Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương pháp đổi biến

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Phương pháp đổi biến A. Tóm tắt lý thuyết Công thức đổi biến số           ' u bb a u a f u x u x dx f u du    . (1.1) 1. Phép đổi biến u = u(x) Gỉa sử cần tính   b a g x dx . Nếu viết được  g x dưới dạng    'f u x u x   thì theo công thức (1.1), ta có        u bb a u a g x dx f u du  . 2. Phép biến đổi x = x(t) Giả sử cần tính  f x dx    . Đặt  x x t , t K . Chọn hai số a , b K sao cho  x a  ,  x b  . Khi đó, theo công thức (1.1), ta có      ' b a f x dx f x t x t dt        . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Đổi biến số bằng cách đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân  Nội dung phương pháp Trong dạng toán này, ta lưu ý đến các công thức sau đây (chúng tôi gọi là công thức đưa biểu thức vào trong dấu vi phân):  1 1 dxx dx       (đưa x vào trong dấu vi phân, 1   );  1 1 1 1n n dx d x n x     (đưa 1nx vào trong dấu vi phân, n , 2n  );  lndx d x x  (đưa 1 x vào trong dấu vi phân);  x xe dx de (đưa xe vào trong dấu vi phân);  cos sinxdx d x (đưa cos x vào trong dấu vi phân);  sin cosxdx d x  (đưa sin x vào trong dấu vi phân);  2 tancos dx d x x  (đưa 2 1 cos x vào trong dấu vi phân);  2 cotsin dx d x x   (đưa 2 1 sin x vào trong dấu vi phân).  Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm 1)  3 21 3I x x dx  ; 2)  53 21 3J x x dx  . Giải 1)      3 3 21 11 3 1 3 1 3 9 18 I x d x x C        . 2)      5 63 3 21 11 3 1 3 1 3 9 54 J x d x x C        . Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm hoặc tính tích phân: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 1) 2 1 xI dx x   ; 2) 2 3 1 xJ dx x   ; 3)   2 8 5 23 0 2 x xK dx x     . Giải 1)     2 2 2 11 1 ln 1 2 1 2 d x I x x      . 2)     3 3 3 11 1 ln 1 3 1 3 d x J x C x       . 3)           5 3 3 32 2 3 2 23 3 0 0 1 11 2 32 2 x x x x K dx d x x x          . Đặt 3 2t x  . Ta có 0x   2t  , 2x   10t  . Do đó   10 10 10 10 10 2 2 2 2 22 2 2 11 1 3 2 1 2 441 3ln ln 5 3 3 3 15 t t K dt dt t t t t t t                      . Ví dụ 3. Tính tích phân 1) 3 3 2 2 . 1I x x dx  ; 2) 3 3 6 2 34 3 . 2J x x dx  . Giải 1)     3 3 3 32 2 2 2 22 1 1 3 451 1 1 1 2 2 4 8 I x d x x x         . 2)       3 3 3 33 3 6 6 6 2 3 3 3 3 34 4 4 33 3 4 4 2 11 1 4. 2 2 2 2 2 3 3 5 15 J x x dx x d x x x             . Ví dụ 4. Tính tích phân BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 1) 2 1 0 cos 5 2sin xdxI x    ; 2) 4 2 0 cos 2 1 2sin 2 xI dx x    . 3) [ĐHB03] 24 3 0 1 2sin 1 sin 2 xI dx x     . 4) [ĐHB05] 2 4 0 sin 2 1 cos xdxI x    . 