Giáo án lớp 12 môn Đại số - Nguyên hàm - Trần Gia Huy

Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 1 NGUYÊN HÀM I) Định nghĩa nguyên hàm : Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D. F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x), ∀x∈D II) Định nghĩa tích phân không xác định : Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số. Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác định của hàm f(x). Ký hiệu : ( ) ( )f x dx F x C= +∫ III) Bảng các nguyên hàm : dx x C= +∫ ( ) 1x x dx C 1 1 α+ α = + α ≠ − α +∫ dx ln x C x = +∫ x xe dx e C= +∫ x x aa dx C ln a = +∫ cos xdx sin x C= +∫ sin xdx cos x C= − +∫ 2 dx tgx C cos x = +∫ 2 dx cotgx C sin x = − +∫ kdx kx C= +∫ ( ) ( ) ( ) 1 ax b1 ax b dx C 1, a 0 a 1 α+ α + + = + α ≠ − ≠ α +∫ ( )dx 1 ln ax b C a 0 ax b a = + + ≠ +∫ ax b ax b1e dx e C a + += +∫ ( ) ( )1cos ax b dx sin ax b C a + = + +∫ ( ) ( )1sin ax b dx cos ax b C a + = − + +∫ ( ) ( )2 dx 1 tg ax b C cos ax b a = + + +∫ ( ) ( )2 dx 1 cotg ax b C sin ax b a = − + + +∫ TÍCH PHÂN I) Định nghĩa tích phân xác định : Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b] Ký hiệu : ( ) b a f x dx∫ Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = −  ∫ Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x) a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 2 II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K 1) ( ) a a f x dx 0=∫ 2) ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= −∫ ∫ 3) ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx=∫ ∫ 4) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ±  ∫ ∫ ∫ 5) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a; b= + ∈  ∫ ∫ ∫ 6) ( ) [ ] ( ) b a f x 0, x a; b f x dx 0≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫ 7) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) b b a a f x g x , x a; b f x dx g x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫ ∫ 8) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) b a m f x M, x a; b m b a f x dx M b a≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ −∫ 9) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) t a t biến thiên trên đoạn a; b G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0⇒ = =∫ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1) Diện tích hình phẳng : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó y1, y2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau : ( ) ( ) b 1 2 a S f x f x dx= −∫ 2) Thể tích vật thể tròn xoay : • Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : ( ) 2b b 2 Ox a a V y dx f x dx= π = π   ∫ ∫ • Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : ( ) 2b b 2 Oy a a V x dy g y dy= π = π   ∫ ∫ Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 3 CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC 1) Tính tích phân : 2 1 x I dx 1 x 1 = + −∫ (Đại học khối A – 2004) 2 2 11 1 12 3 3 2 2 0 0 0 0 Đặt t x 1 t x 1 x t 1 dx 2 tdt x 1 t 0; x 2 t 1 t 1 t t 2 t t 1 