Giáo án lớp 12 môn Đại số - Hàm số liên tục (2 tiết)

. HÀM SỐ LIÊN TỤC (2 tiết) I. Mục tiêu 1. Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lý này. 2. Về kỹ năng : Giúp HS biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn và áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản. 3. Về tư duy thái độ : Có tinh thần tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic. II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: giáo án, bài giảng, SGK, dụng cụ dạy học 2. Học sinh: SGK, tập ghi chép, xem bài trước ở nhà III. Phương pháp dạy học Gợi mở, vấn đáp. IV. Tiến trình dạy học 1. Ổn định lớp. 2. Nội dung bài mới HĐ1: Hàm số liên tục tại một điểm Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Hoạt động gợi ý vào bài mới: (có minh họa bằng đồ thị) 1) Cho các hàm số a) Tính f(1), g(1), so sánh với b) Nhận xét về đồ thị mỗi hàm số tại 2) Xét hàm số Ta có Vậy K Ta có các kết quả sau không tồn tại Ta nói hàm số liên tục tại , còn các hàm số và không liên tục tại - Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. K Vậy để xét tính liên tục của hàm số tại điểm ta tiến hành các bước sau: B1: tính B2: tính B3: so sánh với K Khi nào hàm số gián đoạn tại điểm ? - Thực hiện H1, minh họa bằng đồ thị Xét tính liên tục của hàm số tại điểm - Hướng dẫn HS theo dõi Ví dụ 2 SGK trang 169. - Thực hiện H2, minh họa bằng đồ thị Xét tính liên tục của hàm số tại điểm . Thực hiện theo gợi ý của GV Ghi bài Hàm số gián đoạn khi không tồn tại hoặc Theo dõi Theo dõi Theo dõi và ghi bài I. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa Hàm số xác định trên khoảng và Hàm số liên tục tại điểm nếu Hàm số không liên tục tại điểm gọi là gián đoạn tại điểm . Giải Do nên liên tục tại . Giải Suy ra không tồn tại Vậy hàm số gián đoạn tại . Hoạt động 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Nêu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. K Để chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng ta cần chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng. K Để chứng minh hàm số liên tục trên đoạn trước hết chứng minh hàm số liên tục trên khoảng và kết hợp với , . K Vậy chứng minh hàm số liên tục trên nửa khoảng thế nào? - Thực hiện Ví dụ 3 SGK trang 170, minh họa đồ thị. Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn - Yêu cầu HS làm Ví dụ, minh họa bằng đồ thị Chứng minh rằng 1) liên tục trên đoạn [-2;2] 2) liên tục trên nửa khoảng K Hàm số liên tục trên một khoảng hay trên một đoạn thì có đồ thị là đường liền nét. Hàm số gián đoạn tại một điểm thì đồ thị không là đường liền nét. - Nêu nhận xét - Nêu định lý Ghi bài Theo dõi Thực hiện yêu cầu của GV Ghi bài Ghi bài II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Định nghĩa Hàm số xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của nhiều khoảng, gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J. Hàm số xác định trên đoạn [a;b] gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và Giải , ta có Nên hàm số liên tục trên khoảng Ngoài ra ta có Do đó hàm số liên tục trên đoạn . Giải 1) xác định trên đoạn [-2;2] Nên liên tục trên khoảng (-2;2) Ngoài ra ta có Vậy liên tục trên đoạn [-2;2] 2) xác định trên nửa khoảng , Nên liên tục trên khoảng Ngoài ra Vậy liên tục trên nửa khoảng . Nhận xét 1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó ( trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0) 2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). Định lý 1 Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. Hoạt động 3: Tính chất của hàm số liên tục Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Yêu cầu học sinh làm ví dụ sau đó lên bảng trình bày: 1. Cho hàm số y = f(x) =-x3+3x2+1 liên tục trên đoạn [-1;3] có đồ thị như hình vẽ. a. Tính f(-1), f(3). Hãy so sánh f(-1) và f(3). b. Với M=3 nằm giữa f(-1), f(3), hãy tìm cÎ(-1;3) sao cho f(c) = M. K Cho hàm số y = f(x) (có đồ thị như hình vẽ) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) ≠ f(b), một điểm M nằm giữa f(a), f(b). Phán đoán có tồn tại cÎ(a;b) sao cho f(c) = M? - Nêu định lý 2 (định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục) - Hướng dẫn cho HS bằng cách phân tích trên đồ thị để rút ra nhận xét về ý nghĩa hình học. K Hàm f liên tục trên đoạn [a;b], M nằm giữa f(a) và f(b). Khi M = 0, f(a).f(b) < 0. Theo định lí 2: tồn tại ít nhất 1 điểm cÎ(a;b) sao cho f(c) = 0 - Nêu hệ quả K Ta có: f(c) = 0. Khi đó c được gọi là nghiệm của phương trình f(x) = 0. - Nêu ý nghĩa hình học của hệ quả. K Ứng dụng của hệ quả là chứng minh phương trình có nghiệm thuộc khoảng. - Yêu cầu HS làm Ví dụ 1) Chứng minh hàm số f(x) = x3 + 2x – 2 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1. 2) Chứng minh rằng phương trình x3 + x + 1= 0 có ít nhất một nghiệm. - Yêu cầu HS làm H4 Cho hàm số Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm sao cho Thực hiện theo yêu cầu GV Có Ghi bài Theo dõi và ghi bài Theo dõi Ghi bài Ghi bài Làm bài Làm bài Giải a. f(-1) = 5, f(3) = 1 Vậy f(-1) ≠ f(3) b. Ta có f(c) = - c3 + 3c2 + 1 M = 3 Và f(c) = M nên : - c3 + 3c2 + 1 = 3 Û - c3 + 3c2 + 1 – 3 = 0 Û - c3 + 3c2 - 2 = 0 Û (c – 1)(- c2 + 2c + 2) = 0 Û Û Vậy có 3 giá trị c thỏa mãn yêu cầu đề bài. Định lý 2 Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a)f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(c)=M. Ý nghĩa hình học của định lý Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y=M cắt đồ thị của hàm số ít nhất tại một điểm có hoành độ Hệ quả Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm cÎ(a;b) sao cho f(c) = 0. Ý nghĩa hình học của hệ quả Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ . Giải 1) f(x) = x3 + 2x – 5 liên tục trên R Đoạn [0;1]R nên hàm f liên tục trên đọan [0;1]. Lại có : f(0) = - 2 f(1) = 1 và f(0).f(1) = -2.1 = -2 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm cÎ(0;1) sao cho f(c) = 0. Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x)= 0 (đpcm) 2) Xét hàm f(x) = x3 + x + 1 liên tục trên R Ta có [-1;0]R nên hàm f liên tục trên đoạn [-1;0] Lại có : f(0) = 1 f(-1) = -1 và f(-1).f(0) = -1 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm cÎ(-1;0) sao cho f(c) = 0. Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x)= 0 (đpcm) Giải Hàm số liên tục trên đoạn [0;2], Vì nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm sao cho Nhận xét của GVDH Người soạn Bài soạn đầy đủ Huỳnh Văn Phước Nguyễn Thị Xuân An