5) [ĐHA06] 4 5 2 2 0 sin 2 cos 4sin xdxI x x     . Giải 1)   2 2 2 1 00 0 5 2sinsin 1 1 ln 5 ln 3ln 5 2sin 5 2sin 2 5 2sin 2 2 d xd xI x x x               . 2)   4 4 4 4 2 00 0 0 1 2sin 2cos 2 1 sin 2 1 1 ln 3ln 1 2sin 2 1 2sin 2 2 1 2sin 2 4 1 2sin 2 4 4 d xx d xI dx x x x x                . 3)     4 4 4 3 00 0 1 sin 2cos 2 1 1 ln 2ln 1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2 d xxI dx x x x            . 4) 2 2 4 0 0 sin cos cos cos2 2 1 cos 1 cos x xdx xd xI x x         . Đặt cost x . Khi đó 0x   1t  , 2 x   0t  . Do đó     0 1 1 1 1 4 01 0 0 0 1 1 12 2 2 2 1 2 ln 1 2 2ln 2 1 1 1 1 ttdt tdtI dt dt t t t t t t                       . 5) Ta thấy  2 2 1 cos 2 1 cos 2 1cos 4sin 4 5 3cos 2 2 2 2 x xx x x       . Do đó BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 5I 4 4 0 0 sin 2 2 cos 22 25 3cos 2 5 3cos 2 xdx d x x x          4 4 00 5 3cos 22 2 10 25 3cos 2 6 3 35 3cos 2 d x x x         . Ví dụ 5. Tính tích phân 1) [ĐHB06] ln5 ln3 2 3 x x dxI e e    . 2)   1 ln ln 1 ln 2 e xdxJ x x x    . Giải 1) Ta có ln5 ln5 2 2 ln3 ln33 2 3 2 x x x x x x e dx deI e e e e        . Đặt xt e , ta có ln 3x   3t  , ln 5x   5t  . Do đó I           5 5 5 2 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 2 t tdt dt dt t t t t t t               55 3 3 1 1 2ln ln 3 ln 2 2 1 1 tdt t t t           . 2) Ta có   1 ln ln ln 1 ln 2 e xd xJ x x    . Đặt lnt x , ta có 1x   0t  , x e  1t  . Do đó J            1 1 0 0 2 2 11 1 2 3 1 2 t ttdt dt t t t t             121 0 0 11 2 1 1 ln 3ln ln 2 3 1 2 3 2 3 t dt t t t           .  Bài tập Bài 1. Tìm họ nguyên hàm BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 1) 6 7 7 x dx x  ; 2) 3 2 4 3 4 3 1 x x dx x x    3) 9 10 10 11 10 11 1 x x dx x x    . 4) 3 2. 2 2x x dx ; 5) 3 4. 4x x dx ; 6) 2 1 x dx x  ; 7)  cos 1 sinx xdx ; 8)  1 2sin cosx xdx ; 9)  31 2sin cosx xdx ; 10)  2cos 1 sinx xdx ; 11) sin 2 cos x dx x ; 12)  4 cos sin 1 xdx dx x  ; 13) 3cos sin 1 xdx x  ; 14) 2cos 3 sinx xdx ; 15) 1 2sin cosx xdx ; 16) cos 2 sin 2 1 x dx x  ; 17) 2 ln 1x dx x   ; 18) ln 1x dx x  ; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 19) sin 2 cos 2xe xdx ; 20) 2 tan cos xe dx x ; 21)  1 2 ;x xe e dx 22) 2 x x e dx e  ; 23) 1 3x xe e dx . Bài 2. Tính các tích phân 1)   1 3 22 0 1 x dx x   . ĐS: ln 2 1 2 4  . 2)   1 5 3 22 0 1 x x dx x    . ĐS: ln 2 1 2 2   . 3) [ĐHD09] 3 1 1 x dx e  . ĐS: 2ln( 1) 2e e   . 4)    ln 2 2 0 1 2 x x x e dx e e  . ĐS: 5ln 2 3ln 3 . 5)    2 2 1 ln 2ln 1 ln 1 ln 2 e x x dx x x x     . ĐS: 2 - 2ln 3 ln 2 . 6) [ĐHA09]   2 3 2 0 cos 1 cosx xdx   . ĐS: 8 15 4   . 7) [ĐHD05]   2 sin 0 cos cosxe x xdx   . ĐS: 1 4e    . 8) [ĐHB05] 2 0 sin 2 cos 1 cos x xdx x   . ĐS: 2ln 2 1 . 