1 I 2 tdt 2 dt 2 t t 2 dt 2 2 t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2 1 t t 1 t 1 3 2 3 2 11 4 ln 2 3 = − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = = ⇒ = = ⇒ =  + +    = = = − + − = − + − + = − + −    + + +     = − ∫ ∫ ∫ 2) Tính tích phân : 2 3 2 5 dx I x x 4 = + ∫ (Đại học khối A – 2003) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 4 4 4 4 22 2 3 3 3 35 4 4 3 3 Đặt t x 4 t x 4 2 tdt 2 x dx tdt xdx Đổi cận : x 5 t 3; x 2 3 t 4 t 2 t 2xd x tdt dt 1 1 1 1 I dt dt t 2 t 2 4 t 2 t 2 4 t 2 t 2t 4 tx x 4 1 1 t 2 1 1 1 ln t 2 ln t 2 ln ln ln 4 4 t 2 4 3 5 = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = = ⇒ = = ⇒ = + − −  = = = = = − + − + − − +−  + −  =  − − +  = = −   +  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 5 ln 4 3  =    3) Tính tích phân : 1 3 2 0 I x 1 x dx= −∫ (Dự bị 2 – Đại học khối A – 2003) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 11 0 1 3 5 2 2 2 2 4 0 1 0 0 Đặt t 1 x t 1 x x 1 t 2 xdx 2 tdt xdx tdt Đổi cận : x 0 t 1; x 1 t 0 t t 1 1 2 I x 1 x xdx 1 t t tdt t t dt 3 5 3 5 15 = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − = ⇒ = = ⇒ =   = − = − − = − = − = − =    ∫ ∫ ∫ 4) Tính tích phân : 2 0 sin 2 x sin x I dx 1 3 cos x π + = +∫ (Đại học khối A – 2005) ( ) 2 2 1 2 2 32 2 0 0 2 1 2 tdt Đặt t 1 3 cos x t 1 3 cos x 2 tdt 3 sin xdx sin xdx 3 Đổi cận : x 0 t 2; x t 1 2 t 1 2 tdt 2 1 2 cos x 1 sin xdx 3 32 sin x cos x sin x 2 2 t 1 2 2 t t I dx t 3 3 3 9 31 3 cos x 1 3 cos x π π = + ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = − π = ⇒ = = ⇒ =  −  + −  +    + +  = = = = = +    + +     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 16 2 2 1 34 3 9 3 9 3 27     = + − + =         Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 4 5) Tính tích phân : 2 2 2 0 sin 2 x I dx cos x 4 sin x π = + ∫ (Đại học khối A – 2006) 2 2 2 2 22 2 1 1 1 2 tdt Đặt t cos x 4 sin x t 1 3 sin x 2 tdt 6 sin x cos xdx 3 sin 2 xdx sin 2 xdx 3 Đổi cận : x 0 t 1; x t 2 2 2 tdt 2 2 4 2 23I dt t t 3 3 3 3 3 = + ⇔ = + ⇔ = = ⇔ = π = ⇒ = = ⇒ =  = = = = − =  ∫ ∫ 6) Tính tích phân : 1 2 0 I 1 x dx= −∫ Giải 2 2Khi gặp a x , ta đặt x a sin t t ; 2 2  π π  − = ∈ −     2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 0 0 0 0 Đặt x sin t t ; dx cos tdt . 2 2 x 0 sin t 0 t 0; x 1 sin t 1 t 2 1 cos 2 t 1 1 I 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos t cos tdt cos tdt dt t sin 2 t 2 2 4 4 π π π π π π  π π  = ∈ − ⇒ =     π = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = + π = − = = = = = + =  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7) Tính tích phân : 1 2 0 dx I 1 x = +∫ Giải 2 2Khi gặp a x , ta đặt x atgt t ; 2 2  π π  + = ∈ −      ( ) ( ) [ ] 2 4 24 4 2 0 0 0 Đặt x tgt t ; dx 1 tg t d t 2 2 x 0 tgt 0 t 0; x 1 tgt 1 t 4 1 tg t dt I dt t 1 tg t 4 π π π  π π  = ∈ − ⇒ = +      π = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = + π = = = = +∫ ∫ 8) Tính tích phân : 1 2 0 dx I x x 1 = + +∫ Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 5 ( ) ( ) 1 2 22 0 32 3 3 2 6 6 6 dx 1 3 3 I . Đặt x tgt t ; dx 1 tg t dt 2 2 2 2 21 3 x 2 2 3 1 1 3 3 x 0 tgt tgt t ; x 1 tg t tgt 3 t 2 2 6 2 2 33 3 1 tg t dt 2 3 2 3 2 3 32I dt t 3 3 3 3 3 3 6 9tg t 4 4 π π π π π π  π π  = + = ∈ − ⇒ = +       + +        π π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = +   π π π = = = = − =      + ∫ ∫ ∫ 9) Tính tích phân : e 1 1 3 ln x ln x I dx x + = ∫ (Đại học khối B – 2004) ( ) 2 22 22 5 3 4 2 1 1 1 3dx dx 2 tdt Đặt t 1 3 ln x t 1 3 ln x 2 tdt x x 3 x 1 t 1; x e t 2 t 1 2 tdt 2 2 t t 2 32 8 1 1 116 I t t t dt 3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135 = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = = ⇒ = = ⇒ =    −     = = − = − = − − − =                ∫ ∫ 10) Tính tích phân : ln 5 x x ln 3 dx I e 2e 3− = + −∫ (Đại học khối B – 2006) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) x x ln 5 5 5 5 5x 5 2 x x 2 3 ln 3 3 3 3 3 5 3 Đặt t e dt e dx x ln 3 t 3, x ln 5 t 5 t 1 t 2e dx dt d t 1 1 I dt dt ln t 2 ln t 1 e 2 3e t 3t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 2 t 1 t 2 3 1 3 ln ln ln ln t 1 4 2 2 = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = − − −  = = = = = − =  − − −    + − − + − − − − − −   −  = = − = −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 11) Tính tích phân : 2 0 sin 2 x cos x I dx 1 cos x π = +∫ (Đại học khối B – 2005) ( ) ( ) ( ) 22 2 0 0 221 2 22 2 2 1 1 1 2 sin x cos x cos x sin x cos x I dx 2 dx 1 cos x 1 cos x Đặt t 1 cos x dt sin xdx Đổi cận : x 0 t 2, x t 1 2 t 1 dt t 2 t 1 1 t 1 I 2 2 d t 2 t 2 d t 2 2 t ln t 2 2 4 ln 2 2 t t t 2 2 2 ln π π = = + + = + ⇒ = − π = ⇒ = = ⇒ = − −  − +     = = = − + = − + = − + − −           = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1− Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 6 12) Tính tích phân : ( ) 3 2 2 I ln x x dx= −∫ (Đại học khối D – 2004) ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 33 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 x 1 u ln x x du dx Đặt : x x dv dx v x x 2 x 1 1 I udv uv vdu x ln x x dx 3 ln 6 2 ln 2 2 dx x x 1 x 1 3 ln 6 2 ln 2 2 x ln x 1 3 ln 6 2 ln 2 6 ln 2 4 2 3 ln 6 3 ln 2 2 3 ln 3 − = − =  ⇒ −  =  = −   = = − = − − = − − +   − −  = − −  + −  = − − + − = − + − = − +    ∫ ∫ ∫ ∫ 13) Tính tích phân : ( ) 2 sin x 0 I e cos x cos xdx π = +∫ (Đại học khối D – 2005) 2 2 sin x 2 0 0 2 sin x 0 1 1t t 0 0 2 2 2 2 00 0 I e cos xdx cos xdx A B Tín h A e cos xdx : Đặt t sin x dt cos xdx. Đổi cận : x 0 t 0, x t 1 2 A e dt e e 1 1 cos 2 x x sin 2 x Tín h B cos xdx dx 2 2 4 4 Vậy I A B e 1 π π π π π π = + = + π = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =  = = = −  + π = = = + =   = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 π 14) Tính tích phân : ( ) 1 2 x 0 I x 2 e dx= −∫ (Đại học khối D – 2006) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x2 x 1 11 1 1 2 1 2 x 2 x 2 2 x 2 2 0 0 00 0 0 du dxu x 2 Đặt : 1 