Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Khái niệm nguyên hàm và tích phân

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân A. Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm  Nguyên hàm: Cho hàm f xác định trên D   . Hàm F là một nguyên hàm của hàm f nếu    'F x f x với mọi x D .  Họ nguyên hàm:    f x dx F x C      'F x f x (C là hằng số bất kỳ).  Tích phân:         b b aa f x dx F x F b F a   với F là một nguyên hàm của f . 2. Tính chất  Nguyên hàm +)    kf x dx k f x dx    . +)        f x g x dx f x dx g x dx       .  Tích phân +)     b b a a kf x dx k f x dx    . +)         b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       . +)   0 a a f x dx  . +)       b c b a a c f x dx f x dx f x dx    . +)     b a a b f x dx f x dx   . 3. Công thức 1) 0du C . 2) du u C  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 3) 1 1 uu dx C        ( 1   ). Đặc biệt:   1 1 1n n du C u n u      ( n , 2n  ). 4) lndu u C u   . 5) ln u u aa du C a   . 6) u ue du e C  7) cos sinudu u C  . 8) sin cosudu u C   . 9) 2 tancos du u C u   . 10) 2 cotsin du u C u    . Trong các công thức trên, u được gọi là biểu thức dưới dấu vi phân. Khi tính tích phân, việc phát hiện biểu thức dưới dấu tích vi phân là rất quan trọng. Trong phần này, ta sử dụng công thức biến đổi biểu thức dưới dấu vi phân sau đây  d ax bdx a   , trong đó, a , b là các hằng số, 0a  . Đặc biệt, cho 1a  , ta có công thức  dx d x b  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm    21 2I x x dx   . Giải I    21 2x x dx     2 2 1 2x x x dx     3 3 2x x dx   4 21 3 2 4 2 x x x C    . Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm 2 2 1 x xI dx x    . Giải I   1 3 3 1 x x dx x      33 1 x dx x       21 3 3ln 1 2 x x x C     . Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm  42 1I x dx  . Giải I    41 2 1 2 1 2 x d x    51 2 1 10 x C   . Ví dụ 4. Tính tích phân 2 0 2 1I x dx  . Giải Ta thấy 2 1x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1 2 nên I 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1x dx x dx     BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4     1 2 1 2 2 0 2 1 2 1x dx x dx          1 2 1 2 22 2 0 x x x x     5 2  . Ví dụ 5. Tính tích phân 1 ln2 1 1 xI e dx    . Giải I   1 ln 2 1 1 1xe d x    1 ln21 1 xe  1 . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 8 2 4 cos 2 2 dxI x           . Giải I 3 8 2 4 2 1 2 2 cos 2 2 d x x                3 8 4 tan 2 2 x         1 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 C. Bài tập Bài 1. Tìm họ nguyên hàm 1)  2 5x x dx  . ĐS: 3 2 3 2 5x x x C   . 2) 2 32 3 1x xx dx   . ĐS: 23 122ln x xx C   . 3) 3 232 3 xx x e x x dx  . ĐS: 43 3lnxx x e x C    . 4)   2 2 x x dx   . ĐS: 2 38 4 x xx x C   . 5)  21x dx . ĐS: 3 2 3 x x x C   . 6)  321 2x dx . ĐS: 5 73 12 8 5 72 x xx x C    . 7)  32 3x dx . ĐS:   42 3 8 x C  . 8)  1001x dx . ĐS:   1011 101 x C  . 9) 3xe dx . ĐS: 3 3 xe C . 10)  23x xe e dx . ĐS: 6 4 2 6 2 2 x x xe e e C   . 11)  2x xe e dx . ĐS: 2 xe x C  . 12) 22 .3 .5 10 x x x x dx . ĐS: 6ln 6 x C . 13) 2 5 1xxe e dx   . ĐS: 2 6 1 6 x x e e C   . 14) sin 5xdx . ĐS: cos55 x C  . 15) cos 6xdx . ĐS: sin 66 x C . 16) sin cosx xdx . ĐS: cos 24 x C  . 17)  2sin cosx x dx . ĐS: cos 22 xx C  . 18)  4 4sin cosx x dx . ĐS: 3 sin 44 16x x C  . 19)  6 6sin 2 cos 2x x dx . ĐS: 5 3sin88 64x x C  . 20)    3 4cos 2 .cos 2x x dx   . ĐS:  1 18 12 2 12sin 4 sinx x C    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 21) 2 2sin x dx . ĐS: sin2 2x x C  . 22) 2 2cos x dx . ĐS: sin2 2x x C  . 23) 3sin xdx . ĐS: 3cos cos34 12x x C   . 24) 3cos xdx . ĐS: 3sin sin34 12x x C  . 25) 4sin xdx . ĐS: 3 sin2 sin48 4 32x x x C   . 26) 4cos xdx . ĐS: 3 sin 2 sin 48 4 32x x x C   . Bài 2. Tính tích phân 1)   1 3 54 0 x x x x x dx    . ĐS: 7120 . 2)   1 3 54 0 2 3 4 5x x x x x dx    . ĐS: 22920 . 3)   1 2010 0 1x dx . ĐS: 1 2011 . 4) 10 0 2010 1 dx x  . ĐS: ln 20101 2010 . 5) 2 2 0 1 x dx x  . ĐS: ln 3 . 6) 0 2 1x dx   . ĐS: 1. 7) 2 2 0 | |x x dx . ĐS: 1. 8)   5 3 2 2x x dx     . ĐS: 8 . 9) 0 1 sin 2xdx   . ĐS: 2 2 . 10) 0 1 cos 2xdx   . ĐS: 2 2 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 11)   4 4 4 0 cos sinx x dx   . ĐS: 1 2 . 12)   4 6 6 0 sin cosx x dx   . ĐS: 5 32  . 13) 2 0 sin sin 2x xdx   . ĐS: 2 3 . 14) 4 3 0 sin xdx   . ĐS: 8 5 2 12  . 15) 3 4 0 cos xdx   . ĐS: 8 7 3 64   . 16)   1 32 0 1xe dx . ĐS: 6 4 2 1 3 3 17 6 4 2 2 e e e   . 17)  22 2 0 2x x e dx e   . ĐS: 4 2 28 4 e e   .