Giáo án lớp 12 môn Đại số - Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 1 - ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc Chuû ñeà 1. Phöông trình cô baûn A. Toùm taét lyù thuyeát 1. Phöông trình sinx = m (1)  Điều kiện có nghiệm: (1) có nghiệm m [ 1;1]   .  Cách giải: Với mỗi m [ 1;1]  , ta luôn chọn được ; 2 2        sao cho sin m  . Ta có: x k2 (1) sin x sin , k x k2               .  Một số trường hợp đặc biệt: sin x 0 x k , k     x k21 6sin x , k 2 5x k2 6              x k21 6sin x , k 2 7x k2 6               x k22 4sin x , k 2 3x k2 4              x k22 4sin x , k 2 5x k2 4               x k23 3sin x , k 2 2x k2 3              x k23 3sin x , k 2 4x k2 3               sin x 1 x k2 , k 2        sin x 1 x k2 , k 2          Chuù yù: Nghiệm của các phương trình sin x 0 , sin x 1 , sin x 1  được biểu diễn dưới dạng một họ nghiệm. Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 2 - ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 2. Phöông trình cosx = m (2)  Điều kiện có nghiệm: (2) có nghiệm m [ 1;1]   .  Cách giải: m [ 1;1]   , ta luôn chọn được [0; ]  sao cho cos m  . Ta có: x k2 (2) c x c , k x os os k2              .  Một số trường hợp đặc biệt: c x 0s x k , k 2 o       x k21 3c x , k 2 x k2 3 os              2x k21 3c x , k 2 2x k2 3 os                x k22 4c x , k 2 x k2 4 os              3x k22 4c x , k 2 3x k2 4 os                x k23 6c x , k 2 x k2 6 os              5x k23 6c x , k 2 5x k2 6 os                c x 1s x 2 , ko k     c x 1 xos k2 , k        Chuù yù: Nghiệm của các phương trình cos x 0 , cos x 1 , cos x 1  được biểu diễn dưới dạng một họ nghiệm. Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 3 - ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 3. Phöông trình tanx = m (3)  (3) có nghiệm với mọi m .  Với mỗi m , ta luôn chọn được ; 2 2         sao cho m tan  . Ta có: (3) tan x tan x k , k        .  Một số trường hợp đặc biệt: tan x 0 x k ,k     3tan x x k , k 3 6        3tan x x k , k 3 6         tan x 3 3 x k , k      tan x 3 x k , k 3         tan x 1 4 x k , k      tan x 1 x k , k 4         4. Phöông trình cotx = m (4)  (4) có nghiệm với mọi m .  Với mỗi m , ta luôn chọn được (0; )  sao cho m cot  . Ta có: (4) cot x cot x k , k       .  Một số trường hợp đặc biệt: cot x 0 x k ,k 2        3cot x x k , k 3 3        3cot x x k , k 3 3         cot x 1 4 x k , k      cot x 1 x k , k 4         cot x 3 6 x k , k      cot x 3 x k , k 6         Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 4 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Ngoài các dạng phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng là cơ bản:  f (x) g(x) k2sin[f (x)] sin[g(x)] , k f (x) g(x) k2             .  f (x) g(x) k2oc [f (x)] c [g(x)] , k f (x) g(x) os k2 s            .  tan[f(x)] tan[g(x)] f (x) g(x) k , k      .  cot[f (x)] cot[g(x)] f (x) g(x) k , k      . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 5 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 B. Moät soá ví duï Ví duï 1. Giải phương trình  5x xsin 3x sin cos 1 2 2  . Giaûi  1   12sin 3x sin 3x sin 2x   sin3x sin2x  3x 2x 2k 3x 2x 2k           2k 5 5 x 2k x        (k ). Ví duï 2. Giải phương trình    sin 3x 1 cos 4x cos 3xsin 4x 1  . Giaûi  1  cos 3xsin 4x sin 3xcos4x sin 3x   sin7x sin3x  7x 3x 2k 7x 3x 2k           k 2 k 10 5 x x          (k ). Ví duï 3. [ĐHB04DB2] Giải phương trình  sin 4xsin 7x cos3xcos 6x 1 . Giaûi  1     1 12 2cos11x cos 3x cos 9x cos 3x     cos11x cos9x    cos11x cos 9x    11x 9x 2k 11x 9x 2k             k 20 10 2 x x k             (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 6 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Ví duï 4. [ĐHD02DB1] Giải phương trình  2 1 sin x 1 8cos x  . Giaûi Đk: cos x 0  2x k    . Ta có  1     2128cos x sin x 0 2 sin x 3      .  3  2 28sin xcos x 1 ( cos x 0 )  22sin 2x 1  cos4x 0  24x k     k8 4x    .              thoûa maõn thoûa maõn thoûa maõn thoûa maõn khoâng thoûa maõn khoâng thoûa maõn 8 3 8 5 8 7 8 9 8 11 8 13 8 x 2k ( sin x 0, 2 ) x 2k ( sin x 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sin x 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sin x 0, 2 ) x 2                                            khoâng thoûa maõn khoâng thoûa maõn158 k ( sin x 0, 2 ) x 2k ( sin x 0, 2 )                       . Vậy các họ nghiệm của  1 là x k2 8     , 3x k2 8     , 5x k2 8     , 7x k2 8     (k ). Chuù yù: Họ nghiệm 2knx    (k ) thực ra là tập hợp  2kn k   . Ta có          2k 2 2n n nk 2k k 2k k n 1 ... 2 k. k                             . Nói cách khác 2k nx         2 n 2 n x 2k x 2k ... x n 1 2k                         (k ). Ở ví dụ trên, việc kiểm tra điều kiện cos x 0 được thực hiện ngay ở bước biến đổi đầu tiên phương trình  3 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 7 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 C. Baøi taäp Giải các phương trình sau 1) sin 3xcos2x sin 2xcosx ĐS: k , k 8 4    (k ). 2)  2 xcos x 4cos x 3 cos 02   . ĐS: 4k 5  , 4k 7  (k ). 3)  sin 2x 1 tan 2xtan x 1  . ĐS: k 8 2    (k ). 4)  sin 2x tan x 1 sin 2xtan 2x  . ĐS: k (k ). 5) sin x sin 2x cos x cos 2x 0    . ĐS: 2k , 2k 6 3    (k ). 6) [ĐHB03DB2]   2 x2 3 cos x 2sin 2 4 1 2cos x 1           . ĐS: (2k 1) 3     (k ). 7) [ĐHB05BD2] 2 2 cos2x 1tan x 3tan x 2 cos x          . ĐS: k 4     (k ). 8)  22sin 3x 1 4sin x 1  . ĐS: k2 14 7    , 2k 3 không chia hết cho 7 ; k2 10 5    , k 1 không chia hết cho 5 (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 8 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Chuû ñeà 2. Ñaïi soá hoùa phöông trình löôïng giaùc A. Noäi dung phöông phaùp Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Nhờ phép đặt ẩn phụ, ta có thể đưa phương trình cần giải về một phương trình đại số. Các phép đặt ẩn phụ hay gặp là: t sin x , xt sin 2  , t sin 2x , t cos x , xt cos 2  , t cos 2x , t tan x , xt tan 2  , t tan 2x , . B. Moät soá ví duï Ví duï 1. [ĐHD06] Giải phương trình  cos3x cos2x cos x 1 0 1    . Giaûi  1     3 24cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0       3 24cos x 2cos x 4cos x 2 0      3 22cos x cos x 2cos x 1 0 2    . Đặt t cos x ,    t 1;1 3  ,  2 trở thành 3 22t t 2t 1 0        t 1 t 1 2t 1 0     1 2 t 1 t      (thỏa mãn  3 ). * Thay t 1  vào  3 ta có: cos x 1   sin x 0  x k  (k ). * Thay 12t   vào  3 ta có: 1 2cos x    2x k2 3      (k ). Vậy  1 có các họ nghiệm là x k  , 2x k2 3      (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 9 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Ví