v e dx edv e dx 2 1 1 1 1 1 1 5 3e I udv uv vdu e x 2 e dx e 2 e e 2 e 1 2 2 2 4 2 4 4 == −  ⇒  = ==  −   = = − = − − = − + − = − + − − =       ∫ ∫ ∫ ∫ 15) Tính tích phân : 2 2 0 I x x dx= −∫ (Đại học khối D – 2003) Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1 x -∞ 0 1 2 +∞ x2 – x + 0 – 0 + + ( ) ( ) 1 21 2 2 3 3 2 2 2 0 1 0 1 x x x x 1 1 8 1 1 Vậy I x x dx x x dx 2 1 2 3 3 2 2 3 3 3 2          = − + − = − + − = − + − − − =                  ∫ ∫ Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 7 16) Tính tích phân : 4 0 x I dx 1 cos 2 x π = +∫ (Dự bị 1 – Đại học khối A – 2003) [ ] [ ] ( ) 4 4 12 2 0 0 2 2 4 4 4 4 44 4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 u x du dx x 1 x 1 I dx dx I Đặt : dx dx 2 cos x 2 cos x 2 dv v tgx cos x cos x cos x ' 1 1 I udv uv vdu xtgx tgxdx dx ln cos x ln ln 2 4 cos x 4 4 4 22 1 1 I I ln 2 2 8 4 π π π π π π ππ π = =    = = = ⇒  = = =   π π π π = = − = − = + = +   = + = −  π = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 17) Tính tích phân : 2 1 3 x 0 I x e dx= ∫ (Dự bị 1 – Đại học khối D – 2003) [ ] ( ) 2 2 1 1 1 2 x t t 1 0 0 0 1 1 1 1 11 t t t 1t t 0 0 0 0 0 0 Đặt t x dt 2 xdx. Đổi cận : x 0 t 0, x 1 t 1 dt 1 1 I x e xdx te te dt I 2 2 2 u t du dt 1 Đặt I udv uv vdu te e dt e e e e 1 1 I 2dv e dt v e = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = = = = = =     ⇒ = = − = − = − = − − = ⇒ =     = =  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 18) Tính tích phân : 2 0 I x sin x dx π = ∫ (Dự bị 1 – Đại học khối D – 2004) 2 2 2 1 0 2 2 2 1 20 0 Đặt t x x t dx 2 tdt. Đổi cận : x 0 t 0; x t Vậy I 2 t sin tdt 2 I du 2 tdtu t Đặt Vậy I t cos t 2 t cos tdt 2 I v sin tdt cos tdv sin tdt du ' dtu ' t Đặt v 'dv ' cos tdt π π π = ⇔ = ⇔ = = ⇒ = = π ⇒ = π = = = =   ⇒ = − + = π +   = = −=  == ⇒ = ∫ ∫∫ [ ] [ ]2 0 0 0 2 2 1 Vậy I t sin t sin tdt cos t 1 1 2 cos tdt sin t I 4 I 2 8 ππ π = − = = − − = − = = = π − ⇒ = π − ∫∫ 19) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x (Đại học khối A – 2007) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) x x x 1 1 1 x x x x 0 0 0 x x 0 x 0 Pt hoàn h độ g iao điểm của 2 đường là : e 1 x 1 e x x e e 0 x 1e e S e 1 x 1 e x dx x e e dx ; x 0; 1 , ta luôn có x e e 0, vậy S x e e dx du d xu x Đặt dv e e dx v e = =  + = + ⇔ − = ⇔ ⇔  ==   = + − + = − ∀ ∈ − ≥ = −  == ⇒ = − = − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 21 x x x x x 0 0 0 ex S x ex e ex e dx e e dx ex e 2 e e e 1 1 đvdt 2 2     = − − − = − −   = −     = − − − − = −     ∫∫ Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 8 20) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường ( )y x sin x 0 x= ≤ ≤ π (Dự bị 1 – Đại học khối A – 2004) ( ) 2 32 2 Ox 0 0 0 0 0 0 x 0x 0 Pt hoàn h độ giao điểm của 2 đường là : x sin x 0 xsin x 0 1 cos 2 x x V x sin x dx x sin xdx x d x xdx x cos 2 xdx I I 2 2 2 4 2 4 2 du dx u x Đặt 1 dv cos 2 xdx v s 2 ππ π π π π  == = ⇔ ⇔  = π=   − π π π π π π = π = π = π = − = − = −    = = ⇒ = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 Ox 0 00 x 1 1 I sin 2 x sin 2 xdx 0 cos 2 x 0 V đvtt 2 2 4 4in 2 x π ππ π    = − = − = ⇒ =        ∫ 21) Tính tích phân : 24 0 1 2 sin x I dx 1 s in 2 x π − = +∫ (Đại học khối B – 2003) 24 2 1 0 1 x 0 t 1 cos 2 x 1 dt 1 1 I dx Đặt t 1 sin 2 x dt 2 cos 2 xdx. Vậy I ln t ln 2 1 sin 2 x 2 t 2 2x t 2 4 π = ⇒ = = = + ⇒ = = =   =π  + = ⇒ =∫ ∫ 22) Tính tích phân : 3 3 1 dx I x x = +∫ (Dự bị 1 – Đại học khối B – 2004) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 1 44 4 4 4 2 2 2 2 2 x 1 t 2dx xdx I Đặt t 1 x dt 2 xdx. x 1 x x 1 x x 3 t 4 t t 11 dt 1 1 1 1 1 1 t 1 1 3 1 1 3 I dt dt ln t 1 ln t ln ln ln ln 2 t t 1 2 t t 1 2 t 1 t 2 2 t 2 4 2 2 2 = ⇒ = = = = + ⇒ = + + = ⇒ = − −  −    = = = − =  − −  = = − =     − − −     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 23) Tính tích phân : 2 4 2 0 x x 1 I dx x 4 − + = +∫ (Dự bị 2 – Đại học khối A – 2004) ( ) 22 2 23 2 2 2 2 2 0 0 00 2 8 8 4 4 x 17 x xdx dx 16 I x 4 dx 4 x 17 A 17B x 4 x 4 3 x 4 x 4 3 Tính A : Đặt t x 4 dt 2 xdx ; x 0 t 4, x 2 t 8 1 dt 1 1 1 A ln t ln 8 ln 4 ln 2 ln 2 2 t 2 2 2 Tính B : Đặt x 2 tgt t ; 2 2   = − − + = − − + = − − +   + + + +    = + ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = =   = − = =   π π = ∈ −    ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 24 4 4 2 00 0 dx 2 1 tg t dt ; x 0 tgt 0 t 0, x 2 tgt 1 t 4 2 1 tg t dt 1 1 B dt t 4 4 tg t 2 2 8 16 17 Vậy I ln 2 3 8 π π π  π ⇒ = + = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ =    + π = = = = +   π = − − + ∫ ∫ Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 9 24) Chứng minh rằng : 1 3 1 2 dx 2 9 8 x 7− ≤ ≤ +∫ [ ] ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 x 1;1 thì 1 x 1 1 x 1 7 8 x 9 9 8 x 7 1 dx 1 2 dx 2 1 1 1 1 đpcm 9 8 x 7 9 8 x 7− − ∀ ∈ − − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ + ⇒ + ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ + +∫ ∫ 25) Chứng minh rằng : 2 2 4 5 3 2 sin x dx 2 4 π π π π ≤ + ≤∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 x ; , ta có : sin x 1 sin x 1 1 2 sin x 2 4 3 2 sin x 5 4 2 2 2 5 2 3 2 sin x 5 2 3 2 sin x dx 5 3 2 sin x dx đpcm 2 4 2 4 2 4 π π π π π π ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤   π π π π π π   ⇒ ≤ + ≤ ⇒ − ≤ + ≤ − ⇒ ≤ + ≤       ∫ ∫ 26) Chứng minh rằng : 1 2 0 4 x 5 1 dx 2 2 + ≤ ≤∫ [ ] 2 2 2 2 1 2 0 4 x 5 x 0; 1 0 x 1 0 x 1 4 4 x 5 2 4 x 5 1 2 2 4 x 5 1 dx (điều phải chứng m inh) 2 2 + ∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤∫ 27) Tính tích phân : 4 3 I 1 cos 2 x dx π π − = −∫ [ ] [ ] 0 04 4 4 4 2 0 0 3 3 3 3 0 4 0 3 I 2 sin x dx 2 sin x dx 2 sin x dx sin x dx 2 sin xdx sin xdx 1 1 3 2 2 cos x cos x 2 1 1 1 2 22 π π π π π π π π − − − − π π −        = = = + = −                = − − − = − + − − + = −          ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 28) Tính tích phân : ( )2 2 1 5 x 1 I dx x x 6 − = − −∫ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5x 