Giáo án lớp 12 môn Đại số - Phân tích, đánh giá nội dung về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

A - MỞ ĐẦU. I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một phần trong hệ thống kiến thức lớp 12-THPT. Hiểu rõ kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số,cách xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số.Điều đó giúp cho việc vẽ đồ thị một cách nhanh chóng và chính xác. Đề tài này nghiên cứu “Các phản ví dụ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số-lớp 12”. Nghiên cứu về ý nghĩa hình học của các dạng đường tiệm cận của đồ thị hàm số,xây dựng một số phản ví dụ và một số sai lầm hay mắc phải của học sinh lớp 12 về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Đề tài nghiên cứu này sẽ rất có ích cho học sinh và những giáo viên sư phạm chúng tôi tìm thấy những điều lý thú. II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI. Tôi tiến hành nghiên cứu đề tài này nhằm các mục đích sau: -Nắm được ý nghĩa về các loại đường tiệm cận của đồ thị hàm số. -Hiểu được các định nghĩa của đường tiệm cận của đồ thị hàm số. -Đưa ra một số trường hợp phản ví dụ và cùng một số sai lầm thường mắc phải ở học sinh lớp 12 khi học bài đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tất cả các mục đích trên nhằm cho học sinh lớp 12 hiểu rõ đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. III-KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. -Khách thể nghiên cứu là đường tiệm cận của đồ thị hàm số ở lớp 12. -Đối tượng nghiên cứu là xây dựng các phản ví dụ và nêu một số sai lầm thường mắc phải của học sinh lớp 12 về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. IV-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. -Xây dựng các phản ví dụ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số . -Trình bày một số sai lầm thường mắc phải của học sinh lớp 12 về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. V-PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Để phù hợp với nhiệm vụ nghiên cứu đã nêu tôi đã sử dụng các phương pháp sau: -Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:Tham khảo các nguồn tài liệu khác nhau của sách giáo viên lớp 12-THPT. -Phương pháp tổng kết kinh nghiệm bản thân:Dựa vào kiến thức và những kinh nghiệm đã tích lũy được trong quá trình học tập nhằm phân tích,đánh giá nội dung về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. B-NỘI DUNG NGHIÊN CỨU . CHƯƠNG I: XÂY DỰNG CÁC PHẢN VÍ DỤ VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1.Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang. 1.1.Đường tiệm cận ngang: a)Ý nghĩa hình học: Gọi M và H là hai điểm của đồ thị hàm số y = f(x) (C) và có cùng hoành độ x (hình 1.a),1.b)).Nếu độ dài khi (hoặc khi ) thì đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang. Vì nên ta có định nghĩa sau: Hình 1. Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị (khi ). a) Đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị (khi ). b) b)ĐỊNH NGHĨA 1: Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: hoặc (Xem hình 1) c)Các trường hợp riêng: -Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đường tiệm cận ngang nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: - Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đường tiệm cận ngang nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: d)Xây dựng các phản ví dụ: Từ ý nghĩa về đường tiệm cận ngang ta rút ra: Nếu độ dài đoạn thẳng MH không dần đến 0 khi (hoặc khi ) thì đường thẳng không là đường tiệm cận ngang. ĐỊNH NGHĨA 2: Đường thẳng không là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: và 1.2.Đường tiệm cận đứng: a)Ý nghĩa hình học: Gọi M và H là hai điểm của đồ thị hàm số y = f(x) (C) và trục hoành có cùng hoành độ x (hình 2.a),2.b,2.c),2.d)).Nếu độ dài đoạn thẳng MH dần đến vô cùng lớn khi (hoặc khi ) thì đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng. Vì nên ta có định nghĩa sau: Hình 2. a) và c).Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi ) b) và d).Đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi ) b)ĐỊNH NGHĨA 3: Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: ; ; ; (Xem hình 2) c)Các trường hợp riêng: -Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía phải đường tiệm cận đứng nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: - Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trái đường tiệm cận đứng nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: d)Xây dựng các phản ví dụ: Từ ý nghĩa đường tiệm cận đứng ta rút ra: Nếu độ dài đoạn thẳng MH chỉ dẫn đến hữu hạn (hoặc dần đến hai giá trị khác nhau) khi (hoặc khi ) thì đường thẳng không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). Ta rút ra định nghĩa: ĐỊNH NGHĨA 4: Đường thẳng không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tất cả các điều kiện sau thỏa mãn: ; ; ; 1.3.Phản ví dụ; VÍ DỤ 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số GIẢI: Ta có: Đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi ).tương tự: Đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi). Hình 3. Vì và nên đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi và khi ) .