Giáo án lớp 12 môn đại số - Phương pháp toạ độ trong không gian

ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian I. Mục Đích yêu cầu: - Học sinh biết dùng các biểu thức tọa độ của các phép toán trên các vectơ để tính tọa độ của vectơ và vận dụng nó để tính độ dài đoạn thẳng, tính góc giữa hai vectơ, tính diện tích tam giác và diện tích hình bình hành, tính thể tích khối hộp và khối tứ diện. - Học sinh biết cách chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồnphẳng, điều kiện để hai vectơ cùng phương hay vuông góc. - Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu khi biết một số dữ kiện xác định. - Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng. Viết phương trình mặt phẳng và đường thẳng. xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng. II. Phương pháp – phương tiện: 1. phương pháp: 2. Phương tiện: Sách hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp THPT môn toán NXBGD năm học 08-09) III. Nội Dung: * C¸c d¹ng to¸n cÇn luyÖn tËp: theo sách ôn thi TN Bài tập Nội dung sách ôn thi TN Bài 1: Dùng các biểu thức tọa độ của phép toán về vectơ để tính toán và chứng minh một số yếu tố hình học. bài 1 tr.105 Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu, viết phương trình mặt cầu. bài 1 tr.105 Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng, tính góc và khoảng cách có liên quan đến mặt phẳng. bài 2 tr.111 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng. bài 3 tr.115 A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. To¹ ®é cña vect¬: Cho hai vect¬ vµ ta cã: 1. 2. Vect¬ 2. §é dµi cña vect¬: 3. Tæng vµ hiÖu: 4. TÝch v« h­íng: 5. Gãc gi÷a hai vect¬: = * 2. To¹ ®é cña ®iÓm: Cho hai ®iÓm vµ thì: 1. Vect¬ : 2. Kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn B: AB = 3. §iÓm M chia ®oan AB theo tØ sè k: ( k¹1) Û = k. Û ( k¹1). Tọa độ của M là: v M là trung điểm củaAB Û 3. TÝch cã h­íng cña hai vect¬: Cho hai vect¬ vµ kh«ng cïng ph­¬ng. Được gọi là tích có hướng của 2 vt 4. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng: Pttq (P): Ax + By + Cz + D = 0. (A2 + B2 + C2 >0) Cã vtpt . Chó ý: + MÆt (xOy) cã pt: z = 0. + MÆt (yOz) cã pt: x = 0. + MÆt (xOz) cã pt: y = 0 5. C¸c c¸ch viÕt pt mÆt ph¼ng: a. ph­¬ng tr×nh mp (P) ®i qua M(x0; y0; z0) vµ cã vtpt : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. b. 2 vect¬ , cã gi¸ // hoÆc n»m trªn mp(P). Th× pt mp (P) cã vtpt ( Sau ®ã ®­a bÇi to¸n vÒ d¹ng a.) c. ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A, B, C. Khi ®ã (P) ®i qua A vµ cã vtpt : . Chó ý: 1. Khi viÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) th­êng ph¶i t×m mét ®iÓm M thuéc (P) vµ vtpt cña (P). 6. Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét mÆt ph¼ng (P) : Ax + By + Cz + D = 0. 7. ph­¬ng tr×nh ®õ¬ng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ cã vtcp : a. Ph­¬ng tr×nh tham sè: b. Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c: (§iÒu kiÖn a1, a2, a3 ®Òu kh¸c 0) 8. ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu: D¹ng 1: ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu theo t©m vµ b¸n kÝnh (ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c): Ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I(a; b; c) b¸n kÝnh R: D¹ng 2: Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt cÇu: (§iÒu kiÖn a2 + b2 + c2 – d >0) Cã t©m I(a; b; c), b¸n kÝnh R = + NÕu t©m I th× (S): GV: Gi¸p Minh §øc B. BÀI TẬP Bài toán 1: Xác định tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ. Ví dụ 1: Cho . Tìm tọa độ điểm C sao cho . * Giải: Gọi tọa độ điểm C là: , ta có: Do đó: Vậy Ví dụ 2: Xác định tọa độ của vectơ biết: * Giải: Ta có: . Ví dụ 3: Cho , . Hăy xác định tọa độ của vectơ , biết . * Giải: Gọi tọa độ của vectơ . Ta có Vậy: Bài tập tự luyện: (Bài 1,2,6 trang 68 Ôn thi tốt nghiệp môn toán 2009) Bài toán 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu : * Định lư 1: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz.Mặt cầu tâm : * Nếu th́ PT mặt cầu là : Định lí 2: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz Phương tŕnh: với là phương tŕnh mặt cầu tâm và bán kính Ví du 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có PT: * Giải : Ta có: và bán kính ,Tâm I(2;1;-3). BÀI TẬP: Bài 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. 