5 5x 5 A B Ax 2 A Bx 3B Ta có : 5x 5 A B x 2 A 3B x x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 A B 5 A 2 2 A 3B 5 B 3 2 3 I dx 2 ln x 3 3 ln x 2 3 ln 4 2 ln 2 3 ln 3 6 ln 2 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 2 3 ln 3 x 3 x 2 − − + + − = = + = ⇔ − = + + − − − − + − + − + + = =  ⇒ ⇔  − = − =   = + =  − + +  = − + = − − = −   − + ∫ Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 10 29) Xác định các hằng số A, B sao cho : ( ) ( ) ( )3 3 2 3x 1 A B , x 1 x 1 x 1 x 1 + = + ∀ ≠ − + + + Dựa vào kết quả trên, hãy tìm : ( )3 3x 1 dx x 1 + +∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 3 2 2 B 3 A 2A B x 13x 1 A B Bx A B A B 1 B 3x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3x 1 2 3 1 3 dx dx C x 1x 1 x 1 x 1 x 1 = = −+ +  + + + = + = = ⇒ ⇔  + = =+ + + + +    + − = + = − +    ++ + + +  ∫ ∫ 30) Tính tích phân : ( )21 2 0 x ln x 1 x I dx 1 x + + = + ∫ ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 2 0 0 x 1 x x 1 u ln x 1 x dx1 x 1 xdu dx dx Đặt x 1 x 1 x x 1 xxdx dv xdx1 x v 1 x tdt Tính v : Đặt t 1 x t 1 x 2 tdt 2 xdx tdt xdx. v dt t 1 x t I 1 x ln x 1 x dx 2 ln 1 2 x  + + + = + + + + = = =  ⇒  + + + + + =   +  =  + = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = = = = +  = + + + − = + −   ∫ ∫ ∫ ( ) 1 0 2 ln 1 2 1= + −∫ 31) Tính tích phân : ( ) 2e e ln x ln ln x I dx x + = ∫ (CĐ KT Đối ngoại khối A, D – 2005) ( ) [ ] [ ] ( ) 2 22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 dx Đặt t ln x dt x e t 1, x e t 2 x t 1 3 I t ln t dt tdt ln tdt I 2 I I 2 2 2 dt u ln t du Tính I : Đặt I t ln t dt 2 ln 2 t 2 ln 2 2 1 2 ln 2 1t dv dt v t 3 1 I 2 ln 2 1 2 ln 2 2 2 = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =   = + = + = + = − + = +    = =  ⇒ = − = − = − − = −  =  = = + − = + ∫ ∫ ∫ ∫ 32) Tính tích phân : 32 2 6 cos x J dx sin x π π = ∫ (HK2 – Sở GĐ TPHCM – 2004 – 2005) Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 11 ( ) ( ) 2 11 122 2 2 2 1 1 1 2 6 2 2 1 Đặt t sin x dt cos x dx. x t ; x t 1 6 2 2 1 t dtcos x cos xdx 1 1 1 1 J 1 dt t 1 1 2 sin x t t t 2 2 π π π π = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = −      = = = − = − − = − − − − − =         ∫ ∫ ∫ 33) Tính tích phân : 1 2 6 0 x dx I x 9 = −∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 2 23 0 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 0 x 0 t 0x dx I Đặt t x dt 3x dx x 1 t 1x 9 t 3 t 31 dt 1 dt 1 1 1 1 1 I dt dt ln t 3 ln t 3 3 t 9 3 t 3 t 3 18 t 3 t 3 18 t 3 t 3 18 1 t 3 1 1 1 1 ln ln ln 1 ln 18 t 3 18 2 18 2 = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ =− + − −  = = = = − =  − − +    − − + − + − +   −   = = − =  +    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 34) Cho 3 32 2 3 3 3 3 0 0 s in x cos x I dx ; J dx sin x+cos x sin x+cos x π π = =∫ ∫ . Tính I bằng cách đặt t x2 π = − ( ) [ ] 3 0 3 32 2 3 3 3 3 3 3 0 0 2 2 2 0 0 x 0 t 2Đặt t x dt dx 2 x t 0 2 sin t cos t cos x2 I dt dt d x J cos t sin