Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần A. Tóm tắt lý thuyết Công thức tích phân từng phần:             u x d v x u x v x v x d u x         ;              b bb aa a u x d v x u x v x v x d u x         . Vài tình huống gợi ý việc sử dụng công thức tích phân từng phần:  Tích phân    v x d u x   dễ tính hơn tích phân    u x d v x   ;  Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa  'u x dx ;  Biểu thức  'v x đơn giản. B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Tích phân từng phần có quy tắc  Nội dung phương pháp  Quy tắc khử đa thức Xét các tích phân  1 axI P x e dx  ,  2 sinI P x axdx  ,  3 cosI P x axdx  , trong đó  P x là một hàm đa thức, a là hằng số khác 0 . Ba tích phân nói trên có cách tính tương tự, sau đây ta nêu cách tính 1I .             1 1 1 1 'ax ax ax ax axI P x d e P x e e d P x P x e e P x dxa a a             . Việc tính 1I được quy về tính tích phân  'axJ e P x dx  . Đa thức dưới dấu tích phân J là  'P x có bậc thấp hơn đa thức dưới dấu tích phân 1I một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi đa thức dưới dấu tích phân bị khử hoàn toàn. Cách tích phân 2I , 3I cũng được tính một cách tương tự.  Quy tắc khử Lô-ga Xét tích phân   lnkI P x xdx  . Ta có  lnkI xdF x  , trong đó  F x là một nguyên hàm của  P x . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có          1ln ln ' ln lnk k k kF xI xF x F x x dx xF x k xdxx      . 2 Ta luôn có thể chọn  F x sao cho  F x có nhân tử là x , do đó biểu thức   F x x thực chất là một đa thức đồng bậc với  P x . Như vậy, so với I thì   1lnk F x J xdx x   có lũy thừa của Lô-ga nhỏ hơn một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi biểu thức Lô-ga bị khử hoàn toàn.  Xét hai tích phân 1 sin axI e bxdx  và 2 cosaxI e bxdx  . Hai tích phân nói trên có phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét 1I .    1 1 1 1sin sin sin sin cosax ax ax ax axI bxd e bxe e d bx bxe b e bxdxa a a              1 sin cosax axbbxe e bxdx a a     2 1 sin cosax axbbxe bxd e a a    2 1 sin cos cosax ax axbbxe bxe e d bx a a     2 2 2 1 sin cos sinax ax axb bbxe bxe e bxdx a a a     2 12 2 1 sin cosax axb bbxe bxe I a a a    . Từ đó, ta tính được 1I .  Một số ví dụ Ví dụ 1. Tính tích phân sau: 1) [ĐHD06]   1 2 0 2 xI x e dx  . 2)   ln3 2 1 2 xJ x x e dx  . Giải 1)         1 1 11 2 2 2 2 2 00 0 0 1 1 12 2 2 2 2 2 2 x x x xI x d e x e e d x e e dx                           1 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 3 52 2 1 2 2 2 2 4 4 xe e e e e                     . 2) Ta có           ln3 ln 3 ln 3ln3 2 2 2 2 11 1 1 2 2 2 3 ln 3 2ln 3 2 1x x x x K J x x de x x e e d x x e x e dx              . Lại có 3         ln 3 ln 3ln 3 ln 3 1 11 1 1 1 1 3 ln 3 1 3ln 3 6x x x xK x de x e e d x e e             . Do đó    2 23 ln 3 2 ln 3 2 3ln 3 6 3ln 3 12 ln 3 12I e e e          . Ví dụ 2. Tính tích phân sau: 1)   4 2 0 4 3 sin 2I x x xdx     ; 2)   2 2 0 2 1 osJ x c xdx    . Giải 1) Ta có       4 44 2 2 2 00 0 1 14 3 cos 2 4 