1) KQ: 1)T©m I(2 ;-3 ;0) vµ R=3 2) KQ: 2) T©m I (4;0;-1) vµ R=4 Bài 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu: 1) T©m I(2;2;-3) vµ R=3 2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) vµ t©m I thuéc Ox 3) Qua 4 ®iÓm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) vµ D(1;1;6) 4) §­êng kÝnh AB víi A(1;-3;5); B(-3; 4; -3) Gi¶i: 1) Ta cã ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu lµ 2) Ta cã t©m I(a ;0 ;0) Do Mc (S) Di qua A vµ b nªn ta cã IA = IB = R =>IA2 = IB2 3) G/s Pt mÆt cÇu (S) lµ x2+y2+z2+ ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c2) Do (S) ®i qua A(1;4;0); B(-4;0;0); C(-2;-2;0) vµ D(1;1;6) nªn ta cã 4)Ta cã t©m I(-1;;1) vµ R= => Pt mÆt cÇu lµ: Bài toán 3: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG *Các cách viết phương trình mặt phẳng. Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C : ° Cặp vtcp:, ° Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° (P) là mp trung trực của AB: (P) Dạng 3: Mặt phẳng a qua M và ^ d (hoặc AB) ° Dạng 4: Mpa qua M và // b: Ax + By + Cz + D = 0 ° Dạng 5: Mpa chứa (d) và song song (d/) Điểm M ( chọn điểm M trên (d)) Mp(a) chứa (d) nên Mpa song song (d/) nên ■ Vtpt Dạng 6 Mp(a) qua M, N và ^ (b) : ■ Mpa qua M,N nên ■ Mpa ^ mpb nên ° Dạng 7: Mpa chứa (d) và đi qua A. ■ Mpa chứa d nên ■ Mpa đi qua và A nên Vtpt của mp(a): 4) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Viết PTTQ của mp đi qua điểm và song song với mặt phẳng: * Giải: Vì mp song song với mp nên mp có VTPT là: . Vậy PTTQ của mp là: Ví dụ 2: Cho hai điểm . Viết PTTQ của mặt phẳng trung trực của AB. * Giải: Gọi I là t.điểm của đoạn AB, ta có Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ làm VTPT. Vậy PTTQ của mặt phẳng cần t́m là: Ví dụ 3: Cho .Viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C. * Giải: Ta có Do đó mp đi qua nhận vectơ làm VTPT nên có phương trình: Ví dụ 4: Viết PTTQ của mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ. Giải: Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm trên các trục Ox, Oy, Oz thì: Do đó: Vậy: phương trình của mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ là : Bài tập cùng dạng: Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P): a. §i qua A(1;3;-2) vµ nhËn lµm vtpt. b. §i qua B(1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. c. §i qua A(0; -1; 4) vµ song song víi gi¸ cña c¸c vect¬ , . d. §i qua hai ®iÓm A(4;-1;1), B(3;1;-1) vµ // trôc ox. e. (P) chøa Ox vµ ®i qua ®iÓm A (1; -2; 3). g. (P) ®i qua ba ®iÓm A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4). h. (P) ®i qua A(1;0;1), B(2;1;2) vµ vu«ng gãc víi mp(Q): x+2y+3z+3=0. Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua A(1;2;3), B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mp(Q): x+2y+3z+4=0. Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4; 0;6). a. ViÕt pttq cña c¸c mp: (ABC), (ACD), (ABD) (BCD). b. ViÕt pttq cña mp(P) chøa c¹nh AB vµ // víi CD. Bµi 4: Cho hai ®iÓm A(1;2;3) B(3;4;-1): a. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(P) lµ trung trùc cña AB. b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(Q) qua A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P) vµ (yOz). c. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(R) qua A vµ song song víi (P). Bµi 5: (§HL – 96) Cho tø diÖn cã bèn ®Ønh A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3),D(4;-1;0). TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh D xuèng mp(ABC). Bµi 6: (§HC§ - 99) ViÕt pt mp trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB biÕt A(2;1;4), B(-1;-3;5). Bµi 7: (§HL – 99) Cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x – 2 = 0, (Q): y – z – 1 = 0. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(R) qua A víi c¶ hai mp (P) vµ (Q). Bµi 8: (§HD – 99) Cho tø diÖn cã bèn ®Ønh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8). TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh D xuèng mp(ABC). Bµi 9: ViÕt pttq cña mp(P) chøa gèc to¹ ®é vµ víi hai mÆt ph¼ng (Q): x-y+z-7=0 vµ (R): 3x+2y-12z+5=0. Bài toán 4: Phương trình tham số của đường thẳng: 1.Phương tŕnh tham số của đường thẳng (d) : Qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3) Qui ước: Mẫu = 0 thì Tử = 0 2.Phương tŕnh chính tắc của (d): 3. Các dạng bài tập. Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (D) Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(a) Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên (a) : d/ = (a) Ç (b) Viết pt mp(b) chứa (d) và vuông góc mp(a) ª Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2) Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 : + Tìm = [d1, d2] + Mpa chứa d1 , (d) ; mp(b) chứa d2 , (d) d = (a) Ç (b) Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = (a)Ç (b) với mp(a) = (A,d1) ; mp(b) = (A,d2) 4. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Viết PTTS, PTCT của đường thẳng D qua . * Giải: PTTS của đường thẳng cần t́m là: Ví dụ 2: Tìm PTCT của đường thẳng D biết D qua điểm và song song với đường thẳng d : * Giải: Vectơ chỉ phương của d là .Vì D // d nên D cũng có một VTCP là Vậy PTCT của D là 5. Bài tập tự luyện: Bµi 1: ViÕt ptts cña ®õ¬ng th¼ng (d) biÕt: a. (d) ®i qua M(5;4;1) vµ cã vtcp . b. (d) ®i qua A(2;-1;3) vµ víi mp(P): x-y+z-5=0. c. (d) ®i qua B(2; 0; - 3) vµ // (d’): d. (d) ®i qua hai ®iÓm P(1;2;3) vµ Q(5;4;4). Bµi 2: ViÕt ptts cña ®õ¬ng th¼ng (d) biÕt: a. (d) ®i qua M(1;2;-3) vµ cã vtcp . b. (d) ®i qua N(2;-3;1) vµ víi mp(P):x+2y-z+4=0. d. (d) ®i qua hai ®iÓm A(1;3;5) vµ B(2;-1;3). Bài toán 5: Khoảng cách và góc 1. Góc giữa hai vectơ: Nếu là góc giữa hai vectơ , và thì: Ví dụ: Cho , . Tính ? và góc giữa hai vectơ * Giải: Ta có: và Vậy với . 2. Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng D1 và D2 lần lượt có PT: Gọi j là góc giữa hai đt D1 và D2, ta có * D1 ^ D2 Û = 0. Ví dụ : Tính góc giữa hai đường thẳng: Giải: VTCP của D1 là VTCP của D2 là .Do đó góc j giữa D1 và D2 được tính: 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng D và mặt phẳng (a) có PT: Gọi j là góc giữa đt D và mp (a), ta có * D // (a) hoặc D Ì (a) Û Aa + Bb + Cc = 0. Ví dụ : Tính góc giữa đt D và mp(a): Giải: VTCP của D là VTPT của (a) là .Do đó góc j giữa D và(a) được tính: Þ j = 300 3. Góc giữa hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng (a) và (b) có PT: Gọi j là góc giữa (a) và (b), ta có Ví dụ : Tính góc giữa hai mp(a) và mp(b) : Giải: VTPT của (a) là VTPT của (b) là 4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MP: Định lí: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (a) :Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức: 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đt: Định lí: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng D đi qua và một điểm . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng D được tính bằng công thức : Ví dụ 2 : Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng D :. * Giải : Đường thẳng D qua và có VTCP Þ Ta có: 6. Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau: Trong KG Oxyz, cho hai đường thẳng D1, D2 chéo nhau. Đường thẳng D1 đi qua có VTCP , đường thẳng D2 đi qua và có VTCP . Khoảng cách giữa D1 và D2 là: Ví dụ 3 : Tính khoảng cách giữa hai đt D1 và D2 : . * Giải : D1 qua D2 qua Ta có và Þ = Vậy : = 0 Do đó góc j giữa (a) và (b) được tính: Þ j = 600 Bài toán tổng hợp Bµi to¸n 1: H×nh chiÕu cña ®­êng lªn mÆt ph¼ng: Bµi 20: Cho ®õ¬ng th¼ng (d) vµ mp(P) cã ph­¬ng tr×nh: vµ (P): 2x + y + z - 8 = 0. a. T×m giao ®iÓm cña (d) vµ (P). b. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®õ¬ng th¼ng (d’) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn (P). Bµi 21: Cho ®õ¬ng th¼ng (d) vµ mp(P) cã ph­¬ng tr×nh: vµ (P): 2x - 2y + z - 3 = 0. a. T×m giao ®iÓm cña (d) vµ (P). b. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®õ¬ng th¼ng (d’) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn (P). Bµi to¸n 2: H×nh chiÕu cña ®iÓm lªn mÆt ph¼ng: Bµi 22: Cho ®iÓm A(2;3;-1) vµ mp(P): 2x-y-z-5=0. a. X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu cña A lªn mp(P). b. T×m to¹ ®é cña ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (P). Bµi 23: Cho ®iÓm A(1;4;2) vµ mp(P): x+y+z-1=0. a. X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu cña A lªn mp(P). b. T×m to¹ ®é cña ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (P). c. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mp(P). Bµi 24: Cho ®iÓm A(-2;4;3) vµ mp(P): 2x-3y+6z+19=0. a. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(Q) qua A vµ song song víi mp(P). TÝnh ho¶ng c¸ch gi÷a (P) vµ (Q). b. H¹ AH (P). ViÕt ph­¬ng tr×nh ®õ¬ng th¼ng AH vµ t×m to¹ ®é ®iÓm H. Bµi 25: Cho ®iÓm A(1;2;1),B(2;1;3) vµ mp(P): x-3y+2z-6=0. a. ViÕt pt mp(Q) qua A, B vµ vu«ng gãc víi (P). b. ViÕt pt ®õ¬ng th¼ng lµ giao tuyÕn cña mp(P) vµ (Q). T×m to¹ ®é ®iÓm K ®èi xøng víi A qua (P). Bµi to¸n 3: H×nh chiÕu cña ®iÓm lªn ®­êng th¼ng: Bµi 26: Cho ®iÓm A(1;2;-1) vµ X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d). Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d). Bµi 27: Cho ®iÓm M(1;2;-1) vµ ®õ¬ng th¼ng . X¸c ®Þnh to¹ ®é cña N ®èi xøng víi M qua (d). TÝnh ®é dµi ®o¹n MN. Bµi to¸n 8: MÆt cÇu Bµi 28: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu trong c¸c tr­êng hîp sau: a. T©m I(2;-1;3) cã b¸n kÝnh R = 2. b. Cã t©m C(4;-4;-2) vµ ®i qua gèc to¹ ®é. c. §i qua A(2;-1;-3) cã t©m C(3;-2;-1). d. Cã ®­êng kÝnh AB, víi A(2;1;0), B(4;2;-2). e. Cã t©m C(3;-5;-2) vµ tiÕp xóc víi mp(P): 2x-y-3z+11=0 Bµi 29: Cho mÆt cÇu (S) ®­êng kÝnh AB víi A(6;2;-5), B(-4;0;7). a. T×m to¹ ®é t©m I vµ b¸n kÝnh R cña (S). b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mcÇu (S). c. ViÕt pt mp(P) tiÕp xóc víi mcÇu (S) t¹i A. Bµi 30: Trong kh«ng gian cho 4 ®iÓm A(1;0;1), B(1;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). a. ViÕt pt ®õ¬ng th¼ng (d) qua D vµ mp(ABC). b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mcÇungo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi 31: Cho mcÇu (S): vµ mp(P): 2x-2y-z-2=0. BiÕt (P) c¾t (S) theo ®­êng trßn (C). X¸c ®Þnh t©m, b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (C). Bµi 32: Cho 4 ®iÓm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3). a. CM A, B, C, D kh«ng ®ång ph¼ng. b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(ABC) vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn mp(ABC). c. ViÕt ph­¬ng tr×nh mcÇungo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. Bµi 33: Cho 4 ®iÓm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1). a. CMR c¸c ®õ¬ng th¼ng AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc. TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD. c. ViÕt pt mcÇu (S) ®i qua bèn ®Ønh A,B,C,D. d. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(P) tiÕp xóc víi mcÇu (S) vµ song song víi mp(ABD). Bµi 34: Trong kh«ng gian cho 4 ®iÓm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). a. ViÕt pt mp(BCD). Suy ra ABCD lµ mét tø diÖn. b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mcÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi mp(BCD). T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm cña (S) vµ mp(BCD). Bµi 35: Cho ®iÓm I(1;1;1) vµ ®õ¬ng th¼ng . a. X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu H cña I lªn (d). b. LËp ph­¬ng tr×nh mcÇu (S ) t©m I(2;3;-1) c¾t ®õ¬ng th¼ng (d) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho AB = 16. Bµi 36: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I n»m trªn ®­êng th¼ng (d): vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng (P1): x+2y-2z-2=0, (P2): x+2y-2z+4=0.