Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Mặt phẳng tọa độ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 1 Mặt phẳng tọa độ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các định nghĩa  Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau. Véc-tơ đơn vị trên Ox là i  , véc-tơ đơn vị trên Oy là j  .  Tọa độ của véc-tơ:  ;a x y   a xi y j     .  Tọa độ của điểm:  ;M x y   ; . .OM x y OM x i y j       . O y x j i 2. Tính chất  Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho  ;a x y  và  '; 'b x y  , ta có 1. a b    ' ' x x y y    ; 2.  '; 'a b x x y y      ; 3.  ;ka kx ky  ; 4. . ' 'a b xx yy    ; 5. 2 2a x y   ; 6.   2 2 2 2 ' 'cos , ' ' a b xx yya b a b x y x y              ( a  , 0b    ); 7. a b    ' ' 0xx yy  ; 8. a b     ' ' x kx k y ky      ' 'xy x y , Đặc biệt: khi cả y và 'y đều khác 0 , ta có a b     x y x y    .  Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử  ;A AA x y ,  ;B BB x y ,  ;C CC x y , ta có +)  ;B A B AAB x x y y    ,    2 2B A B AAB x x y y    ; +)  ;M MM x y là trung điểm của AB  2 2 A B M A B M y x xx yy       ; +)  ;G GG x y là trọng tâm tam giác ABC  3 3 A B C G A B C G x x xx y y yy         . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 2 B. Các dạng bài tập Dạng 1. Tìm tọa độ của một điểm và véc-tơ Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ  1;2a  ,  2; 4b   . 1) Tìm tọa độ của các véc-tơ a b   , a b   , 4 3a b   . 2) Tính độ dài của hai véc-tơ a  , b  , tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ a  , b  . Góc giữa hai véc-tơ a  , b  là góc nhọn hay góc tù. Giải 1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có  3; 2a b     ,  1;6a b     . Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có  4 4;8a   ,  3 6; 12b    , suy ra  4 3 2;20a b     . 2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có 5a   , 2 5b   . Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có 6a b     ,   6 3cos , 55 2 5 a ba b a b             .  cos , 0a b    nên  ,a b   là góc tù. Ví dụ 2. Cho hai véc-tơ  ;3a m  ,  2;2 1b m   ( m là tham số). Tìm m để hai véc-tơ đã cho cùng phương. Giải Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi 3 2 2 1 m m     , hay 22 6 0m m   . Giải phương trình này ta được 2m   hoặc 3 2 m  . Ví dụ 3. Cho ba điểm  0;1A ,  1; 2B  ,  2;2C . 1) Chứng minh rằng A , B , C là ba đỉnh của một tam giác. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 3) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm điểm E trên trục hoành sao A , G , E thẳng hàng. 4) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 3 Giải 1) Ta có  1; 3AB    ,  2;1AC   . Vì 1 3 2 1   nên hai véc tơ AB  và AC  không cùng phương . Do đó A , B , C không thẳng hàng, suy ra A , B , C là ba đỉnh của một tam giác. 2) Gọi  ;D a b . Ta có  ; 1AD a b   ,  1;4BC   . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 1 1 1 4 5 a a AD BC b b              . Vậy  1;5D . 3) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 11; 3 G      . Vì E thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng  ;0E a . Ta có 21; 3 AG        ,  ; 1AE a   . Ba điểm A , G , E thẳng hàng khi và chỉ khi 2 3 1 1 a     3 2 a  . Vậy 3 ;0 2 E      . 4) Gọi  ;H a b . Ta có  2; 2CH a b    ,  1; 2BH a b    . H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi . 0 . 0 CH AB BH AC                 4 1. 2 3. 2 0 3 4 7 2 0 82. 1 1. 2 0 7 aa b a b a ba b b                         . Vậy 4 8; 7 7 H      . Nhận xét. Trong ví dụ này tác giả muốn nhắc lại cho các em một số phương pháp tìm tọa độ điểm như dùng đẳng thức véc-tơ, sự cùng phương của hai véc-tơ, dùng tích vô hướng. Chúng ta tiếp tục nghiên cứu ví dụ sau đây, một ví dụ khác tìm tọa độ một điểm dựa vào đẳng thức độ dài. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A biết  1;0B và  0;3C . Tìm tọa độ điểm A sao cho 5AB  . Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 4 Gọi  ;A a b . Từ giả thiết ta có         2 2 22 2 2 2 2 22 2 1 2525 1 25 3 41 3 a bAB a b AB AC a ba b a b                          . Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được  2 2 2 0 4 5 3 25 3 0 3 5 b a b b b b b a                . Vậy  4;0A  hoặc  5;3A . Ví dụ 5. Cho tam giác ABC . Biết  1;2M  ,  3; 2N   ,  5;0P lần lượt là toạ độ trung điểm các cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Giải Ta thấy AM PN   . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta có 1 8 2 2 A A x y         . Suy ra  7;4A . Vì B đối xứng với A qua M nên 2 9 2 0 B M A B M A x x x y y y         , suy ra  9;0B  . M P N A B C Tương tự, C đối xứng với B qua N nên 2 3 2 4 C N B C N B x x x y y y         , suy ra  3; 4C  . Vậy  7;4A ,  9;0B  ,  3; 4C  . Ví dụ 6. Cho tam giác ABC . Biết  1;2A  ,  3;4B và C thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm C sao cho trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng đi qua B và gốc tọa độ O . Giải Điểm C thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng  ;0C c . Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm thì 2 3 3 3 3 A B C G A B C G x x x cx y y yy            , hay 2 ;3 3 cG      . Ta có 2 ;3 3 cOG       ,  3;4OB  . G thuộc BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 5 đường thẳng qua B và gốc tọa độ khi và chỉ khi OG  và OB  cùng phương, có nghĩa là 2 3 3 3 4 c  . Giải phương trình này ta được 35 4 c  . Vậy 35 ;0 4 C      . Ví dụ 7. Cho  1;2A và  3;7B  . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC cân tại C . Giải Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi AC BC và A , B , C không thẳng hàng. Điểm C thuộc trục tung nên tọa độ C có dạng  0;C c . Ta có  1; 2AC c    2 2 4 5AC c c   ,  3; 7BC c    2 2 14 58BC c c   . Phương trình AC BC tương đương với 2 24 5 14 58c c c c     . Phương trình này có nghiệm duy nhất 53 10 c  . Khi đó  4;5AB   , 331; 10 AC       . Vì 33 10 4 5 1    nên A , B , C không thẳng hàng. Vậy 530; 10 C      . Ví dụ 8. Cho hai điểm  1;1B  và  0;3C . Tìm điểm A trên trục hoành sao cho  045BAC  Giải Vì A thuộc trục hoành nên tọa độ A có dạng  ;0A a . Do đó  1 ;1AB a    ,  ;3AC a   . Góc BAC là góc giữa hai véc tơ ,AB AC   . Theo công thức tính góc giữa hai véc tơ, ta có     2 0 2 2 2 1 3cos 45 cos , 2 1 1 . 9 a aAB AC a a                 . Bình phương hai vế ta được     22 2 22 3 2 2 9a a a a a      . Khai triển và phân tích thành nhân tử Bình phương hai vế ta được   2 01 3 6 0 1 a a a a a a         (vì 2 3 6 0a a   với mọi a ). Vậy  0;0A hoặc  1;0A . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 6 Ví dụ 9. (B.03) Cho tam gi¸c ABC biÕt AB AC ,  90BAC   . Điểm  1; 1M  là trung điểm của BC và 2 ;0 3 G      là trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Giải Gọi  ;A a b . Theo tính chất của trọng tâm, ta có   1 1 013 1; 1 3 ;1 1 3 23 a a MA MG a b b b                        . Vậy  0;2A Gọi  ;B c d . Khi đó  1;3MA      2 21 3 10MA MA      ,  1; 1MB c d        2 21 1MB MB c d      . Do tam giác ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC nên         2 22 2 1 1 10 . 0 1 1 3 1 0 MB MA c d MB MA c d                    . Thay rút c theo d từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất ta được      2 2 2 0 4 3 3 1 10 1 1 2 2 d c d d d d c                  . TH1:  4;0B . Do  1; 1M  là trung điểm của BC nên  2; 2C   . TH2:  2; 2B   . Do  1; 1M  là trung điểm của BC nên  4;0C . Ví dụ 10. Cho  1;2A ,  4;5B ,  2; 7C   . 