duï 2. Giải phương trình  12cos 2x 8cos x 7 1 cos x    . Giaûi Đk: cos x 0  2x k    . Ta có:  1   cos x 2cos 2x 8cos x 7 1   ( cos x 0 )   2cos x 2 2cos x 1 8cos x 7 1         3 24cos x 8cos x 5cos x 1 0 2    . Đặt t cos x ,    t 1;1 3  ,  2 trở thành 3 24t 8t 5t 1 0       2t 1 2t 1 0    1 2 t 1 t    (thõa mãn  3 ). * Thay t 1 vào  3 ta có: cos x 1  x 2k  (k ). * Thay 12t  vào  3 ta có: 1 2cos x   x k23      (k ). Vậy  1 có các họ nghiệm là x 2k  , x k2 3      (k ). Chuù yù: Việc kiểm tra điều kiện có nghĩa của phương trình nên được tiến hành tại thời điểm thuận lợi (không nhất thiết phải hoàn thành việc giải rồi mới kiểm tra điều kiện). Ở ví vụ trên, việc kiểm tra điều kiện được tiến hành ngay sau khi biến đổi phương trình đã cho thành phương trình  cos x 2cos 2x 8cos x 7 1   . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 10 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Ví duï 3. [ĐHB06] Giải phương trình  xcot x sin x 1 tan xtan 4 1 2         . Giaûi Đk: x 2 sin x 0 cosx 0 cos 0       sin x 0 cosx 0     k2x  . Ta có x x x xsin x sin cos xcos sin xsin cos2 2 2 2 x x xcos x cos cos xcos cos xcos2 2 2 x 11 tan xtan 1 2 cos x        . Do đó  1  cot x tan x 4   2tan x 4tan x 1 0   ( sin x 0 , cos x 0 )  tan x 2 3 tan x 2 3        x k 12 5x k 12          (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 11 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 C. Baøi taäp Giải các phương trình sau Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) [ĐHA02DB2] 2 xtanx cos x cos x sin x 1 t anx. tan 2          . ĐS: k2 (k ). 2) [ĐHB07DB2] sin 2x cos2x tan x-cotx cos x sin x   . ĐS: k2 3     (k ). 3) [ĐHA03DB2] 3 tan x(tan x 2sin x) 6cos x 0    . ĐS: k 3     (k ). 4) [ĐHB04] 25sin x 2 3(1 s inx)tan x   . ĐS: k2 6    , 5 k2 6    (k ). 5) [ĐHA10]  1 sin x cos 2x sin x 14 cos x 1 tan x 2          . ĐS: k2 6     , 7 k2 6    (k ). 6) 38cos x cos 3x 3        . ĐS: k 4    (k ). 7) [ĐHD05] 4 4 3sin x cos x sin 3x cos x 0 4 4 2                   . ĐS: k 4    (k ). 8) [ĐHB02BD2] 4 4sin x cos x 1 1cot 2x 5sin 2x 2 8sin 2x    . ĐS: k 6     (k ). 9) [ĐHB03DB1] 6 23cos 4x 8cos x 2cos x 3 0    . ĐS: k 4 2    , k (k ). 10) [ĐHB03] 2cot x tan x 4sin 2x sin 2x    . ĐS: k 3     (k ). 11) [ĐHA03DB1] 2cos2x cos x(2tan x 1) 2   . ĐS: k2 3     (k ). 12) [ĐHD03DB2] 2cos 4xcot x tan x sin 2x   . ĐS: k 3     (k ). 13) [ĐHA05] 2 2cos 3xcos 2x cos x 0  . ĐS: k 2  (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 12 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 14) [ĐHA05DB1] 2 2 3sin xcos 2x cos x(tan x 1) 2sin x 0    . ĐS: k2 6    , 5 k2 6    (k ). Baøi 2. Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn  1;70 của phương trình 3 2 2 2 cos x cos x 1cos 2x tan x cos x     . ĐS: 363 . Baøi 3. [ĐHA02] Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2 của phương trình cos3x sin 3x5 sin x cos2x 3 1 2sin 2x        . ĐS: 3  , 5 3  . Baøi 4. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn  0;14 của phương trình cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0    . ĐS: 2  , 3 2  , 5 2  , 7 2  . Baøi 5. [ĐHD02BD2] Xác định m để phương trình  4 42 sin x cos x cos4x 2sin 2x m 0     có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2      . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 13 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Chuû ñeà 3. Phöông trình tích A. Noäi dung phöông phaùp Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng phương trình tích. Đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung, phương trình lượng giác nói riêng. Sau đây là một số đẳng thức rất hay sử dụng trong phần này o  21 sin 2x sin x cos x   . o  21 sin 2x sin x cos x   . o    cos 2x cos x sin x cos x sin x   . o cos x sin x1 tan x cos x    . o cos x sin x1 tan x cos x    . o sin x cos x1 cot x sin x    . o sin x cos x1 cot x sin x    . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 14 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 B. Moät soá ví duï Ví duï 1. [ĐHB07DB1] Giải phương trình  5x x 3xsin cos 2cos 1 2 4 2 4 2                 . Giaûi Ta có 5x x 5x x 3xsin cos sin sin 2cos sin x 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4                                           . Do đó  1  3x 22cos sin x 0 2 4 2             3xcos 0 2 2sin x 4 2             3x k 2 2 x 2k 4 4 3x 2k 4 4                     2kx 3 3 x 2k 2 x 2k                , (k ). Ví duï 2. [ĐHB05] Giải phương trình  1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 1     . Giaûi Ta có:  21 sin2x sin x cos x   ,   cos 2x cos x sin x cosx sinx   . Do đó  1         2sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 0             sin x cos x 1 sin x cos x cos x sin x 0            sin x cos x 2cos x 1 0    sin x cos x 0 2cos x 1 0       tan x 1 1cos x 2         x k 4 2cos x 2k 3            , (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 15 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Ví duï 3. [ĐHD08DB1] Giải phương trình  3 sin xtan x 2 1 2 1 cos x         . Giaûi Ta có 3tan x tan x cot x 2 2                 . Do đó điều kiện để phương trình có nghĩa là:  sin x 0 cosx 1 cosx 1           sin x 0 2 . Ta có  1  sin xcot x 2 1 cos x            2 1 cosx 1 cosx cos x 1 cosx sin x 2sin x 1 cos x           1 cos x cosx 1 cosx 2sin x 0          1 cos x 1 2sinx 0        khoâng thoûa maõn 2 thoûa maõn 2 cos x 1 ( ) 1sinx ( ) 2        x 2k 6 5x 2k 6          (k ). Ví duï 4. [DHB02DB1] Giải phương trình     2 4 4 2 sin 2x sin 3x tan x 1 1 cos x    . Giaûi Đk: cos x 0 . Ta có  1   4 4 2sin x cos x 2 sin 2x sin 3x   . Lại có 4 4 2 1sin x cos x 1 sin 2x 2    . Do đó phương trình nói trên tương đương với  2 211 sin 2x 2 sin 2x sin 3x2      2 12 sin 2x sin 3x 0 2          1sin 3x 2  (do 22 sin 2x 1 x   )  1sin 3x 2  ( cos x 0 vì 3cos x 0 sinx 1 sin3x 3sinx 4sin x 1         )  3x 2k 6 53x 2k 6           2kx 18 3 5 2kx 18 3          (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 16 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 C. Baøi taäp Giải các phương trình sau 1) [ĐHD04]    2cos x 1 2sin x cos x sin 2x s inx    . ĐS: k2 3     , k 4     (k ). 2) [ĐHB06DB1]    2 2 22sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0    . ĐS: k6 2     (k ). 3) [ĐHD06DB2] 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 0    . ĐS: k2 2     , 2 k2 3     (k ). 4) [ĐHD08]  2sin x 1 cos2x sin 2x 1 2cosx    . ĐS: 2 k2 3     , k 4    (k ). 5) [ĐHD04DB1] 2sin xcos 2x sin 2xcos x sin 4xcos x  . ĐS: k , k 3  (k ). 