nhất của hệ trở thành   2 2 14 1 2 ux x u        2 22 2 1 1x x u u     .  1 Nếu đặt    2 1f t t t  thì  1 trở thảnh    2f x f u . Ta thấy   2' 3 1 0f t t   t  f đồng biến trên  . Do đó 11  1  2x u  2 5 2x y   2 0 5 2 2 x y x      . Thay 25 2 2 y x  vào phương trình còn lại của phương trình ta được 2 2 254 2 2 3 4 7 2 x x x         .  2 Xét   2 2 254 2 2 3 4 2 g x x x x         , với 30 4 x  . Ta có    2 25 4 4' 8 8 2 4 4 3 0 2 3 4 3 4 xg x x x x x x x x              30; 4 x        g nghịch biến trên 30; 4      , mặt khác 1 7 2 g         2 có nghiệm duy nhất là 1 2 x   hệ có nghiệm duy nhất   1; ;2 2 x y       .