Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương trình đường thẳng trong không gian

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình đường thẳng Cho đường thẳng  đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và có véctơ chỉ phương  ; ;u a b c  ( 2 2 2 0a b c   ). Ta có * Phương trình tham số của  là 0 0 0 x x at y y bt z z ct         . * Khi 0abc  từ phương trình tham số, khử t ta được phương trình chính tắc của  là 0 0 0x x y y z z a b c      . Đặc biệt: phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm  ; ;A A AA x y z ,  ; ;B B BB x y z ( A Bx x , A By y , A Bz z ) là A A A B A B A B A x x y y z z x x y y z z         . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 2. Vị trí tương đối giữa hai dường thẳng Xét đường thẳng 1 đi qua 1M , nhận 1u  là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng 2 đi qua 2M , nhận 2u  là một véc-tơ chỉ phương. Ta có hai phương pháp xét vị trí tương đối giữa 1 và 2 . Phương pháp Dấu hiệu Phương pháp 1 Phương pháp 2 Song song 1 2 1 2u u        , khoâng coù ñieåm chung . 1 2 1 1 2, , 0u u u M M             . Chéo nhau 1 2 1 2u u       , khoâng coù ñieåm chung , khoâng cuøng phöông . 1 2 1 1 2 , 0 , 0 u u u M M                . Cắt nhau 1 , 2 có đúng một điểm chung . 1 2 1 2 1 2 , 0 , . 0 u u u u M M                . Trùng nhau 1 , 2 có vô số điểm chung . 1 2 1 2, . 0u u M M       . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 3. Một số bài toán tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng * Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua điểm 0M và nhận u  làm véc-tơ chỉ phương được tính bởi công thức   0 , ; M M u d M u         . * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Xét đường thẳng 1 đi qua 1M , nhận 1u  là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng 2 đi qua 2M , nhận 2u  là một véc-tơ chỉ phương. Khoảng cách giữa 1 và 2 được tính bởi công thức   1 2 1 2 1 2 1 2 , . , , u u M M d u u                . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 B. Phương pháp giải toán Loại 1. Một số bài toán cơ bản  Giới thiệu Phần này đề cập đến những vấn đề sau +) Bài toán lập phương trình đường thẳng mà véc-tơ chỉ phương của nó được suy ra từ giả thiết một cách dễ dàng. +) Bài toán tìm điểm thuộc đường thẳng.  Một số ví dụ Ví dụ 1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm  2; 3;4M  và nhận 11; ;0 2 u       là véc-tơ chỉ phương. Giải +) Ta có     qua 2; 3;4 11; ;0 2;1;0 2 d M d u              phương trình tham số của d là 2 2 3 4 x t y t z         . +) Véc-tơ chỉ phương của d có cao độ bằng 0 nên d không có phương trình chính tắc. Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng AB biết  4;0;5A ,  3;5;7B . Giải Áp dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ta có 4 5: 1 5 2 x y zAB     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm  3;7;9M và song song với đường thẳng 1 3 1' : 2 4 2 x y zd      . Giải Ta thấy 3 1 7 3 2 4     'M d  qua M tồn tại đường thẳng d song song với 'd . Ta có     ' ' 2;4; 2 1;2; 1 d d d            1;2; 1 laïi coù ñi qua 3;7;9 d d M        1 7 9: 3 2 1 x y zd      . Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm  2;0;1M  và song song với trục Ox . Giải Ta thấy M Ox nên qua M tồn tại đường thẳng d song song với Ox . d song song với Ox nên nhận véc-tơ  1;0;0i  làm véc-tơ chỉ phương, lại có d đi qua  2;0;1M  . Do đó 2 : 0 1 x t d y z        . Ví dụ 5. Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm 2 ;0; 1 3 M      và vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy . Giải d vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy nên d nhận véc-tơ  0;0;1k  làm véc-tơ chỉ phương, mặt khác d đi qua điểm 2 ;0; 1 3 M      . Do đó BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 2 3 : 0 1 x d y z t           . Ví dụ 6. Tìm điểm M thuộc đường thẳng 2 5 : 2 3 3 x t d y t z t          , biết rằng M có hoành độ bằng tung độ. Giải Điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ có dạng  2 5 ;2 ;3 3M t t t    . M có hoành độ bằng tung độ nên 2 5 2t t     2 3 t  . Do đó 4 4; ;5 3 3 M      . Ví dụ 7. Cho điểm  2; 3;1A  . Tìm điểm M thuộc đường thẳng 1 3: 2 5 4 x y zd     sao cho đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng 3 2 2' : 1 4 7 x y zd      . Giải Đường thẳng d có phương trình tham số là 1 2 : 3 5 4 x t d y t z t         . M d nên tọa độ M có dạng  1 2 ; 3 5 ;4M t t t   . Do đó  2 1;5 ;4 1AM t t t    . Đường thẳng d nhận véc-tơ  2;5;4u   làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng d nên . 0u AM   , hay BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7    2 1 2 5 3 5 4.4 0t t t        17 45 t  . Vậy 11 10 68; ; 45 9 45 M      . Ví dụ 8. Tìm điểm M thuộc đường thẳng 1 2 : 3 2 x t d y t tz             biết rằng M cách đều các mặt phẳng tọa độ Oxy và Oyz . Giải M d nên tọa độ M có dạng 1 2 ;3 ; 2 tM t t       . Khoảng cách từ M đến các mặt phẳng tọa độ Oxy và Oyz lần lượt là 2 t và 1 2t . Các khoảng cách này bằng nhau khi và chỉ khi 1 2 2 t t   2 3 2 5 t t         . Do đó 1 11 1; ; 3 3 3 M      hoặc 1 17 1; ; 5 5 5 M       . Ví dụ 9. Cho điểm  1;2; 5A  và đường thẳng 3 2 : 4 5 x t d y t z t          . 1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d . 2) Tìm tọa độ điểm 'A đối xứng với A qua d . Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 1) Giả sử H là hình chiếu vuông góc của A lên d . Vì H d nên tọa độ của H có dạng  3 2 ; ; 4 5H t t t    , suy ra  2 2; 2;5 1AH t t t      . Lại có AH d nên AH  vuông góc với véc-tơ chỉ phương  2; 1;5u    của, điều này có nghĩa là . 0u AH          2 2 2 1 2 5 5 1 0t t t          1 10 t   . Suy ra 16 1 9; ; 5 10 2 H      . 2) 'A đối xứng với A qua d khi và chỉ khi 'A đối xứng với A qua H . Từ đây suy ra ' ' ' 272 5 92 5 2 4 A H A A H A A H A x x x y y y z z z                 . Vậy 27 9' ; ; 4 5 5 A       .  Bài tập Bài 1. Viết phương trình tham số đường thẳng d trong các trường hợp sau 1) d đi qua điểm  3;5;1M và nhận  651; ;7u   là véc-tơ chỉ phương. 2) d đi qua hai điểm  3;4;9A ,  14;2;0B . 3) d đi qua điểm  9;12;8M và song song với đường thẳng 4 15 2 1' : yx zd    . 4) d đi qua điểm  2;13;5M và song song với trục Oz . 5) d đi qua điểm  27 ; 2;2M  và vuông góc với mặt phẳng tọa độ yOz . Bài 2. Cho 5 2 2 3 1 : 1 x t d y t z t          . Tìm điểm M biết rằng 1) M d , M có hoành độ bằng 3 . 2) M d , M có hoành độ bằng hai lần tung độ. 3) M d ,  341; 2;MA u    . Ở đây,  1;2;4A   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 4) M đối xứng với  1;2;6N qua d . 