6) [ĐHB02] 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x   . ĐS: k 9  , k 2  (k ). 7) [ĐHD07DB2]    1 tan x 1 sin 2x 1 tan x    . ĐS: k 4     , k (k ). 8) [ĐHB08DB1] 3 3 2 2sin x 3cos x sin xcos x 3 sin xcos x   . ĐS: k 4 2    , k 3     (k ). 9) [ĐHD03] 2 2 2 x xsin tan x cos 0 2 4 2         . ĐS: k2   , k 4     (k ). 10) [ĐHA03] 2 cos2x 1cot x 1 sin x sin 2x 1 t anx 2      . ĐS: k 4    (k ). 11) [ĐHB07] 22sin 2x sin 7x 1 sin x   . ĐS: k 8 4    , k2 18 3    , 5 k2 18 3    (k ). 12) [ĐHA07DB1] 1 1sin 2x sin x 2cot 2x 2sin x sin 2x     . ĐS: k 4 2    (k ). 13) [ĐHB10]  sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0    . ĐS: k 4 2    (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 17 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 14) Giải phương trình  sin 3x 3 2 cos 3x 1   . ĐS: k26 3    , 2 k2 9 3    (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 18 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Chuû ñeà 4. Phöông trìõnh baäc nhaát ñoái vôùi sin vaø cos A. Toùm taét lyù thuyeát Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng:  A sin x Bcos x C 1  với 2 2A B 0  . Caùch giaûi 1 Chia hai vế của  1 cho 2 2A B , ta được phương trình tương đương 2 2 2 2 2 2 A B Cs oin x c B B A B s x A A      . Vì 2 2 2 2 2 2 A B 1 A B A B                  nên tồn tại  0;2  để: 2 2 2 2 Acos A B Bsin A B            . Do đó:   2 2 C1 sin xcos cos xsin A B         2 2 Csin(x ) 2 A B     . Ta thấy (2) là phương trình cơ bản đối với sin . Chuù yù: Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x  1 có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2A B C 0   . Caùch giaûi 2 Böôùc 1: Tìm nghiệm thỏa mãn xcos 0 2  của phương trình. Böôùc 2: Tìm nghiệm thỏa mãn xcos 0 2  của phương trình. Cụ thể như sau: Đặt xt tan 2  . Ta có 2 2tsin x 1 t   , 2 21 tcos x 1 t    . Phương trình đã cho trở thành: 2 2 22t 1 tA B C 1 t 1 t          2B C t 2At C B 0 3     . Ta thấy phương trình  3 luôn giải được. Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 19 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 B. Caùc ví duï Ví duï 1. Giải phương trình  sin x cos x 3 1  . Giaûi Đặt A 1 , B 1 , C 3 . Ta có 2 2 2A B C 1 0       1 vô nghiệm. Ví duï 2. Giải phương trình  sin x 3 cos x 2 1  . Giaûi Ta có  1  1 3 2sin x cos x 2 2 2    2sin xcos cos xsin 6 6 2      sin x sin 6 4          x 2k 6 4 3x 2k 6 4               x 2k 12 7x 2k 12          (k ). Ví duï 3. Giải phương trình  3 sin x cos x 3 1   . Giaûi Ta có  1  3 1 3sin x cos x 2 2 2     sin xcos cos xsin sin 6 6 3            sin x sin 6 3                 x 2k 6 3 4x 2k 6 3                x 2k 6 3x 2k 6 2             (k ). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 20 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Ví duï 4. Giải phương trình  sin x sin 2x cos x cos 2x 0 1    . Giaûi  1  sin 2x cos 2x sin x cos x    2 sin 2x 2 sin x 4 4                 sin 2x sin x 4 4                 2x x 2k 4 4 32x x 2k 4 4                  2k 3 x 2k x 6         (k ). Ví duï 5. Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm x 0; 2       :    2sin x 2 m osc m 1x   . Giaûi Đặt  x2t tan 2    2t 21 t 21 t 21 t sin x 3 cosx           . Thay  3 vào  1 ta có   22t 1 t 2 21 t 1 t 2. 