9) 3 2 0 sin tanx xdx   . ĐS: 3ln 2 8  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 10) 36 0 sin 3 sin 3 1 cos3 x x dx x    . ĐS: ln 5 ln 3 2  . 11) [ĐHA08] 46 0 tan cos 2 xdxI x    . ĐS:  ln 2 310 3 27 2    . 12)   4 8 0 1 tan x dx   . ĐS: 76 105 . 13) [ĐHB08]     4 4 0 sin sin 2 2 1 sin cos x dx x x x      . ĐS: 4 3 2 4  . 14) 2 3 3 sin cos sin cos x x dx x x     . ĐS:   2 33 11 2 3 1 2 2        . 15) 2 4 sin cos 1 sin 2 x x dx x     . ĐS: ln 2 2 . 16)   2 3 0 cos 2 sin cos 3 x dx x x    . ĐS: 1 32 . 17)   2 32 0 sin 2 1 sinx x dx   . ĐS: ln 3 4 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 Dạng 2. Một số phép đổi biến thông dụng  Nội dung phương pháp Trong phần này ta quan tâm đến các phép đổi biến sau:  Phép đổi biến ( )nt f x . Phép đối biến này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có thể đưa được về dạng       ; nQ f x f x df x , trong đó Q là một hàm phân thức hữu tỷ. Với phép đổi biến ( )nt f x , biểu thức dưới dấu tích phân trở thành  ;nQ t t dt .  Phép đối biến   sinf x a t ( 0a  , ; 2 2 t       ). Phép đổi biến này được sử dụng khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức   22a f x    . Với phép đổi biến nói trên thì   22 cosa f x a t    .  Phép đổi biến   tanf x a t ( 0a  , ; 2 2 t        ).Phép đổi biến này được sử dụng khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức   22a f x    . Với phép đổi biến nói trên thì   2 22 2cos aa f x t     .  Một số ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân 1) 1 3 2 0 3I x x dx  . 2) [ĐHA04] 2 1 1 1 xdxJ x    . 3) 3 2 2 0 2 2 1 xdxK x x      . Giải 1) Ta thấy   1 2 2 2 0 1 3 3 2 I x x d x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Đổi biến: 2 3t x     2 2 2 2 3 3 2 x t d x dt tdt        . Đổi cận: 0x   3t  ; 1x   2t  . Do đó     22 2 2 2 4 2 5 3 33 3 1 6 3 83 3 5 5 I t t dt t t dt t t             . 2) Đổi biến: 1t x   2 1x t   2dx tdt . Đổi cận: 1x   0t  ; 2x   1t  . Do đó J        2 31 1 13 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 t tdt t tt t dt dt t t t              11 2 3 2 0 0 2 1 1 112 2 2 2 2 ln 1 4 ln 2 1 3 2 3 t t dt t t t t t                     . 3) Ta có  23 2 2 0 11 2 2 2 1 d x K x x       . Đổi biến: 21t x   2 2 1x t  ,  2 21 2d x dt tdt   . Đổi cận: 0x   1t  ; 3x   2t  . Do đó K         2 2 2 2 22 1 1 1 1 11 2 2 1 2 1 1 ttdt tdt dt t t t t              22 2 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 3 ln 2 1 1 61 dt t t tt                    . Ví dụ 2. Tính tích phân 1) [ĐHB02] 8 2 0 16I x dx  ; 2) 1 2 1 28 2 dxJ x x     ; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 3) 2 2 2 1 dxK x    . Giải 1) Đổi biến 4sinx t , ; 2 2 t            2216 16 4sin 4 cos 4cos 4sin 4cos x t t t dx d t tdt          . Đổi cận 0x   4sin 0t   sin 0t   0t  ; 8x   4sin 8t   2sin 2 t   4 t  . Do đó      4 4 4 4 2 0 0 0 0 14cos 4cos 16 cos 8 1 cos 2 8 sin 2 2 4 2 I t tdt tdt t dt t t                   . 