Giáo án lớp 12 môn Đại số - Ôn tập thể tích

ÔN TẬP THỂ TÍCH I. MỤC TIÊU. + Nhắc lại công thức tính thể tích khối ña diện: khối chóp, lăng trụ, hộp, lập phương. + Vận dụng tính các bài tập củng cố. II. NỘI DUNG. Vấn ñề 1. Thể tích khối chóp 1 3 V Bh= Loại 1. Cạnh bên vuông góc với ñáy. Phương pháp : Cạnh bên chính là chiều cao. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại B, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, 3BC a= và 3SA a= . a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Gọi I là trung ñiểm của cạnh SC, tính ñộ dài ñoạn thẳng BI theo a. Ví dụ 2. Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc ñáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với ñáy một góc 60o. 1) Tính thể tích hình chóp SABCD. 2) Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCD). Lời giải: 1)Ta có SA (ABC)⊥ và CD AD CD SD⊥ ⇒ ⊥ ( ñl 3 ⊥ ).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] =
SDA = 60o . SAD△ vuông nên SA = AD.tan60o = a 3 Vậy 2 3 ABCD a 1 1 a 3V S .SA a 3 3 3 3 = = = 2) Ta dựng AH SD⊥ ,vì CD ⊥ (SAD) (do (1) ) nên CD ⊥ AH ⇒ AH (SCD)⊥ Vậy AH là khoảng cách từ A ñến (SCD). 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4SAD AH SA AD 3a a 3a ⇒ = + = + =△ Vậy AH = a 3 2 Ví dụ 3. Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với ñáy ABC và SB hợp với ñáy một góc 60o. 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích hình chóp . H a D CB A S o60 Lời giải: 1) SA (ABC) SA AB&SA AC⊥ ⇒ ⊥ ⊥ mà BC AB BC SB⊥ ⇒ ⊥ ( ñl 3 ⊥ ). Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta cóSA (ABC) AB⊥ ⇒ là hình chiếu của SB trên (ABC). Vậy góc[SB,(ABC)] =
oSAB 60= . ABC△ vuông cân nên BA = BC = a 2 SABC = 21 aBA.BC 2 4 = o a 6SAB SA AB.tan60 2 ⇒ = =△ Vậy 2 3 ABC 1 1 a a 6 a 6V S .SA 3 3 4 2 24 = = = Loại 2. Hình chóp ñều. Phương pháp. Đoạn thẳng nối ñỉnh và tâm của ñáy là chiều cao. + Đáy là tam giác: Tam giác ñều và tâm của ñáy là giao 3 ñường trung tuyến. + Tứ giác: Hình vuông và tâm của ñáy là giao hai ñường chéo. Ví dụ 1. Cho chóp tam giác ñều SABC cạnh ñáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân ñường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác ñều ABC.Tính thể tích chóp ñều SABC . Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác ñều ABC. Ta có tam giác ABC ñều nên AO = 2 2 a 3 a 3AH 3 3 2 3 = = 2 2 2 2 11aSAO SO SA OA 3 ⇒ = − =△ a 11SO 3 ⇒ = .Vậy 3 ABC 1 a 11V S .SO 3 12 = = Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác ñều có mặt bên hợp với ñáy một góc 45o và khoảng cách từ chân ñường cao của chóp ñến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp . Đs: 38a 3V 3 = VẤN ĐỀ 2. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ V Bh= Loại 1. Khối lăng trụ ñứng. Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. a o60 S C B A a 2a HO C B A S o60 C' B' A' C B A a 2 Lời giải: Ta có ABC△ vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ ñứng AA' AB⇒ ⊥ 2 2 2 2AA'B AA' A'B AB 8a⇒ = − =△ AA' 2a 2⇒ = Vậy V = B.h = SABC .AA' = 3a 2 Ví dụ 2: Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC A'B'C' có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với ñáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Lời giải: Ta có A'A (ABC) A'A AB& AB⊥ ⇒ ⊥ là hình chiếu của A'B trên ñáy ABC . Vậy
ogóc[A'B,(ABC)] ABA' 60= = 0ABA' AA' AB.tan60 a 3⇒ = =△ SABC = 21 aBA.BC2 2= Vậy V = SABC.AA' = 3a 3 2 Ví dụ 3: Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC A'B'C' có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với ñáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. Lời giải: Ta có A'A (ABC)& BC AB BC A'B⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Vậy
ogóc[(A'BC),(ABC)] ABA' 60= = 0ABA' AA' AB.tan60 a 3⇒ = =△ SABC = 21 aBA.BC2 2= Vậy V = SABC.AA' = 3a 3 2 Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với ñáy ABC một góc 60 . 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ . C' B' A' C B A o60 a 3a C' B' A' C B A Lời giải: 1) Ta có A'O (ABC) OA⊥ ⇒ là hình chiếu của AA' trên (ABC) Vậy
ogóc[AA',(ABC)] OAA' 60= = Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) AO BC⊥ tại trung ñiểm H của BC nên BC A'H⊥ (ñl 3 ⊥ ) BC (AA'H) BC AA'⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà AA'//BB' nên BC BB'⊥ .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. 2) ABC△ ñều nên 2 2 a 3 a 3AO AH3 3 2 3= = = oAOA' A'O AOt an60 a⇒ = =△ Vậy V = SABC.A'O = 3a 3 4 BÀI TẬP THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI Bài 1 (TN_2006). Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy, 3SB a= . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung ñiểm của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 2 (TN_2007). Cho hình chóp tam giác S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại ñỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với ñáy. Biết .SA AB BC a= = = Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 3 (TN_2008). Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung ñiểm của BC. 1. Chứng minh SA BC⊥ . 2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. Bài 4 (TN_2008_L2). Cho hình chóp có ñáy là tam giác vuông tại B, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết , 3, 3 .AB a BC a SA a= = = 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Gọi I là trung ñiểm của cạnh SC, tính ñộ dài ñoạn thẳng BI theo a. Bài 5 (TN_2009). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. Biết  0120BAC = . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Bài 6 (TN_2010). Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng ñáy bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài 7 (ĐH 2010 A). Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC theo a. Bài 8 (ĐH 2010 B) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60. Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. H O o60 C' A a B' A' C B