3 cos 2 cos 2 4 3 2 2 I x x d x x x x xd x x                          4 4 0 0 3 3 12 cos 2 2 sin 2 2 2 2 x xdx x d x              44 0 0 3 1 2 sin 2 sin 2 2 2 2 x x xd x              4 0 3 1 1 3 1 1 12 cos 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 8 4 x                          . b. Vì : 2 1 os2xos 2 cc x  . Cho nên :       2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 os2x 1 12 1 os 2 1 2 1 os2xdx 2 2 2 cI x c xdx x dx x dx x c                                22 2 2 0 0 1 1 1 12 1 sin 2 2 1 sin 2 sin 2 .22 2 2 2 2 8 4 20 0 x x x d x x x x dx                             = 2 21 0 os2x 12 8 4 2 8 40 c                   * Chú ý : 4 Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau : - Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả . - Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng :  ( ) sin axdx os axdxn nP x P x c       . Ta phải sử dụng các công thức hạ bậc : Như : 2 2 3 3 1 os2x 1 os2x 3sin sin 3 3cos os3xsin ; os ;sin ; os 2 2 4 4 c c x x x cx c x x c x       Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi ý đã biết . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau a.  3 21 2 0 2 3 1 x x x x dx e     b. 2 1 3 0 xx e dx . c.   2 2 2 0 2 xx e dx x  . ( Cao đẳng GTVT-2004 ) Giải a.  3 21 2 0 2 3 1 x x x x dx e     - Đặt :    3 2 2 2 2 22 3 1 3 4 3 ; x x dxu x x x du x x dx dv v e e             . Thay vào (*) -     1 2 3 2 2 2 2 0 12 3 4 3 62 3 1 2 2 2 1 0x x x xx x x dx J e e e                 . Tương tự : Ta tính J . - Đặt :    21 1 1 12 2 23 4 3 6 4 ; x x dxu x x du x dx dv v e e           . Do đó :     1 2 2 2 2 0 12 6 4 43 4 3 2 6 2 2 0x x xJ x x dx K e e e          . - Ta tính 1 2 0 6 4 x xK dx e    . +/ Đặt : 2 2 2 22 2 26 4 6 ; x x dxu x du dx dv v e e         +/ Do đó :     1 2 2 2 2 2 2 0 1 12 6 6 1 6 14 2 8 6 8 6 1 2 3 0 0x x x dxK x e e e e e e                  - Thay (3) vào (2) : 2 2 4 46 2( 2) 2J e e       . Lại thay vào (1) ta có : 5 2 2 2 6 4 142 2 2 6I e e e           b. 2 2 1 1 3 2 0 0 .x xx e dx x e xdx  . Đặt : 2 2 ; 0 0, 1 1 ( ) t dt xdx x t x t t x f x dx te dt            Do đó :     1 1 0 0 11 1 1. . . 02 2 2 t t t tI t e dt t d e t e e      c.   2 2 2 0 2 xx e dx x  . Ta giải bằng hai cách : Cách 1. - Đặt :       2 2 2 12 . 2 ; 22 x x x x dxu x e du x e x e dx xe x dx dv v xx            - Vậy :     2 22 2 2 2 0 0 2 2 1 0 022 x x x x xx e x eI dx xe dx e xe e xx           Cách 2. ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau ) - Đặt  2 2 2 , 0 2; 2 4 2 2 2( ) . 4 t t dt dx x t x t t x t e f x dx dt t e dt t t                        - Suy ra :   4 4 42 2 2 2 2 2 4 4 1 t t teI te dt dt e dt J K L t           . - Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được . * Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau - Đối với tích phân có dạng : ax ( ) eI dx P x     , ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng tích phân ax( )I P x e dx     được . - Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần . Nghĩa là