Giáo án lớp 12 môn Đại số - Giới hạn của hàm số – hàm số liên tục

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Xét hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) chứa x0 (có thể không xác định tại x0). Trong khoảng (a; b) ta có thể lấy dãy sao cho . Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x0 nếu thì . Ký hiệu . Định nghĩa 2 Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x0 nếu . Ví dụ 1. Xét hàm số khi x dần đến 2, ta có . Nghĩa là với , chọn thì . Vậy . Ví dụ 2. Xét hàm số khi . Hàm số không xác định tại x = 1, nhưng khi ta có: . Nghĩa là với , chọn . Vậy . 2. Các định lý cơ bản Định lý 1 Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x tiến dần về x0 thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2 Nếu các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần về x0 thì i) ii) iii) 4i) Định lý 3 Mọi hàm số sơ cấp f(x) xác định trong khoảng chứa x0 thì . Định lý 4 (giới hạn kẹp giữa) Nếu và với mọi x thuộc khoảng chứa x0 thì . 3. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số Định lý 5 i) Nếu và khi x đủ gần x0 thì ii) Nếu và khi x đủ gần x0 thì . Định nghĩa 3 Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về vô cực nếu: . Ký hiệu . Định nghĩa 4 i) Số L được gọi là giới hạn bên phải của f(x) khi x tiến dần về x0 (x > x0) nếu . Ký hiệu . ii) Số L được gọi là giới hạn bên trái của f(x) khi x tiến dần về x0 (x < x0) nếu . Ký hiệu . Định lý 6 . Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm m để f(x) có giới hạn khi . Giải . Vậy m = 2. 4. Phương pháp giải toán (các quy tắc khử dạng vô định) 4.1. Dạng i) Phân tích tử và mẫu (chia cho x – x0) . Ví dụ 4. . Vậy . ii) Dùng lượng liên hợp Ví dụ 5. . Vậy . 4.2. Dạng Ta chia tử và mẫu cho xn (n là bậc cao nhất của tử và mẫu). Ví dụ 6. . Vậy . Ví dụ 7. . Vậy . Ví dụ 8. . Vậy . Ví dụ 9. . Vậy . Ví dụ 10. . Vậy . 4.3. Dạng . Ta dùng lượng liên hợp. Ví dụ 11. . Vậy . Ví dụ 12. . Vậy . Chú ý: không phải dạng vô định vì . 4.4. Dạng . Ta biến đổi . Ví dụ 13. . Vậy . 4.5. Các quy tắc đặc biệt khử dạng vô định Kết quả cần nhớ: , . Định lý 7 (quy tắc L’Hopital) (chỉ dùng trong trắc nghiệm) Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng chứa x0 thỏa các điều kiện: i) hoặc ii) với mọi x thuộc khoảng chứa x0 iii) thì . Chú ý: i) Định lý vẫn đúng cho các trường hợp , ii) Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần. Ví dụ 14 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 15 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 16 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 17 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 18 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 19 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 20 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 21 (dạng ). . Vậy . Ví dụ 22 (dạng ). . Cách khác: . Vậy . II. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Định nghĩa 1 Xét hàm số f(x) có MXĐ . i) Điểm được gọi là điểm tụ của D nếu tồn tại dãy sao cho . Điểm không phải là điểm tụ của D được gọi là điểm cô lập của D. ii) Nếu điểm là điểm cô lập của D thì ta quy ước f(x) liên tục tại x0. iii) Nếu điểm là điểm tụ của D thì f(x) liên tục tại x0 khi . Ví dụ 23. Xét hàm số có MXĐ . Ta có x = 2 là điểm cô lập của f(x) và f(x) liên tục tại x = 2. Tại thì nên f(x) liên tục. Nhận xét: Hàm số liên tục tại x = 2 nhưng không có giới hạn tại x = 2. 2. Định nghĩa 2 i) f(x) liên tục bên phải x0 nếu ii) f(x) liên tục bên trái x0 nếu . Ví dụ 24. Hàm số liên tục bên trái tại x = 1. 3. Định nghĩa 3 i) f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0 thuộc (a; b) ii) f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Chú ý: i) Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục tại đó. ii) Hàm số không liên tục tại x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0. Ví dụ 25. Xét sự liên tục của hàm số tại x = 0. Giải Ta có: . Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0. Ví dụ 26. Xét sự liên tục của hàm số . Giải Với mọi ta có hàm số xác định nên liên tục. Tại x = 0, ta có: . Vậy hàm số f(x) liên tục trên hay gián đoạn tại x = 0. 4. Định lý (điều kiện để phương trình có nghiệm trong khoảng (a; b)) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b) (ngược lại không đúng). Ví dụ 27. Chứng minh phương trình (*) luôn có nghiệm thực dương. Giải Xét hàm số liên tục trên và . Mặt khác Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm thực dương thuộc khoảng (0; b).