Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Khoảng cách và các góc

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Khoảng cách và góc Loại 1. Khoảng cách A. Tóm tắt lý thuyết 1. Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách từ điểm  1 1 1A x y ;z; đến điểm  2 2 2B x y ;z; chính là độ dài đoạn thẳng AB      2 2 21 2 1 2 1 2AB x x y y z z      . 2. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng Giả sử  là đường thẳng đi qua điểm M và nhận véc-tơ u  làm véc-tơ chỉ phương. Khi đó, khoảng cách  d M; từ điểm M tới đường thẳng  được tính bởi công thức   0M M,u d M, u         . 3. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng Khoảng cách   d A; P từ điểm  0 0 0A x y ;z; tới mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0    được tính bởi công thức    0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A, P A B C       . 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường này tới đường kia.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: nếu 1 , 2 là hai đường thẳng chéo nhau. 1 qua 1M , có véctơ chỉ phương là 1u  . 2 qua 2M , có véctơ chỉ phương là 2u  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng nói trên chính là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng và được tính bởi công thức   1 2 1 21 2 1 2 u ,u .M M d , u ,u               . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 5. Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng  Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách bằng 0 .  Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm của đường thẳng tới mặt phẳng. 6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng không song song bằng 0 .  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Nếu  P : Ax By Cz D 0    và  Q :Ax By Cz D' 0    ( D D' ) thì khoảng cách     d P , Q giữa hai mặt phẳng được tính bởi công thức      2 2 2 | D D' |d P , Q A B C     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng x 2 t : y 2t z 5 2t          và mặt phẳng  P : 2x 3y z 7 0    . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho khoảng cách từ M đến  P bằng 6 147 . Giải Vì điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ có dạng  M 2 t; 2t;5 2t   . Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng ta có   6 t 1 d M; 14    . Khoảng cách nói trên bằng 14 khi và chỉ khi 6 t 1 6 14 714   , hay t 1 2  . Giải phương trình trên ta được t 3 hoặc t 1  . Suy ra  M 5; 6;11 hoặc  M 1;2;3 . Ví dụ 2. Cho hai mặt phẳng   : x 2y 3z 1 0     ,   : 2x 3y z 1 0     và điểm  M 1; 1;1 . Lập phương trình mặt phẳng  P vuông góc với cả hai mặt phẳng   ,   và cách M một khoảng bằng 2 3 . Giải Mặt phẳng  P vuông góc với các mặt phẳng   ,   nên mặt phẳng  P nhận véc-tơ pháp tuyến  1n 1;2; 3  của mặt phẳng   và véc-tơ pháp tuyến  2n 2; 3;1  của mặt phẳng   làm các véc-tơ chỉ phương. Do đó mặt phẳng  P nhận véc-tơ  1 2n n ,n 7; 7; 7          làm véc-tơ chỉ phương. Véc-tơ  n' 1;1;1  cùng phương với véc-tơ n  nên cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P . Suy ra phương trình mặt phẳng  P có dạng  P : x y z D 0    . Từ giả thiết  P cách M một khoảng bằng 2 3 ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4   d M, P 2 3 , hay m 1 2 3 3   . Giải phương trình nói trên, ta thu được m 7  hoặc m 5 . Vậy  P : x y z 7 0    hoặc  P : x y z 5 0    . C. Bài tập Goùc i.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng Nếu hai đường thẳng 1d , 2d có véctơ chỉ phương lần lượt là 1u  , 2u  thì góc  ( o0;90    ) giữa chúng được xác định bởi 1 2 1 2 u .u cos u . u       . ii.Goùc giöõa hai maët phaúng Nếu hai mặt phẳng  P và  Q có véctơ pháp tuyến lần lượt là 1n  và 2n  thì góc  ( o0;90    ) giữa chúng được xác định bởi 1 2 1 2 n .n cos n . n       . iii.Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Nếu đường thẳng d có véctơ chỉ phương là u và mặt phẳng  P có véctơ pháp tuyến là n thì góc  ( o0;90    ) giữa chúng được xác định bởi u.n sin u . n     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5