Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Hệ tọa độ trong không gian

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Hệ tọa độ trong không gian A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Oxyz là một hệ thống gồm +) ba trục tọa độ đôi một vuông góc Ox , Oy , Oz . +) ba véc-tơ trên ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt là i  , j  , k  thỏa mãn i j k 1      và i.j j.k k.i 0         . z x y O k j i 2. Tọa độ của một véc-tơ * Tọa độ của một véc-tơ:  u x;y;z  u xi yj zk      . Để xác định tọa độ của véc-tơ u  ta làm như sau: +) Lấy điểm A sao cho OA u   . +) Lấy H là hình chiếu của A lên Oxy , Oz ; M , N là hình chiếu của H lên Ox , Oy , P là hính chiếu của A lên Oz . +) Ta có:  u OM;ON;OP  . z x y A u k j i M N P O H * Tính chất: Cho các véc-tơ  1 1 1 1u x ;y ;z  ,  2 2 2 2u x ;y ;z  và số k tùy ý, ta có +) 1 2u u    1 2 1 2 1 2 x x y y z z      . +)  1 2 1 2 1 2 1 2u u x x ;y y ;z z       . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 +)  1 1 1 1ku kx ;ky ;kz  . +) Giả sử 2u 0   , ta có: 1 2u u     1 2m R : u mu      1 2 1 2 1 2 x mx m R : y my z mz        . 3. Tọa độ của một điểm * Tọa độ của điểm M là tọa độ của véc-tơ OM  :  M x;y;z  OM xi yj zk       . * Tọa độ của véc-tơ AB  :  A A AA x y; ;z ,  B BBB x y; ;z   B A B A B A;AB x x y ;y z z     . * Tính chất: +) M là trung điểm của AB  x xA B M 2 y yA B M 2 z zA B M 2 x y z            . +) G là trọng tâm tam giác ABC  x x xA B C G 3 y y yA B BC G 3 z z zA B C G 3 x y z               . +) G là trọng tâm tứ diện ABCD  x x x xA B C D G 4 y y y yA B C D G 4 z z z zA B C D G 4 x y z                  . 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ Cho các véc-tơ  1 1 1 1u x ;y ;z  ,  2 2 2 2u x ;y ;z  , ta có +)  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u .u u . u cos u ,u x x y y z z          . +) 2 2 2 2 1 1 1 1 1u u x y z      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 +)   u .u x x y y z z1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2u . u1 2 x y z . x y z1 1 1 2 2 2 cos u ,u               ( 1u 0   , 2u 0   ). +) 1 2u u    1 2u .u 0    1 2 1 2 1 2x x y y z z 0   . Hệ quả:  A A AA x y; ;z ,  B BBB x y; ;z       2 2B A B A B A 2AB x x y y z z    . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho  a 1; 3;2  ,  b 0;1; 3   ,  c 1;2; 2  . Xác định tọa độ của vectơ d a 2b c      . Giải Ta có d       1; 3;2 2 0;1; 3 1;2; 2           1; 3;2 0;2; 6 1;2; 2       0; 3; 2   . Ví dụ 2. Cho ba điểm  M 1;1;1 ,  N 4;3;1 ,  P 9;5;1 . Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng. Giải Ta có  MN 5;2;0   ,  MP 10;4;0    MP 2MN    MP 2MN     M , N , P thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho ba điểm  A 3;4; 1 ,  B 2;0;3 ,  C 3;5;4 . 1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh của một tam giác. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Ví dụ 4. Cho ba vectơ  a 2; 3; 4 ,  b 5; 7; 0  ,  c 3; 2; 4  không đồng phẳng. Hãy phân tích  d 4;12; 3   theo ba vectơ trên. Ví dụ 5. Cho ABC với  A 3;4; 1 ,  B 2;0;3 ,  C 3;5;4 . 1) Tìm độ dài các cạnh của ABC . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 2) Tính cosin của góc BAC . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 C. Bài tập Bài 1. Cho  A 2;3; 1 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ. Bài 2. Cho  M 1;2;3 . Tìm tọa độ của điểm M' lần lượt đối xứng với M qua 1) Gốc tọa độ. 2) Mặt phẳng Oxy , Oyz , Ozx . 3) Trục tọa độ Ox , Oy , Oz . Bài 3. Cho các véc-tơ  a 1;2;3  ,  b 0;1; 1  ,  c 1; 2;4  . Tìm tọa độ các véc-tơ u  , v  biết rằng 1) u 2a 3b 4c       . 2) 23u 4a b 5c       . Bài 4. Cho các bộ điểm 1)  A 2;3;1 ,  B 4; 3; 1  ,  C 3;0;0 . 2)  M 1;2; 3 ,  N 3;6;5 ,  P 2;4;3 . Hỏi trong các bộ điểm nói trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam giác? Bài 5. Cho các điểm  A 1;3; 4  ,  B 5;0;5 ,  C 1;2; 1 ,  D 1; 1;2 . 1) Chứng tỏ rẳng ba điểm A , B , C thẳng hàng; ba điểm A , B , D không thẳng hàng. 2) Chứng minh góc ADB tù. Bài 6. Cho tam giác ABC với  A 1; 1;1 ,  B 0;1;2 ,  C 1;0;1 . 1) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 7. Cho tam giác ABC với  A 11;8;4 ,  B 1; 7; 1   ,  C 9; 2;4 . Hãy chứng tỏ tam giác vuông và tính diện tích của nó. Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có  A 4;1; 2 ,  C 3; 2;17  ,  B' 4;5;10 ,  D' 7; 2;11  . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có  A 1;0; 1  ,  B 2; 1; 2   ,  D 1;1; 1  , OC' 4i 5j 5k        . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Bài 10. 1) Trên trục Oy , tìm điểm M cách đều hai điểm  A 3;1;0 ,  B 2;4;1 . 2) Trên mặt phẳng Oxz , tìm tọa độ điểm N cách đều ba điểm  A 1;1;1 ,  B 1;1;0 ,  C 3;1; 1 . Bài 11. Cho tứ diện ABCD với  A 1; 1;1 ,  B 3;1; 2 ,  C 1;2;4 ,  D 5; 6;9 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện. Bài 12. Cho tứ diện ABCD với  A 1;0;0 ,  B 0;1;0 ,  C 0;0;1 ,  D 2;1; 1  . 1) Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện. 2) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Tìm tọa độ trung điểm G của MN . Bài 13. Cho tứ diện ABCD với  A 3;0;0 ,  B 0;3 3;0 ,  C 3;0;0 ,  D 0; 3;3 . Chứng minh tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. Bài 14. Cho tam giác ABC với  A 1;1;1 ,  B 5;1; 2 ,  C 7;9;1 . Biết phân giác trong góc A cắt BC tại D . Tìm tọa độ điểm D . Bài 15. Cho tam giác ABC với  A 1;2; 1 ,  B 2; 1;3 ,  C 4;7;5 . Tính độ dài đường phân giác trong góc B .