trước khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số . Ví dụ 4. Tính các tích phân sau a.   4 2 0 4 3 sin 2x x xdx    b. 2 2 0 .sinx xdx   c. 4 2 0 os x dx c x   d. 2 2 0 osxdxx c   Giải 6 a.   4 2 0 4 3 sin 2x x xdx    - Đặt :  2 14 3 2 4 , sin 2 os2x 2 u x x du x dx dv xdx v c          . Thay vào (*) -       4 2 0 1 1 3 1os2x x 4 3 2 4 os2xdx 14 2 2 2 20 I c x x c J          - Tính :         4 4 4 0 0 0 1 12 4 os2xdx 2 4 sin 2 sin 2 2 4 2sin 24 2 2 0 J x c x d x x x xdx                     1 54 os2x 4 2 4 8 20 c                   . Thay vào (1) . 3 1 5 4 2 2 8 2 16 I           . b.   2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 os2x 1 1 1 1.sin . os2xdx . sin 22 2 2 2 2 20 cx xdx x dx xdx x c x x d x                                    2 2 22 0 1 1 1 1 1 8.sin 2 sin 2 0 os2x2 2 2 8 2 2 8 2 2 160 0 x x xdx c                                  . c.     4 4 4 2 0 0 0 1. t anx .t anx t anxdx ln osx ln 24 4 os 4 4 20 0 x dx x d x c c x                d. 2 2 0 osxdxx c   . - Đặt : 2 2 , osxdx v=sinxu x du xdx dv c     . Do đó :   2 22 2 2 2 0 0 0 .s inx 2 .s inxdx . osx . osx osxdx2 2 4 40 0 I x x x d c x c c                          2 2 40 sinx 2 4 40               Ví dụ 1. Tính các tích phân sau a. 3 2 1 ln e x xdx . ( KD-2007) b.   2 2 3 ln x x dx . ( KD-2004 ) 7 c. 3 1 ln e xdx d. 2 1 ln e x xdx . ( Tham khảo 2005 ) Giải a. 3 2 1 ln e x xdx . - Đặt : 2 3 41ln 2 ln , 4 dxu x du x dv x dx v x x       - Do đó :   4 4 4 4 2 3 1 1 1 1 1 1.ln 2 ln . ln 1 14 4 4 2 4 2 e ee x e eI x x x dx x xdx J x        . - Tính 3 1 ln e J x xdx  . +/ Đặt : 3 41 1 1ln , 4 dxu x du dv x dx v x x       +/ Do đó : 4 4 4 3 4 1 1 1 1 3 1ln 1 14 4 4 16 16 ee ee eJ x x x dx x      . Thay vào (1) ta có : 4 4 41 3 1 5 1 4 2 16 32 e e eI         . b.   2 2 3 ln x x dx . - Đặt :  2 2 2 1ln ,xu x x du dx dv dx v x x x          . - Do đó :      3 3 2 2 2 3 2 1 2 2 1.ln 3ln 6 2 ln 2 2 1 1 x x xI x x x dx dx x x x                 3 3 2 2 31 ln 54 2 ln 54 2 ln 1 3ln 3 2 21 d x dx x x             . c. 3 1 ln e xdx . - Đặt : 3 2ln 3ln ,dxu x du x dv dx v x x       - Do đó :  3 2 1 ln 3 ln 3 1 1 ee I x x xdx e J    .Tính : 2 1 ln e J xdx  +/ Đặt : 21 1 1 1 2 lnln ,xu x du dx dv dx v x x       +/ Do vậy :  2 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 1 e ee e e J x x xdx e x x dx e x x x e                   . 8 +/ Thay vào (1) :  3 2 6 2I e e e     d. 2 1 ln e x xdx .. - Đặt : 2 31ln , 3 dxu x du dv x dx v x x       - Do đó : 3 3 3 2 3 1 1 1 1 2 1ln 1 13 3 3 9 9 ee ee eI x x x dx x      * Chú ý : Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x). Ví dụ 2. Tính các tích phân sau : a.   3 2 1 3 ln 1 x dx x   . ( KB-2009 ) b. 2 3 1 ln x dx x . ( KD-2008 ) c.   2 2 1 ln 1x dx x   . ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 ) Giải a.         3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 ln 3 ln 1 1 1 1 x xdx dx dx x x x         . - Với :   3 2 1 33 3 3 11 41 dx xx     - Với :     3 3 3 2 1 1 1 27ln3 3ln ln 1 ln 3 1 1 ln 3 16ln 1 11 1 4 1 4 1 41 x x xdx dx dx x x x x x xx                    Thay vào (1) : 27 27ln 3 ln3 16 16 4 4 4 I     b. 2 3 1 ln x dx x . - Đặt : 2 3 2 1 1ln , 2 dx dxu x du dv v x x x        - Do vậy : 2 2 3 2 1 2 21 1 ln 2 1 3 2 ln 2ln 1 12 2 8 4 16 dxI x x x x         9 c.       2 2 2 2 1 1 1 ln 1 ln 1 1 ln 3 1 1ln 2 1 2 1 x x dx dx dx x x x x x x                . 2ln 3 ln 3 ln 2 3ln 3ln 2 ln ln 2 ln 3 12 1 2 2 x x           * Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : ln ( ) x dx P x    , vẫn có thể áp dụng cách giải cho tích phân dạng : ( ) lnI P x xdx     Ví dụ 3. Tính các tích phân sau . a.   1 2 0 ln 1x x dx . ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 ) b.   3 2 0 ln 5x x dx . CĐTCKT-2006 ) c.  3 4 ln t anx sin 2 dx x    . (CĐTCHải quan -2006 ) Giải a.             1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 11 1ln 1 ln 1 1 1 ln 1 1 02 2 x x dx x d x x x d x                   .    2 1 2 ln 2 11 2 ln 2 1 02 2x           b.   3 2 0 ln 5x x dx . - Đặt :   2 2 2 ; 0 5, 3 14 5 1( ) ln 5 ln 2 dt xdx x t x t t x f x dx x x dx tdt               - Do đó :   14 5 141 1 14 ln14 5ln 5 11ln ln 52 2 2 I tdt t t t      c.           3 3 2 2 2 4 4 ln t anx 1 1 1 13ln t anx ln t anx ln t anx ln 3 0 ln 3 sin 2 2 4 4 16 4 dx d x                  . Cách khác : - Đặt :  22 2 dxdt= 1 cos 1t anx 1; 3 4 3 dtt dx dx x tt x t x t                  . Với : 2 2sin 2 1 tx t   10 - Khi đó :   3 3 2 1 1 2 ln 1 ln 1 12 1 2 2 1 t dt tI dt Jt t t t        +/     3 3 2 2 2 1 1 ln 1 1 13ln . ln ln ln 3 0 ln 3 2 2 81 tJ dt t d t t t        +/ Thay vào (1) ta có : 21 ln 3 16 I  * Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần . Ví dụ 1. Tính các tích phân sau : a. 2 2 0 os3xdxxe c   b. 2 3 0 sin 5xI e xdx    ( CĐKTKT-2005) c. 2 2 0 sinxe xdx   d. 2 1 2 1 ( sin )x xe x e x dx   . ( ĐHTN-2000) Giải a. 2 2 0 os3xdxxe c   . Đặt : u= 2 2 12 , os3xdx v= sin 3 3 x xe du e dv c x    - Do đó :   2 2 2 0 1 1 1 2 2 1sin 3 . sin 3 12 3 3 3 3 3 30 x xI x e e xdx e J I J e              - Tính J = 2 2 0 sin 3xe xdx   . Đặt : 2 2 12 ; sin 3 os3x 3 x xu e du e dx dv xdx v c       - Do vậy :   2 2x 2 0 1 2 1 2 2 1os3x.e os3xdx 22 3 3 3 3 3 30 xJ c e c I J I          - Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I= 3 2 13 e  b. 2 3 0 sin 5xI e xdx    . Đặt : 3 3 13 ; sin 5 os5x 5 x xu e du e dx dv xdx v c       - Do đó :   3 32 2 3 3 2 0 1 3 3 3 1os5x os5xdx . 12 5 5 5 5 5 50 x x eI e c e c J I J e            11 - Ta lại đặt : 3 3 13 ; os5 sin 5x 5 x xu e du e dx dv c xdx v      - Do đó :   3 32 2 3 3 2 0 1 3 3 3 1sin 5x sin 5xdx . 22 5 5 5 5 5 50 x x eI e e I J I e           - Từ (1) và (2) ta tính được : 3 21 1 . 