5) M d , M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy và  yOz . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Loại 2. Các dạng bài toán lập phương trình đường thẳng  Nội dung phương pháp Trong phần này, chúng tôi phân loại các dạng bài toán lập phương trình đường thẳng. Qua đó, bạn đọc sẽ có “bức tranh chung” về dạng toán này. Bài toán Phương pháp giải Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng 1d , 2d ( 1d , 2d không song song, cũng không trùng nhau). Xác định véc-tơ chỉ phương của  là 1 1,u u u       , trong đó 1u  , 2u  theo thứ tự là véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng 1d , 2d . Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng 1d , 2d ( không cắt cả 1d lẫn 2d ).  là giao tuyến của hai mặt phẳng  1;A d và  2;A d nên  nhận 1 1,u u u       làm véc-tơ chỉ phương. Ở đây, 1u  , 2u  theo thứ tự là véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng 1d , 2d . Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , cắt đường thẳng 1d và vuông góc với đường thẳng 2d (hai đường thẳng 1d , 2d có thể trùng nhau). Xác định giao điểm M của  với 1d bằng cách sử dụng điều kiện .u AM   ( u  là véc-tơ chỉ phương của 2d ). Đường thẳng  chính là đường thẳng AM Bài toán 4. Viết phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng chéo nhau 1d , 2d . Xác định các điểm 1A d , 2B d sao cho 1AB d , 2AB d . Khi đó  chính là đường thẳng AB . Bài toán 5. Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d , cắt cả hai đường thẳng 1d , 2d . Tìm các điểm 1A d và 2B d sao cho AB d . Khi đó  chính là đường thẳng AB . Bài toán 6. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P và Xác định các giao điểm A , B của các đường thẳng 1d , 2d với mặt phẳng  P . Khi đó đường thẳng  chính là BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 cắt cả hai đường thẳng 1d , 2d (giả thiết rằng 1d và 2d cắt  P ). đường thẳng AB . Bài toán 7. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , nằm trong hoặc song song với mặt phẳng  P và vuông góc với đường thẳng d .  chính là đường thẳng đi qua A , có véc-tơ chỉ phương là ,v n u       . Trong đó, n  là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P , u  là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d . Bài toán 8. Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P và cắt cả hai đường thẳng chéo nhau 1d , 2d . Giả sử đường thẳng  cắt các đường thẳng 1d , 2d lần lượt tại A , B . Ta tìm A , B từ điều kiện véc-tơ AB  cũng phương với véc-tơ pháp tuyến n  của mặt phẳng  P . Bài toán 9. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , song song với mặt phẳng  P và cắt đường thẳng d . Gọi B là giao điểm của đường thẳng  với đường thẳng d . Xác định tọa độ điểm B từ điều kiện đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P . Đường thẳng  chính là đường thẳng AB . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12  Một số ví dụ Ví dụ 1. (Bài toán 1) Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm  2; 1;1A  và vuông góc với hai đường thẳng 1 1 2 2: 1 1 2 x y zd       , 2 2 : 3 2 0 x t d y t z         . Giải Các đường thẳng 1d , 2d lần lượt có véc-tơ phương  1 1;1; 2u    ,  2 1; 2;0u   (hai véc-tơ này không cùng phương).  