t cos x sin xsin t cos t 2 2 Ngoài ra : I J dx x I J 2 4 π π π π π π = ⇒ = π = − ⇒ = − π = ⇒ = π −   = − = = = π π + +   − + −        π π + = = = ⇒ = = ∫ ∫ ∫ ∫ 35) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong ( )3 1 y x x 1 = + ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 2 2 2 2 33 3 3 3 1 1 1 1 3 22 22 3 3 3 11 1 x 1 x1 1 dx 1 x Ta có : S dx, x 1; 2 , 0 S dx dx x x 1x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 '1 1 3x 1 1 1 1 1 d x dx ln x ln x 1 ln 2 ln 9 ln 2 x 3 x 1 x 3 x 1 3 3 3 4 S ln 3 + −   = ∀ ∈ > ⇒ = = = − ++ + + +    +        = − = − = − + = − − −       + +          = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )12 ln 9 đvd t 3 − 36) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0 Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 12 [ ] ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 0 0 2 Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : y x, y x 2 x Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là : x x 2 x x 3x 0 x 0 x 3 Vậy S x x 2 x dx x 3x dx x 0; 3 , x 3x 0 nên S 3x x = − = − + − = − + ⇔ − = ⇔ = ∨ = = − + − = − ∀ ∈ − ≤ = − ∫ ∫ ( ) 33 2 3 0 0 3x x 27 9 dx 9 đvdt 2 3 2 2   = − = − =    ∫ 37) Tính tích phân : 3 3 54 4 dx I sin x cos x π π = ∫ ( ) ( ) 3 3 32 2 2 2 3 5 3 5 34 4 4 4 4 42 8 3 3 3 3 4 844 34 1 1 1 dx dx d xx t 1 dx 4 cos x cos x cos xĐặt t tgx dt Vậy I cos x sin x cos x sin x cos x tg xx t 3 3 cos x cos x dt t dt 4. t 4 3 1 4 3 1 t π π π π π π − π = ⇒ = = ⇒ = = = = π = ⇒ =  = = = = − = −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 38) Tính tích phân : ( ) 1 0 I sin x dx= π∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 2 0 0 0 x 0 t 0 Đặt t x x t dx 2 tdt. Vậy I sin t 2 tdt x 1 t 1 du 2dtu 2 t Đặt 1 dv sin t dt v sin t dt cos t 2 2 2 2 2 I t cos t cos t dt sin t = ⇒ = = ⇔ = ⇔ = = π = ⇒ = ==  ⇒  = π = π = − π  π  = − π + π = + π =   π π π π π  ∫ ∫ ∫ 39) Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường : y x ; y 2 x; y 0= = − = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 22 4 4 Oy 0 0 1 3 2 4 2 Oy 0 y x y 0 x y Miền D giới hạn bởi y 2 x x 2 y y 1 nhận Pt tung độ giao điểm : y 2 y y y 2 0 y 2 loại V y 2 y dy y 2 y dy x 0;1 , y 2 y 0 y nên V 4 4 y y y dy 4 y 2 y 3 = ⇒ ≥ ∧ = = − ⇒ = − = = − ⇔ + − = ⇔  = − = π − − = π − − ∀ ∈ − − ≤ = π − + − = π − + − ∫ ∫ ∫ ( ) 15 0 y 1 1 32 4 2 đvtt 5 3 5 15   π = π − + − =      Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 13 40) Tính tích phân : 2 4 2 0 sin 2 x I dx sin x 6 sin x 5 π = + +∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 22 2 2 2 1 1 1 1 1 x 0 t 1 sin 2 xdx I Đặt t sin x dt 2 sin x cos xdx sin 2 xdx x t 2sin x 1 sin x 5 2 t 4 tdt 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 5 I dt dt ln t ln t 4 ln ln ln ln t t 4 4 t t 4 4 t t 4 4 4 t 4 4 3 5 4 3 π = ⇒ = = = ⇒ = = π = ⇒ =+ + + −     = = = − =  − +  = = − =     + + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ 41) Tính tích phân : x 0 I sin