4 20 I J e    . c.  2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1sin 1 os2x os2xdx 2 2 x x x xe xdx e c dx e dx e c                    2 2 2 0 1 1 1os2xdx 1 1 04 4 2 x xe e c e J       - Tính J= 2 0 os2xdxxe c   . Đặt : 2 2 12 ; os2xdx v= sin 2 2 x xu e du e dx dv c x     - Do đó :  2 2 0 1 1 1sin 2 sin 2 2 02 2 2 x xJ e x e xdx K      . Ta tính K - Lại đặt : 2 2 12 ; sin 2xdx v= os2 2 x xu e du e dx dv c x     - Do đó :     2 2 2 2 0 1 1 1os2 os2 1 1 3 02 2 2 x xK e c x e c xdx e J K J e            Từ (2) và (3) ta tính được :  21 1 2 J e   , sau đó lại thay vào (1)  1 1 2 I e  d.   2 2 2 1 0 1 2 2 2 1 1 0 ( sin ) ( sin ) ( sin ) 1x x x x x xe x e x dx e x e x dx e x e x dx J K            - Tính J: Đặt t=-x suy ra dt=-dx . Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 . Khi đó : -    2 2 2 0 1 1 1 0 0 sin sin s inxdx 2 0 0t t xJ e t dt e tdt e J J J               . +/ Tính K : Đặt 2 2 ; x xu x du xdx dv e dx v e      . +/ Do vậy :   1 1 1 2 0 0 0 1 1 . 2 . 2 . 2 . 0 0 x x x x xK x e x e dx e x d e e x e e dx                   1 2 2 1 2 0 xe e e e e e               . - Vậy : I=K= e-2. 12 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau a. 1 2 0 sin ( )xe x dx b. /2 cos 0 sin 2xe xdx   ( DB-2004) c.   / 4 sin 0 cosxtgx e x dx   . (DB-2005) Giải a. 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 os2 x 1sin ( ) os2 xdx 2 2 x x x xce x dx e dx e dx e c                   11 1 1 1 02 2 2 x ee J J           . Tính J : - Đặt : 1; os2 xdx v= sin 2 2 x xu e du e dx dv c x      . - Do đó :     1 1 0 0 11 1 1 1 1sin 2 sin 2 .sin 2 sin 0 sin 2 1 02 2 2 2 2 x x xJ e x e xdx e e xdx K               +/ Tính K : Đặt 1; sin 2 os2 x 2 x xu e du e dx dv xdx v c       +/ Do vậy :     1 0 11 1 1 1os2 x os2 xdx 1 2 02 2 2 2 x xK e c e c e I           Từ (1) và (2) ta có :       2 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 4 1 2 2 2 2 2 4 2 8 4 8 2 4 1 e ee e e eI I I I I I                                          b.     / 2 0 12 cos osx 0 0 1 0 sin 2 2 . osx. sinxdx 2 2x c t te xdx e c e t dt e dt          .      12 2 1 1 2 20 te t e e       Vì : osx dt=-sinxdxt c   . Khi x=0 thì 1, 0 2 t x t    c.   / 4 4 4 sin sinx 0 0 0 cos t anxdx osxdxxtgx e x dx e c         .   24 sinx sinx 2 0 1 ln 2ln osx e sinx ln 14 4 220 0 c d e e            13 C. Bài tập Bài 1. Tính các tích phân sau a.   2 0 osx osxdxxe c c   b. 4 0 .sin 2x xdx   c. 2 2 0 osxdxx c   d. 3 2 4 . tanx xdx    e. 1 .ln e x xdx f.   0 2 3 1 1xx e x dx    Bài 2. Tính các tích phân sau a. 6 2 0 .s inxcosx xdx   b. 0 .s inx 1+cosx x dx   c. 2 2 0 sinxe xdx   d.  21 ln 1 e e x dx x  e.   3 0 s inx.ln cosx dx   f. 2 2 sin 3 0 s inxcosxe xdx   Bài 3. Tính các tích phân sau a. 4 3 0 sin 4xe xdx   b.  3 2 6 ln s inx os dx c x    . c.   2 2 0 sin osxdxx x c   d. 2 4 0 os xxc dx   e.   1 2 0 2 xx e dx f. 3 2 0 ln e x xdx Bài 4. Tính các tích phân sau a.   1 2 2 0 2 xx e x dx b. 2 2 1 1ln 1x dx x      c. 1 2 0 1.ln 1 xx dx x      d.   2 2 1 os ln e c x dx   e.   2 2 1 lnx x xdx f. 2 5 1 ln x dx x Bài 5. Tính các tích phân sau a.   1 2 0 ln 1 1 x dx x   b.   2 0 s inxln 1+cosx dx   c.   1 2 2 0 1 xx e dx d. 3 4 0 .sin cosx x xdx   e. 2 0 1 sinx 1+cosx xe dx    f.   4 2 1 1 lnx xdx Bài 5. Tính các tích phân sau 14 a.   3 2 0 ln 1x x dx b.   4 0 ln t anx dx  