Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 1 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hoán vị * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự được gọi là một hoán vị của n phần tử của A . * Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là nP n! 1.2.3. ... .n  . Quy ước: 0P 0! 1  . 2. Chỉnh hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n  . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A . * Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần là        kn n!A n n 1 n 2 ... n k 1 n k !        . Quy ước: 0nA 1 . 3. Tổ hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n  . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A . * Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là:        kk n n n n 1 n 2 ... n k 1A n!C k ! k ! n k ! k !         . Quy ước: 0nC 0 . * Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 2 +) k n kn nC C  . +) k k k 1n 1 n nC C C     (Hằng đẳng thức Pa-xcan). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 3 PHẦN 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại 1. Tính toán trên các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau 1) n k 2 k 1 11 k! n!    với n , n 2 . 2)    3 n n nn n 2n 3nP C C C 3n ! với n . 3) n 2 k 2 k 1 n 1 nA   với n ; n 2 . Giải 1) Ta có n k 2 k 1 k !    n k 2 1 1 k 1 ! k !           1 1 1 1 1 1... 1! 2! 2! 3! n 1 ! n!                       11 n!   (ĐPCM). 2) Ta có  3 n n nn n 2n 3nP C C C             3 2n ! 3n !n!n! . . n! n n ! n! 2n n ! n! 3n n !            3 2n ! 3n !n!n! . . n!0! n!n! n! 2n !   3n ! (ĐPCM). 3) Với mọi k nguyên, 2 k n  ta có    2k k !A k k 1 k 2 !       2k 1 1 1 1 k k 1 k 1 kA      . Do đó n 2 k 2 k 1 A  n k 2 1 1 k 1 k        1 1 1 1 1 1... 1 2 2 3 n 1 n                        11 n   THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 4 n 1 n   (ĐPCM). Ví dụ 2. Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau 1) [TN2007] 4 5 6n n n 1C C 3C   . 2) [TN2005] n 1 n 2n 2 n 2 n 5C C A 2     . 3) [TN2003] y x 1 y 1 x y 1 x y 1 x C 6 5C C 5 2C             . Giải 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 5 . Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có 4 5 5n n n 1C C C   . Phương trình đã cho tương đương với 5 6 n 1 n 1C 3C           n 1 ! n 1 ! 3 5! n 4 ! 6! n 5 !       1 1 n 4 2    n 6 (TMĐK). 2) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n 2 . Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có n 1 n nn 2 n 2 n 3C C C      . Bất phương trình đã cho tương đương với n 2 n 3 n 5C A 2       n 3 ! 5 n! n!3! 2 n 2 !             n 1 n 2 n 3 5 3n n 1              n 1 n 2 n 3 15n n 1      3 2n 9n 26n 6 0    .  1 Với mọi n 2 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 3n và 226n , ta có 3 3 2 2 2n 26n 2 n .26n 2 26n 2.5n 10n     . Do đó   2 2 2VT 1 10n 9n 6 n 6 0        1 nhận mọi n 2 là nghiệm  BPT đã cho nhận mọi n 2 là nghiệm. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 5 3)     y x 1 y 1 x y 1 x y 1 x C 6 1 5C C 5 2 2C             . Điều kiện để hệ có nghĩa: x , y nguyên, 1 y x 1   . Ta có  1         x 1 ! y 1 ! x y 1 ! 6. y ! x y 1 ! x! 5                 x 1 y 1 6 x y x y 1 5       .  3  2         y 1 ! x y 1 !x! 5. y 1 ! x y 1 ! x! 2               x y x y 1 5 y y 1 2      .  4 Nhân từng vế  3 và  4 ta có x 1 3 y    x 3y 1  .  5 Thay  5 vào  4 ta được     2y 2y 1 5 y y 1 2         2y 2y 1 5 y y 1 2     23y 9y 0   y 3 (chú ý tới điều kiện y 1 ) .  6 Thay y 3 vào  5 ta được x 8 . Ta thấy cặp giá trị x 8 , y 3 thỏa mãn điều kiện để hệ có nghĩa. Vậy hệ có nghiệm duy nhất    x;y 8;3 . Ví dụ 3. [ĐHD05] Tính giá trị của biểu thức   4 3 n 1 nA 3AM n 1 !    biết rằng 2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149       .  1 Giải ĐK: n nguyên, n 3 . Ta có  VT 1               n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 ! 2. 2. 2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 !                          n n 1 n 3 n 4 n 1 n 2 n 2 n 3 2 2            THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 6  21 6n 24n 282   23n 12n 14   . Do đó  1  23n 12n 14 149    23n 12n 135 0        thoûa maõn loaïi x 5 x 9      . Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau 1) k k 1 k 2 k 3 kn n n n n 3C 3C 3C C C        ,  1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn 3 k n  . 2) k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C ... C C            ,  1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn k n . Giải 1) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có  VP 1 k k 1n 2 n 2C C       k k 1 k 1 k 2n 1 n 1 n 1 n 1C C C C         k k 1 k 2 n 1 n 1 n 1C 2C C             k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C          k k 1 k 2 k 3 n n n nC 3C 3C C        VT 1 (ĐPCM). 2) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có k k k 1 n n 1 n 1C C C     k k k 1 n 1 n 2 n 2C C C      . . . k k k 1 k 1 k kC C C     . Cộng từng vế các đẳng thức trên, giản ước k kn 1 k 1C ... C   ở hai vế, ta được knC k 1 k 1 k 1 k n 1 n 2 k kC C ... C C          THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 7 k 1 k 1 k 1 k 1n 1 n 2 n 2 k 1C C ... C C             (chú ý: k k 1 k k 1C 1 C    ). Ví dụ 5. [ĐHB06] Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4 ). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A . Tìm  k 1;2;...;n sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. Giải Mỗi một cách chọn k phần tử từ tập A cho ta một tập con gồm gồm k phần tử của A  số tập con gồm k phần tử của A là knC . Số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A nghĩa là 4 2 n nC 20C      n! n!20 4! n 4 ! 2! n 2 !         1 20 12 n 3 n 2     2n 5n 234 0        thoûa maõn loaïi n 18 n 13      . Vậy số phần tử của A là 18 . Với k 1;17 , xét tỷ số      k 118 k 18 k ! 18 k !C 18! 18 kT . k 1 ! 17 k ! 18! k 1C          . Ta có T 1  18 k 1 k 1     17k 2   k 1;8 , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra. Thay từng giá trị của k vào T ta được 1 2 8 9 10 17 18 18 18 18 18 18 18 18C C ... C C C ... C C        . Do đó  k k18 18 k 1;18 C max C    k 9 . Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là số tập con lớn nhất. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 8 B. Bài tập Bài 1. Chứng minh 1)  n n 1 n 1P P n 1 P    với *n . 2) k 1 k n 1 n nC C k   với k , *n , k n . 3)     2n 1 1 n! n 1 ! n 2 !     với *n , n 2 . 4) [ĐHB08] k k 1 k n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n 2 C C C           với k,n ; 0 k n  . 5) n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k A       với n , *k , k 2 . 6) 2 2 2 5k n 1 n 3 n 5 n 5P A A A nk !A    với *n . 7)  n 1 2 3 n 1P 1 P 2P 3P ... n 1 P        với n ; n 2 . 8)  2 3 n1 n n n n 2 2 n 1 n n n n n 1C C C C 2 3 n 2C C C       với *n . 9) 2 3 n 1 2n n n n n 11 2 n 1 n n n C C C C 2 3 ... n C C C C       với *n . 10) 1 1 1 1 2 1! 2! 3! n!     với *n . 11)  1.1! 2.2! 3.3! ... n.n! n 1 !      với *n . 12) n kk 1 k 1 1 P   với *n . Bài 2. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 1)     n! n 1 ! 1 n 1 ! 6     . 2)     n 1 ! 72 n 1 !    . 3)           n 1 ! n n 1 !1 5 . 5 n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2!             . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 9 4) 3nA 20n . 5) 5 4n n 2A 18A  . 6) 5n 3 n n 5P 72A P  . 7)     4 n 4A 15 n 2 ! n 1 !     . 8) y 1 x y x 1 y x 1 y x 1 A 7 20A A 6 C            . 9) x x y y x x y y 2A 5C 90 5A 2C 80       . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 10 C. Đáp số Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình: 1)     n! n 1 ! 1 n 1 ! 6     . ĐS: 2 , 3 . 2)     n 1 ! 72 n 1 !    . ĐS: 8 . 3)           n 1 ! n n 1 !1 5 . 5 n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2!             . ĐS: 5 , 6 . 4)  3 n! n 1 ! 33    . ĐS: 2 , 3 . 5) 3nA 20n . ĐS: 6 . 6) 5 4n n 2A 18A  . ĐS: 10 . 7) 5n 3 n n 5P 72A P  . ĐS: 7 . 8)     4 n 4A 15 n 2 ! n 1 !     . ĐS: 3 , 4 , 5 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 11 Loại 2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHB02] Cho đa giác đều 1 2 nA A ...A ( n 2 , n nguyên). Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm 1A , 2A , ..., nA gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm 1A , 2A , ..., nA , tìm n . Giải Mỗi cách chọn ra 3 điểm trong 2n điểm rồi nối chúng lại cho ta một hình tam giác. Do đó, số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm là 32nC . Giả sử đa giác đều 1 2 nA A ...A nội tiếp đường tròn  O , ABCD là hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong số 2n đỉnh của đa giác. Ta thấy  ABC BCD 90    AC và BD đi qua  O . Từ đây, ta suy ra cách tạo một hình chữ nhật có 4 đỉnh là bốn đỉnh của tứ giác. Chọn ra 2 đường chéo đi qua O từ n đường chéo đi qua O của đa giác. Bước này có 2nC cách thực hiện. Từ 2 đường chéo vừa chọn ra, bao giờ ta cũng có đúng một cách nối các đầu mút đề được một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong số 2n điểm là 2nC . Theo giả thiết thì 3 2 2n nC 20C        2n ! n!20 3! 2n 3 ! 2! n 2 !           2n 2 2n 1 2n 20 n 1 n 3           n 1 2n 1 n 15 n 1 n        2n 1 2n 16n 0          loaïi loaïi thoûa maõn n 0 n 1 n 8       . Vậy n 8 . Ví dụ 2. [ĐHB04] Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó, có thể lập được bao nhiêu đề kiểm THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 12 tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? Giải Thầy giáo có 3 phương án sau đây để lập một đề thi thỏa mãn yêu cầu. +) Phương án 1: Đề thi có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 21 15 10 5n C C C . +) Phương án 2: Đề thi có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 2 12 15 10 5n C C C . +) Phương án 3: Đề thi có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 3 1 13 15 10 5n C C C . Vậy, theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra lập được theo yêu cầu là 2 1 2 2 2 1 3 1 1 1 2 3 15 10 5 15 10 5 15 10 5n n n C C C C C C C C C 56875      . Ví dụ 3. [ĐHB05] Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Giải Ta phân công như sau. Bước 1: Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ nhất. Theo quy tắc nhân thì bước này có số cách thực hiện là 4 11 12 3n C C . Bước 2: Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ hai. Vì đã chọn 4 nam và 1 nữ ở bước 1 nên theo quy tắc nhân, số cách thực hiện bước này là 4 12 8 2n C C . Các thanh niên còn lại phân công đi giúp đỡ tỉnh thứ ba. Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là 4 1 4 11 2 12 3 8 2n n C C C C 207900  . Ví dụ 4. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 13 sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Giải Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 41 12n C . Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp. Để làm như vậy ta có sau phương án sau. +) Phương án 1: Chọn 2 học sinh lớp T , 1 học sinh lớp L , 1 học sinh lớp H . Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 12 5 4 4n C C C . +) Phương án 2: Chọn 1 học sinh lớp T , 2 học sinh lớp L , 1 học sinh lớp H . Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 2 13 5 4 4n C C C . +) Phương án 3: Chọn 1 học sinh lớp T , 1 học sinh lớp L , 2 học sinh lớp H . Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 1 23 5 4 4n C C C . Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 4 12 5 4 4 5 4 4 5 4 4n n n n C C C C C C C C C C 225        . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 14 B. Bài tập Bài 1. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện 1) là số chẵn. 2) là chia hết cho 5 . Bài 2. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 3. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 4. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập từ các chữ số 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Bài 5. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết chữ số 1 xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 6. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số. Biết chữ số 1 có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 7. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết cho 2 . Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Bài 8. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong các chứ số có chữ số 2 và chữ số 4 . Bài 9. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số biết rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó. Bài 10. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số thỏa mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng sau nó. Bài 11. Tính số cạnh, số đường chéo của đa giác có 2010 đỉnh biết rằng đa giác này không có ba đỉnh nào thẳng hàng (đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không liên tiếp của nó). Bài 12. Cho đa giác đều có 2010 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác, có bao nhiêu hình chữ nhật có bốn đỉnh là bốn đỉnh của đa giác. Bài 13. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là các đỉnh của đa giác. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 15 Bài 14. Xét đa giác đều có ( 2n *n , n 2 ) cạnh. Tìm n biết rằng số hình chữ nhật có bốn đỉnh là bốn đỉnh của đa giác bằng 15 . Bài 15. Một trường THPT có 280 nam sinh và 325 nữ sinh. 1) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh. 2) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ. 3) Giả sử trong các học sinh nam có bạn Long và trong các nữ sinh có bạn Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc. Bài 16. Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có ít nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu cách lập ban cán sự này. Bài 17. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác 3 người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý. Bài 18. Một thầy giáo có 12 cuốn sách trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học sinh A , B , C , D , E , F , mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn. Bài 19. Một trường trung học có 8 thầy dạy toán, 5 thầy dạy lý và 3 thầy dậy hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 thầy thuộc đủ cả 3 bộ môn đó đi đại hội. Bài 20. Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một hội đồng thường trực gồm 3 người từ những thành viên nói trên sao cho trong đó có ít nhất 1 nam. Bài 21. Có bao nhiêu cách xếp 3 người bạn nam và 2 bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ ai đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới. Bài 22. Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đừng liền nhau. Bài 23. Có 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu cách để lập ra một đề thi gồm 3 câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên. Bài 24. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực A, 4 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực B và 2 người còn lại trực tại đồn. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 16 Bài 25. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn và dán 3 tem thư lên 3 bì thư. Bài 26. Có 7 nghệ sĩ, trong đó có 4 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người phải biểu diễn đúng một tiết mục. 1) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại đến nữ nghệ sĩ biểu diễn. 2) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho 2 tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là do nam biểu diễn. Bài 27. Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào 4 hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa 3 vật, hộp thứ hai chứa 2 vật, hộp thứ ba chứa 2 vật, hộp thứ tư chứa 3 vật. Bài 28. Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc Hưng và danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm 3 nữ và 4 nam từ đội dự tuyển nói trên sao cho trong đội phải có cả nam lẫn nữ và có mặt hai danh thủ. Bài 29. Chia nhóm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình thành hai tổ có số học sinh bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh giỏi và có ít nhất là 2 học sinh khá. Bài 30. Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc bộ bóng bàn gồm 8 thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này. Bài 31. Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam. Có bao nhiêu cách chia lớp thành ba tổ sao cho: tổ 1 gồm 10 người, tổ 2 gồm 11 người, tổ 3 gồm 12 người và mỗi tổ có ít nhất hai nữ. Bài 32. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Bài 33. Đội thanh niên xung kính của một trường phổ thông gồm 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Bài 34. Một đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12 , 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn đi. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 17 Bài 35. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 .