(Hình 3). Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng x=0. -Ngoài hai tiệm cận ngang thì đồ thị hàm số không còn đường tiệm cận ngang nào khác.Thật vậy:giả sử đồ thị hàm số còn có thêm đường tiệm cận ngang .Khi đố: và - Ngoài tiệm cận đứng x=0 thì đồ thị hàm số không còn đường tiệm cận đứng nào khác.Thật vậy:giả sử đồ thị hàm số còn có thêm đường tiệm cận đứng .Khi đó: 2.Đường tiệm cận xiên: a)Ý nghĩa hình học: Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và (d) là đường thẳng Gọi M và N là hai điểm của đồ thị hàm số y = f(x) (C) và (d) có cùng hoành độ x (hình 4).Nếu độ dài khi (hoặc khi ) thì đường thẳng (d) được gọi là đường tiệm cận xiên của (C). Vì nên ta có định nghĩa sau: Hình 4. Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị (khi ). Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị (khi ). b)ĐỊNH NGHĨA 4: Đường thẳng y=ax+b được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: hoặc (Xem hình 4) c)Các trường hợp riêng: -Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đường tiệm cận xiên nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: - Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đường tiệm cận xiên nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: d)Xây dựng các phản ví dụ: Từ ý nghĩa đường tiệm cận xiên ta rút ra: Nếu độ dài đoạn thẳng MN không dần đến 0 khi (hoặc khi ) thì đường thẳng (d) không là đường tiệm cận xiên của (C). ĐỊNH NGHĨA 6: Đường thẳng y=ax+b không là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu đồng thời không xảy ra: và VÍ DỤ 2: Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên về hai phía là y = x (khi ) và y = - x ( khi ) Thật vây: Hình 5 -Ngoài hai tiệm cận xiên không còn tiệm cận xiên nào khác.Thậy vậy,giả sử còn có tiệm cận xiên .Nếu thì: . Tương tự; .Nếu thì: và 3.Tiệm cận cong. a)Ý nghĩa hình học: Cho (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và (D) đồ thị của hàm số y=g(x). Gọi M và N là hai điểm của đồ thị hàm số y = f(x) (C) và (D) có cùng hoành độ x.Nếu độ dài khi (hoặc khi ) thì hàm số (D) được gọi là đường tiệm cận cong của (C). Vì nên ta có định nghĩa sau: b)ĐỊNH NGHĨA 7: Hàm số y=g(x) được gọi là đường tiệm cận cong(gọi là tiệm cận cong) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: hoặc c)Các trường hợp riêng: -Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đường tiệm cận cong y=g(x) nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: - Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đường tiệm cận cong y=g(x) nếu: Với mỗi nhỏ tùy ý, sao cho: d)Xây dựng các phản ví dụ: Từ ý nghĩa đường tiệm cận xiên ta rút ra: Nếu độ dài đoạn thẳng MN không dần đến 0 khi (hoặc khi ) thì đường cong(D) không là đường tiệm cận cong của (C). ĐỊNH NGHĨA 6: Hàm số y=g(x) không là đường tiệm cận cong của đồ thị hàm số y = f(x) nếu đồng thời không xảy ra: và VÍ DỤ 3; Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận cong là parabol (hình 6). và tiệm cận đứng x=0.Thật vậy: ; ; . Hình 6. Chú ý:Đồ thị hàm số y=f(x) nếu có một tiệm cận cong y=g(x) thì sẽ có vô số tiệm cận cong khác nữa,có dạng:.trong đó:. Chẳng hạn ở ví dụ 3,ngoài tiệm cận cong thì còn có tiệm cận cong khác là CHƯƠNG II: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI CỦA HỌC SINH KHI HỌC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. VÍ DỤ 1:Cho đồ thị hàm số . Hình 7. -Nếu học sinh chưa học kỹ thì nhìn vào hình vẽ thì học sinh rất khó xác định được tiệm cận ngang. -Lý do:Bài tập thường gặp là đường tiệm cận không cắt đồ thị hàm số. -Khắc phục:Áp dụng vào định nghĩa thì ta xác định dễ dàng đương thẳng y=0 là tiệm cận ngang. Vì 2: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: -Ở ví dụ này hàm số xác định trên toàn miền số thực,cho nên sai lầm thường mắc phải của học sinh cho là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thường là điểm không xác định của hàm số. -Khắc phục: Áp dụng định nghĩa để làm. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang. Đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang. Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng. VÍ DỤ 3:Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau; -Sai lầm của học sinh thường mắc phải là:Thường bỏ thiếu đường tiệm cận ngang. -Khắc phục:Hãy xét từng trường hợp khi và khi Hình 8. -Cách làm: Khi thì; Đường tiệm cận xiên là y=2x. Khi thì: Đường tiệm cận ngang là y=0. (Xem hình 8). SÁCH THAM KHẢO. 1.Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 12.(Sách chỉnh lí hợp nhất 2000). Văn Như Cương. 2.Tài liệu bồi dưỡng dạy sách giáo khoa lớp 12 CCGD môn Toán. (Lưu hành nội bộ). 3.Giải tích 12 :KHTN-KT.Sách giáo viên .Phan Đức Chính. 4.Giải tích 12.SGV-Ngô Thúc Lanh. 5. Giải tích 12.SGV-Trần Văn Hạo.