2) Ta thấy  22 2 28 2 9 1 2 3 1x x x x x         . Đổi biến 1 3sinx t  , ; 2 2 t        2 2 2 28 2 3 3 sin 3 cos 3cosx x t t t      , 3cosdx tdt . Đổi cận 1 2 x    6 t   , 1x   0t  . Do đó 0 0 0 6 6 6 3cos 3cos 6 tdtJ dt t t             . 3) Ta thấy 2 2 2 11 dxK x x    . Đổi biến: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 1 sin t x  , ; 2 2 t        1 sin x t   2 2 2 1 cos sin sin 11 1 sin cos cos tdx d dt t t x x x x                . Đổi cận: 2x   4 t  , 2x   6 t  . Do đó K 6 6 4 4 42 2 2 4 4 6 6 6 cos sin cossin 1 sin sin sin 1 coscos sin t dt dt dt tdt d tt t t t tt t                            4 4 66 1 1 1 1 1 coscos ln ln 2 1 ln 2 3 2 cos 1 cos 1 2 1 cos td t t t t                . Ví dụ 3. Tính tích phân 1) 3 2 3 3 1 dxI x   ; 2) 1 2 0 1 dxJ x x    . 3) 1 2 1 1 xdxK x x    . Giải 1) Đổi biến tanx t , ; 2 2 t        suy ra 2tan cos dtdx d t t   và 2 2 2 11 1 tan cos x t t     . Các giá trị 3 3 và 3 của x lần lượt ứng với các giá trị 6  và 3  của t . Do đó 3 3 6 6 6 I dt t         . 2) Ta thấy 22 2 1 3 3 2 11 1 2 4 4 23 x x x x                           . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 Đổi biến 2 1 tan 23 x t      , ; 2 2 t        suy ra 2 3 2 cos dtdx t  và 2 2 3 11 4 cos x x t     . Các giá trị 0 và 1 của x lần lượt ứng với các giá trị 6  và 3  của t . Do đó 3 3 6 6 2 3 2 3 3 3 3 9 I dt t         . 3) Phân tích   1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 11 1 2 1 2 1 2 1 1 K K x x dxK dx dx x x x x x x                            . Ta có     21 12 1 2 1 1 1 ln 1 ln 3 1 d x x K x x x x           . Thực hiện phép đổi biến như ở câu 2, ta có 3 3 2 6 6 2 3 2 3 3 3 3 3 K dt t           . Do đó 1 3 ln 3 3ln 3 2 3 2 6 K             .  Bài tập Bài 1. Tính tích phân 1) 1 5 2 0 1x x dx . ĐS: 8 105 . 2) 3 1 3 3 1 3 x dx x x     . ĐS: 6ln 3 8 . 3)   7 3 0 2 1 x dx x   . ĐS: 231 10 . 4) 9 3 1 1x xdx . ĐS: 468 7  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 5) 1 15 8 0 1 3x x dx . ĐS: 29 270 . 6) [ĐHB04] 1 1 3ln lne x xdx x   . ĐS: 116 135 . 7) 1 3 2ln 1 2 ln e x dx x x   . ĐS: 10 2 11 3  . 8) [ĐHA05] 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x    . ĐS: 34 27 . Bài 1. Tính tích phân 4)   3 2 323 3 2 9 dx x   . ĐS: 4 3 27 . 5) 2 2 2 3 1 dx x x  . ĐS: 6  . 6) 6 2 3 2 9 dx x x  . ĐS: 36  . 7) 2 22 2 0 1 x dx x . ĐS: 2 8   . 8)   3 323 3 1 dx x   . ĐS: 1 3 2  . 9) 1 0 1 1 xdx x   . ĐS: 12   .