xe dx π = ∫ x x x x 0 0 x x x x 0 0 u sin x du cos dx Đặt I e sin x e cos xdx J dv e dx v e u ' cos x du ' sin xdx Đặt J e cos x e sin xdx e 1 I dv ' e dx v ' e e 1 I e 1 I 2 I e 1 I 2 π π π π π π π π = =   ⇒ = − = −   = =  = = −   ⇒ = + = − − +   = =  + = + − ⇔ = + ⇔ = ∫ ∫ 42) Giải phương trình : ( ) x 2 0 sin 2 t 1 cos t dt 0 x 0+ = >∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 31 cos x 2 x 1 cos x 3 2 2 0 2 2 3 32 2 2 Đặt u 1 cos t u 1 cos t 2 udu 2 sin t cos tdt 2 udu sin 2 tdt t 0 u 2 ; t x u 1 cos x 1 cos x 2u sin 2 t 1 cos t dt 2 u du 2 2 3 3 3 1 cos x 2 pt 0 1 cos x 2 cos x 1 sin x 0 3 3 + + = + ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = − = ⇒ = = ⇒ = +  +    + = − = − = − −          + ⇔ − = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ∫ ∫ ( )x k k⇔ = π ∈ℤ 43) Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc là k. Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất. ( ) 2 2 A 2 B Ta có p t đt (d) : y 5 k x 1 y kx k 5 Pt hoành độ giao điểm của (P) v à (d) : 3x kx k 5 3x kx k 5 0 k x 6k 1 2 k 60 0, k (d ) luôn cắt (P) ở A và B. k x 6 − = − ⇔ = − + = − + ⇔ − + − = − ∆ = ∆ = − + > ∀ ∈ ⇒ + ∆ = ℝ d P Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BB A A xx 2 22 2 3 3 3B A B B A A x x 2 2 3 3 2 2 B A B A B A B A B A A A B B 2 2 kx kxkx S k x 1 5 3x dx 5 k x x 5 k x x 5 k x x 2 2 2 k k x x 5 k x x x x x x x x 5 k x x x x 2 2 k k k k 5 . 5 k 3 k 90 1 3 2 3 9 3 3. 18       = − + − = + − − = + − − − + − −             = − + − − − − = − + + − − + +     ∆ − ∆ = + − − − = + −      ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 33 22 min 8k 2 k 6 k 5 k 12 k 60 54 1 1 k 12 k 6 0 k 6 24 Vậy S k 6 54 5 4 ∆  − + − = − +  = − + = − + ⇔ = 44) Tính tích phân : 3 0 sin x I dx 1 sin x π = +∫ 2 0 0 20 0 1 1 cos 2 x 1 I sin x sin x 1 dx sin x 1 dx 1 sin x 2 1 cos x 2 1 cos 2 x 1 3 1 x 3 3 sin x 1 dx x sin 2 x cos x tg 1 1 2 4 x2 2 4 4 2 2 22 cos 4 2 π π ππ    −   = − + − = − + −  π+     + −        −  π  π π    = − + − = − + + − = − − − = −    π       −     ∫ ∫ ∫ 45) Tính tích phân : 32 0 cos x I dx 1 sin x π = +∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 222 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 00 0 1 sin x cos xdx 1 sin x 1 sin x cos xdxcos x cos xd x I cos x 1 sin x dx 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 1 1 1 1 cos x cos x sin x d x cos x sin 2 x dx sin x cos 2 x 1 0 2 4 4 4 2 π π π π π π π − − + = = = = −  + + +        = − = − = + = − − + =              ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 46) Tính tích phân : 1 7 10 1 x I dx x 1− = +∫ bằng cách đổi biến t = –x ( )71 1 1 17 7 7 10 10 10 10 1 1 1 1 x 1 t 1 Đặt t x dt dx x 1 t 1 t dtx t x I dx dt dx I 2 I 0 I 0 x 1 t 1 t 1 x 1 − − − − = − ⇒ = = − ⇒ = − = ⇒ = − − − − − = = = = = − ⇔ = ⇔ = + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 47) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3. Toán 12 (Tích phân) Trần Gia Huy 15 ( )( ) ( )