1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 2) Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giải 1) Ta có  3;3AB  ,  6; 12BC    . Vì 3 3 6 12    nên A , B , C không thẳng hàng. Do đó A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 2) Giả sử  ;I a b . Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 7  1 ;2IA a b       2 22 2 21 2 2 4 5IA a b a b a b         ,  4 ;5IB a b       2 22 2 24 5 8 10 41IB a b a b a b         ,  2 ; 7IC a b         2 22 2 22 7 4 14 53IC a b a b a b           . I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi IA IB IB IC    . Điều này tương đương với hệ 2 2 2 2 2 22 2 8 10 41 8 10 41 4 14 5 2 4 3 5 a b a b a b a b a b a b a b a b                      . Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương 6 2 1 a b a b        13 7 a b     Vậy  13; 7I  . Ví dụ 11. Cho tam giác ABC với  2;3A ,  2;0B  ,  6;3C . Tìm tọa độ D là chân đường phân giác trong góc A . Giải Ta có  4; 3AB     16 9 5AB    ,  4;0AB   16 0 4AC    . D là chân đường phân giác trong góc A nên hai véc-tơ DB  , DC  ngược hướng và DB DC AB AC  , hay 4 5DB DC . Suy ra 4 5 0DB DC     . Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương với      4 2 ; 5 6 ;3 0;0a b a b       , hay 9 22 0 9 15 0 a b        . Giải hệ ta được 22 9 a  , 5 3 b  . Vậy 22 5; 9 3 D      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 8 Dạng 2. Các bài toán cực trị Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2( ) 1 1y f x x x x x       Giải 2 22 2 2 2 1 3 1 3( ) 1 1 2 2 2 2 f x x x x x x x                                  Đặt 1 3; 2 2 u x          , 1 3; 2 2 v x          . Áp dụng bất đẳng thức u v u u       , ta có    221 3 2f x    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ u  và v  cùng hướng, hay 1 2 1 2 1 0x x     . Phương trình có nghiệm duy nhất 0x  .Vậy giá trị nhỏ nhất của  f x là 2 (đạt đươc khi và chỉ khi 0x  ). Ví dụ 2. Giải phương trình 2 22 5 2 10 29x x x x      . Giải Phương trình cho tương đương với    2 22 21 2 1 3 29x x      . Đặt  1 ;2u x   ,  1 ;3u x   . Áp dụng bất đẳng thức u v u u       , ta có    2 22 2 2 21 2 1 3 2 5 29x x        . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc-tơ u  và v  cùng hướng, do đó phương trình đã cho tương đương với 1 2 0 1 3 x x     . Phương trình có nghiệm duy nhất 1 5 x  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 9 C. Bài tập Bài 1. Cho các điểm  1;4A ,  2; 3B  ,  1;18C  ,  4;5D  . Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng và ba điểm A , B , D không thẳng hàng. Hướng dẫn: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc-tơ. Bài 2. Cho hai điểm  1;2A  và  3;7B . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục tọa độ. Đáp số: Giao điểm của AB với trục hoành, trục tung lần lượt là 13 ;0 5 M      , 130; 4 N      . Bài 3. Cho  1;2a ,  2;3b   ,  3;7c  . Hãy biểu diễn xác định các hằng số m , n sao cho a mb nc     . Đáp số: 13 5 m   , 7 5 m  . Bài 4. Cho  1;2A ,  5;6B ,  3; 1C  . 1) Chứng minh A , B , C không thẳng hàng. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Đáp số: 2)  1; 5D   . Bài 5. Cho  1;1A  ,  1;2B ,  4;0C . Tìm toạ độ điểm M sao cho: 1) 2 3AM BC AC     . 2) 2 3 0AM BM CM       . 3) Tứ giác ABCM là hình bình hành. Khi đó, hãy tìm toạ độ giao điểm các đường chéo của hình bình hành. Đáp số: 1)  10;0M  . 2) 13 5; 6 6 M      . 3)  2; 1M  , tâm của hình bình hành là 3 1; 2 2 I      . Bài 6. Cho tam giác ABC có  1;2A ,  3;7B ,  2; 6C  . Xác định tọa độ trung điểm các cạnh và trọng tâm của tam giác nói trên. Đáp số: Trung điểm của các cạnh AB , BC , CA lần lượt là 92; 2 M      , 5 1; 2 2 N      , 3 ; 2 2 P      . Trọng tâm tam giác là  2;1G . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 10 Bài 7. Cho hai điểm  3;4A  ,  4;0B  . Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ  0;0O là trọng tâm tam giác ABC . Đáp số:  7; 4C  . Bài 8. Cho  2;5A  ,  2;4B . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với các trục toạ độ. Đáp số: Giao điểm là 90; 2 I      . Bài 9. (D.04) Cho tam giác ABC có các đỉnh  1;0A  ,  4;0B ,  0;C m với 0m  . tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . Đáp số: 1; 3 mG      , 3 6m   . Bài 10. (A.04) Cho hai điểm  0;2A và ( 3; 1)B   .Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường trong ngoại tiếp của tam giác OAB . Đáp số: Trực tâm  3; 1H  , tâm đường tròn ngoại tiếp  3;1I  . Bài 11. Cho  1; 2A  ,  3;4B . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho: 1) Tam giác ABC vuông tại A . 2) Tam giác ABC cân tại A . Đáp số: 1)  5;0C  . 2)  7;0C hoặc  5;0C  . Bài 12. [ĐHB07] Cho điểm  2;2A và các đường thẳng 1 : – 2 0d x y  , 2 : – 8 0d x y  . Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc 1d và 2d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . Đáp số:  1;3B  ,  3;5C hoặc  3; 1B  ,  5;3C . Bài 13. Cho các điểm  3;6A  ,  1; 2B  ,  6;3C . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đáp số: Tâm đường tròn ngoại tiếp là 5 1; 4 2 I      . Bài 14. Cho  3;2A  ,  1;3B  . Tìm điểm C thuộc trục hoành sao cho  45ACB   . Đáp số:  1;0C  hoặc  2;0C  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 11 Bài 15. Cho tam giác ABC có  1;2B ,  1;3C  và 4AB  , 8AC  . Tìm tọa độ chân đường phân giác trong D và chân đường phân giác ngoài E của tam giác ABC hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC . Đáp số: 1 7; 3 3 D      ,  3;1E . Bài 16. Cho tam giác ABC với  2;4A ,  2;1B ,  6;1C . 1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đáp số: 1) 4 10 3 . 2) Tâm đường tròn nội tiếp là  3;2I . Bài 17. Cho tam giác ABC . Biết  1;2A ,  0;1M là trung điểm của AB ,  3; 1N  là trung điểm của AC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:  1;0B  ,  5;4C . Bài 18. Cho tam giác ABC . Biết  1;2A ,  0;1M là trung điểm của AB ,  3;1P là trung điểm của BC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:  1;0B  ,  7;2C . Bài 19. Cho tam giác ABC . Biết  3; 4A   và trung tuyến đi qua B , C lần lượt là trục hoành và trục tung. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:  3;0B ,  0;4C . Bài 20. Cho tam giác ABC . Biết  1;3A và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC lần lượt là trục hoành, trục tung. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:  1; 3B  ,  1;3C  . Bài 21. Cho tam giác ABC . Biết  2;5A và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC lần lượt là trục hoành, trục tung. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. Đáp số:  2; 5B  ,  2; 5C   . Bài 22. Cho  1;2A ,  3;4B . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 1) MA MB nhỏ nhất. 2) MA MB lớn nhất. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ NHÓM GIÁO VIÊN TRUNG TÂM TRỌNG ĐỨC 12 Đáp số: 1) 4 ;0 3 M      . 2)  0;0M . Bài 23. Cho ba số thực dương a ,b , c thỏa mãn ab bc ca abc   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 22 2 2 3a b b c c a ab bc ca       . Hướng dẫn: Đặt 1x a  , 1y b  , 1z c  suy ra x , y , 0z  và 1x y z   . Vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng 2 2 2 2 2 22 2 2y x z y x z     . Áp dụng bất đẳng thức u v w u v w           với  ; 2u y x  ,  ; 2v z y  ,  ; 2u x z  ta sẽ có điều phải chứng minh.