2 m m            2 21 t4t 2 m tm 1      22t 4t 2 m 1 0      2t 2t 1 m 4   . Trước hết ta tìm điều kiện của t để  2 có nghiệm 2x 0;     : Xét hàm   x 2f x tan . Ta có    22 x 2 1f ' x 0 x 0; 2cos      f đồng biến trên 20;     . Lại có  f 0 0 ,  2f 1  . Do đó hàm f có tập giá trị là  0;1 . Thành thử  2 có nghiệm 2x 0;      0 t 1  . Xét hàm   2g t t 2t  với  t 0;1 . Ta có      g' t 2t 2 2 t 1 0 t 0;1        g nghịch biến trên  0;1 . Lại có  g 0 0 ,  f 1 1  . Do đó hàm g có tập giá trị là  1;0 . Thành thử  1 có nghiệm 2x 0;       4 có nghiệm  t 0;1  1 1 m 0     1 m 2  . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 21 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 C. Baøi taäp Baøi 1. Giải các phương trình sau 1)  2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x   . ĐS: Vô nghiệm. 2) [ĐHD07] 2x xsin cos 3 cos x 2 2 2         . ĐS: k2 2    , k2 6     (k ). 3) [ĐHB06DB2] Giải phương trình cos2x (1 2cosx)(sin x cos x) 0    . ĐS: k 4    , k2 2    , k2   (k ). 4) [ĐHD04DB2] sin x sin 2x 3(cos x cos2x)   . ĐS: k2   , 2 k2 9 3    (k ). 5) [ĐHA06DB2] 2sin 2x 4sin x 1 0 6          . ĐS: k , 7 k2 6    (k ). 6) [ĐH07ADB2] 22cos x 2 3 sin xcos x 1 3(sin x+ 3 cos x)   . ĐS: 2 k 3    (k ). 7) [ĐHD09] 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0   . ĐS: k 18 3    , k 6 2     (k ). 8) [ĐHA09] (1 2sin x)cos x 3 (1 2sin x)(1 sin x)     . ĐS: k2 18 3     (k ). 9)  4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2   . ĐS: k12 2    , k 4 2    (k ). 10) 34sin x 1 3sin x 3 cos 3x   . ĐS: k2 18 3    , k2 2 3    (k ). 11) 32sin 4x 3cos 2x 16sin xcos x 5 0    . ĐS: k 4 2      , k . Ở đây,  được chọn sao cho 3sin 5 4cos 5         . 12) sin x cos x 7sin 2x 1   . ĐS: k2 2    , k2   , k2 4      , 5 k2 4      (k ). Ở đây,  được chọn sao cho 3 2sin 7   . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 22 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 13) [ĐHB09]  3sin x cos xsin 2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x    . ĐS: k2 6     , k2 42 7    (k ). Baøi 2. Tìm nghiệm thuộc khoảng  2;4 của phương trình 2 2 xsin xcos 4x 2sin 2x 1 4sin 4 2          . ĐS: 2  . Baøi 3. [ĐHA08] Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; của phương trình 2 2x 34sin 3 cos 2x 1 2cos x 2 4          . ĐS: 5 18  , 17 18  , 5 6  . Baøi 4. [ĐHA02DB1] Cho phương trình 2sin x cos x 1 a sin x 2cos x 3      , (a là tham số). 1) Giải phương trình khi 1a 3  . 2) Tìm a để phương trình có nghiệm. ĐS: 1) k 4     (k ). 2) 1 a 2 2    . Baøi 5. Tìm m để phương trình 2sin x m cos x 1 m   có nghiệm thuộc đoạn ; 2 2       . ĐS: 1 m 3   . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Phöông trình löôïng giaùc - 23 – ThS. Phaïm Hoàng Phong – Gv luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 Chuû ñeà 5. Phöông trình thuaàn nhaát baäc hai ñoái vôùi sin vaø cos A. Toùm taét lyù thuyeát Ñònh nghóa: Phương trình thuần nhất bậc hai là phương trình có dạng  2 2a.sin x b.sin xcos x c.cos x 0 1   , với 2 2 2a b c 0   . Caùch giaûi 1 Böôùc 1: Tìm nghiệm thỏa mãn cos x 0 của phương trình. Böôùc 2: Tìm nghiệm thỏa mãn cos x 0 của phương trình. Cụ thể như sau: Chia hai vế cho 2cos x để đưa về phương trình bậc hai đối với tan x 2atan x btan x c 0   . Caùch giaûi 2 Dùng công thức nhân đôi để đưa về phương trình bậc nhất đối