vuông góc với cả 1d , 2d nên có véc-tơ chỉ phương  1 2, 4; 2;1u u u         cùng phương với véc-tơ  4;2; 1v   .  còn đi qua điểm  2; 1;1A  . Vậy 2 1 1: 4 2 1 x y z       . Ví dụ 2. (Bài toán 2) Cho điểm  3;1;2A  và hai đường thẳng 1 2 2 3: 13 4 x y zd      , 2 1 4 3 1 2: 1 x y zd      . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thởi cắt cả 1d và 2d . Giải Đường thẳng 1d chứa điểm  1 2; 2;3M  và nhận  1 3;4;1u   làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng 2d chứa điểm  2 3;1; 2M  và nhận  2 1;1;4u   làm véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng  1;A d và  2;A d . Mặt phẳng  1;A d có véc-tơ pháp tuyến  1 1 1, 7; 8;11n AM u         . Mặt phẳng  2;A d có véc-tơ pháp tuyến  2 2 2, 4; 20;6n AM u        cùng phương với véc-tơ  2; 10;3m   . Vậy đường thẳng  có véc-tơ chỉ phương là  1, 86;43;86u n m       cùng phương với véc-tơ  2;1;2 .  còn đi qua điểm  3;1;2A  nên BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 3 1 2: 2 1 2 x y z      . Ví dụ 3. (Bài toán 3) [ĐHB04] Cho điểm  4; 2;4A   và đường thẳng 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t           . Viết phương trình đường thẳng  cắt và vuông góc với đường thẳng d . Giải Giả sử  cắt d tại điểm M . M thuộc d nên tọa độ có dạng  3 2 ;1 ; 1 4M t t t     , véc-tơ AM  có tọa độ là  2 1; 3;4 5AM t t t     . Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d khi và chỉ khi véc-tơ AM  vuông góc với véc-tơ chỉ phương  2; 1;4u   của đường thẳng d , tức là . 0u AM          2 2 1 3 4 4 5 0t t t        1t  . Suy ra  3;2; 1AM   và 4 4 : 2 2 4 x t y t z t            . Ví dụ 4. (Bài toán 4) Viết phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng 1 1 : 2 2 3 x t d y t z t        và 1 1 ' : 3 2 ' 1 x t d y t z        . Giải Các đường thằng 1d , 2d có véc-tơ chỉ phương lần lượt là  1 1;2;3u   ,  2 1; 2;0u   . Giả sử  cắt 1d , 2d lần lượt tại A , B . Tọa độ của A , B có dạng  1 ;2 2 ;3A t t t  ,  1 ';3 2 ';1B t t  .  là đường vuông góc chung của 1d , 2d khi và chỉ khi 1 2 . 0 . 0 u AB u AB                    1 ' 2 2 2 ' 1 3 3 1 0 1 ' 2 2 2 ' 1 0 t t t t t t t t t                  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 Giải hệ trên ta được 1 3 t  , 1' 15 t  . Suy ra 2 8; ;1 3 3 A     , 2 1; ;0 5 5 AB       . AB  cùng phương với  2;1;0u  . Vậy 2 2 3 8: 1 3 1 x t y z            . Ví dụ 5. (Bài toán 5) Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng 1 5: 3 1 1 x y zd     và cắt cả hai đường thẳng 1 1 : 3 2 2 x t d y t z t         và 2 1 ' : 7 2 ' 4 x t d y t z        . Giải Giả sử  cắt các đường thẳng 1d , 2d lần lượt tại các điểm A , B suy ra tọa độ hai điểm này có dạng  1 ; 3 2 ;2A t t t   ,  1 ';7 2 '; 4B t t  . Đường thẳng  song song với đường thẳng d nên véc-tơ  ' ; 2 ' 2 10;4 2AB t t t t t      cùng phương với véc-tơ chỉ phương  3; 1;1u   . Do đó ' 2 ' 2 10 4 2 3 1 1 t t t t t        . Hệ điều kiện nói trên tương đương với ' 6 ' 2 7 t t t t      . Giải hệ nói trên ta được ' 5t  , 1t  . Từ đây suy ra  0; 1;2A  . Dễ thấy A d nên đường thẳng  tồn tại. Đường thẳng  đi qua A và nhận u  làm véc-tơ chỉ phương nên 1 2: 3 1 1 x y z      . Ví dụ 6. (Bài toán 6) Viết phương trình đường  nằm trong mặt phẳng   : 2 0P y z  và cắt cả hai đường thẳng 1 1 : 4 x t d y t z t       , 2 2 : 4 2 1 x s d y s z        . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 Giải Gọi A , B lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng 1d , 2d với mặt phẳng  P . Điểm A thuộc 1d nên tọa độ có dạng  1 ; ;4A t t t . A còn thuộc mặt phẳng  P nên 2.4 0t t  , suy ra 0t  ,  1;0;0A . Tương tự như vậy, điểm B có tọa độ dạng  2 ;4 2 ;1B s s  , B thuộc mặt phẳng  P nên 4 2 2.1 0s   , suy ra 3s   ,  5; 2;1B  . Vậy 1: 5 2 1 x y z     . Ví dụ 7. (Bài toán 7) Cho mặt phẳng   : 2 2 9 0P x y z    và đường thẳng 1 3 3: 1 2 1 x y zd      . 1) Tìm giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng  P . 2) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , nằm trong mặt phẳng  P và vuông góc với đường thẳng d . Giải 1) Phương trình tham số của đường thẳng d là 1 : 3 2 3 x t d y t z t          . Điểm A thuộc đường thẳng d nên tọa độ A có dạng  1 ; 3 2 ;3A t t t    . Điểm A còn thuộc mặt phẳng  P nên      2 1 3 2 2 3 9 0t t t        . Giải phương trình này ta được 1t  . Vậy  0; 1;4A  . 2) Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P ,  P có véc-tơ pháp tuyến  2;1; 2n   . Suy ra  2;1; 2n   là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 Lại có đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d , d có véc-tơ chỉ phương  1;2;1u   . Suy ra  2;1; 2n   là một véc-tơ pháp tuyến của  . Vậy  có véc-tơ pháp tuyến  , 5;0;5v n u       cùng phương với  ' 1;0;1v   . Do đó : 1 4 x t y z t         . Ví dụ 8. (Bài toán 8) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   : 7 4 0P x y z   và cắt cả hai đường thẳng 1 1 2: 2 1 1 x y zd     và 2 1 2 : 1 3 x t d y t z         . Giải Phương trình tham số của đường thẳng 1d là 1 2 : 1 2 x s d y s z s         . Gọi A , B lần lượt là giao điểm của  với 1d , 2d suy ra tọa độ A , B có dạng  2 ;1 ; 2A s s s   ,  1 2 ;1 ;3B t t   và  2 2 1; ; 5AB t s t s s      . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P nên AB  cùng phương với véc-tơ pháp tuyến  7;1; 4n   của  P , tức là 2 2 1 5 7 1 4 t s t s s         5 9 1 4 3 5 t s t s         1 2 s t     . Suy ra  2;0; 1A  ,  7; 1;4AB    . Vậy 1 1: 7 1 4 x y z      . Ví dụ 9. (Bài toán 9) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  3;2; 4A  song song mặt phẳng   : 3 2 3 7 0P x y z    và cắt đường thẳng 2 4 1: 3 2 2 x y zd      . Giải Ký hiệu  ; ;f x y z là vế trái của phương trình tổng quát của mặt phẳng  P . Vì   0f A  nên  A P . Do đó đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu bài toán tồn tại duy nhất. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 Đường thẳng d có phương trình tham số là 2 3 : 4 2 1 2 x t d y t z t          . Giả sử đường thẳng  cắt đường thẳng d tại điểm B . Vì B thuộc đường thẳng d nên tọa độ B có dạng  2 3 ; 4 2 ;1 2B t t t    , suy ra  3 1; 2 6;2 5AB t t t     . Đường thẳng  song song với mặt phẳng  P nên véc-tơ  3 1; 2 6;2 5AB t t t     vuông góc với véc-tơ  3; 2; 3n    của mặt phẳng  P , suy ra      3 3 1 2 2 6 3 2 5 0t t t        6 7 t  . Suy ra 11 54 47; ; 7 7 7 AB       , AB  cùng phương với  11; 54;47u   . Vậy 3 2 4: 11 54 47 x y z       . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18  Bài tập Bài 1. (Bài toán 1) Cho đường thẳng 1d là giao tuyến của hai mặt phẳng   : 2 0P x y z   ,   : 1 0Q x y   và 2 2 : 1 1 2 x t d y t z t         . Viết phương trình đường thẳng  qua  1;2; 3M  và vuông góc với hai đường thẳng 1d , 2d . Đáp số: 1 : 2 3 y t y t z          . Bài 2. (Bài toán 2) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  1; 1;1A  và cắt cả hai đường thẳng 1 1 2 : 3 x t d y t z t        , 2 1 2: 1 2 1 x y zd     . Đáp số: 1 1 1: 6 1 7 x y z       . Bài 3. (Bài toán 3) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  4; 2;4A   cắt và vuông góc với đường thẳng 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t           . Đáp số: 4 2 4: 3 2 1 x y z       . Bài 4. (Bài toán 3) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  1;2;3A , vuông góc với đường thẳng 1 2 2 3: 2 1 1 x y zd      và cắt đường thẳng 2 1 1 2: 1 2 1 x y zd      . Đáp số: 1 2 3: 1 3 5 x y z        . Bài 5. (Bài toán 3) [ĐHD06] Cho điểm  1;2;3A và hai đường thẳng 1 2 2 3: 2 1 1 x y zd      , 2 1 1 1: 1 2 1 x y zd      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 1) Tìm tọa độ điểm 'A đối xứng với điểm A qua đường thẳng 1d . 2) Viết phương trình đường thẳng  qua A , vuông góc với 1d và cắt 2d . Bài 6. (Bài toán 4) Viết phương trình đường vuông góc chung  của hai đường thẳng 1 2 : 2 2 x t d y t z t        , 1 2 2 ' : 8 2 ' ' x t d y t z t          . Bài 7. (Bài toán 7) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm  1;1; 2A  song song với mặt phẳng   : 1 0P x y z    và vuông góc với đường thẳng 1 1 2: 2 1 3 x y xd     . Đáp số: 1 1 2: 2 1 3 x y z      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20 Loại 3. Một số bài toán về góc Ví dụ 1. Cho mặt phẳng   : 5 0P x y z    và đường thẳng 2: 1 2 2 x y z    . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm  3; 1;1A  , nằm trong mặt phẳng  P và tạo với  P góc 45 . Đáp số: 3 : 1 1 x t d y t z         hoặc 3 7 : 1 18 1 15 x t d y t z t          . Ví dụ 2. Cho mặt phẳng   : 2 2 2 0P x y z    và đường thẳng : 1 2 2 x t y t z t           . Lập phương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng  và tạo với  P một góc nhỏ nhất. Đáp số:   : 3 0Q x y z    . Ví dụ 3. Cho đường thẳng 1d là giao tuyến của hai mặt phẳng 2 0x y   và 2 0y z   . 2d là đường thẳng có phương trình 2 2 3 5: 2 1 1 x y zd      . Viết phương trình mặt phẳng chứa 1d và tạo với 2d góc 60  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 21 Loại 4. Một số bài toán về khoảng cách Ví dụ 1. Cho điểm  1;2;1A và đường thẳng   1 3: 3 4 1 x y zd    . 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d . 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d . Đáp số: 1)   :15 11 8 0P x y z    . 2)   4022, 26 d A d  . Ví dụ 2. [ĐHD10] Cho hai đường thẳng 1 3 : x t y t z t        và 2 2 1: 2 1 2 x y z     . Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1. Đáp số:  4;1;1M hoặc  7;4;4M . Ví dụ 3. [ĐHA09] Cho mặt phẳng   : 2 2 1 0P x y z    và hai đường thẳng 1 1 9: 1 1 6 x y z     , 2 1 3 1: 2 1 2 x y z       . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P bằng nhau. Đáp số:  0;1; 3M  hoặc 18 53 3; ; 35 35 35 M      . Ví dụ 4. [ĐHB09] Cho mặt phẳng   : 2 2 5 0P x y z    và hai điểm  3