Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương trình logarit

1 Phương trình logarit A. Tóm tắt lý thuyết Phương trình logarit cơ bản  Với 0 1a  , ta có:           log log 0a a f x g x f x g x f x     .  Với 0 1a  , b , ta có:    log ba f x b f x a   . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình    3 21 3 3 log 2 2 log 2 2 0 x x x       .  1 Giải Ta có  1     3 23 3log 2 2 log 2 2 x x x        3 22 2 2 2 2 2 0 x x x x          3 22 2 2 4 0 1 x x x x          2x  . Ví dụ 2. Giải phương trình   2 2 11 log 1 3log 24 3log 2log x     .  1 Giải Ta có  1   2 21 log 1 3log 232log x       2 21 log 1 3log 13log x       2 21 log 1 3log 3x     2 2log 1 3log 2x   21 3log 4x   2log 1x   2x  . Ví dụ 3. Giải phương trình 3 4 5log log logx x x  .  1 Giải Ta có  1  3 4 3 5 3log log 3 log log 3 log 0x x x       4 5 31 log 3 log 3 log 0x    3log 0x   1x  . Ví dụ 4. Giải phương trình 2lg 1 3lg 1 lg 1 2x x x      .  1 Giải Điều kiện: 2 1 0 1 0 1 0 x x x           1 1x   . Ta có 2  1  lg 1 3lg 1 lg 1 lg 1 2x x x x         lg 1 1x   1 10x   1 100x   99x   (không thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 5. Giải phương trình  lg 1 2 lg 5 lg 6xx x    .  1 ĐS: 1. Giải Ta có  1   lg10 lg 1 2 lg 5 lg 6x x x        lg 10 1 2 lg 6 5x x x       10 1 2 6 5x x x    20 10 6 5 0x x x    . Chia hai vế của phương trình nói trên cho 5x , ta được phương trình tương đương 4 2 6 0x x     22 2 6 0x x    2 2x   1x  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1x  . Ví dụ 6. Giải phương trình  2log 4 4 3x x x   .  1 Giải Điều kiện: 2 0 1 4 4 0 x x x        2 2 2 1x    .  1     2 3log 4 4 logx xx x x    2 34 4x x x    3 2 4 4 0x x x     2 ( ) 2 1 loaïi (thoûa maõn) (loaïi) x x x       . Vậy  1 có nghiệm duy nhất 1x  . Ví dụ 7. Giải phương trình    2 2log 3 1 .log 2.3 2 2x x   .  1 Giải Ta có  1     2 2log 3 1 . 1 log 3 1 2x x      . Đặt  2log 3 1xt   , phương trình nói trên trở thành  1 2t t   2 2 0t t    2 1 t t     . Thay các giá trị tìm được của t vào phương trình  2log 3 1xt   , ta được 3     2 2 log 3 1 2 log 3 1 1 x x          13 1 4 3 1 2 x x        53 4 3 3 x x      3 5log 4 1 x x     . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 3 5log ;1 4       . Ví dụ 8. Giải phương trình    29 3 32 log log .log 2 1 1x x x   .  1 Giải Điều kiện: 0x  . Ta có  1   23 3 31 log log .log 2 1 12 x x x     3 3 3log log 2 log 2 1 1 0x x x         3 3 3 log 0 log 2log 2 1 1 x x x          2 1 2 1 1 2 x x x        .  2  2 2 2 2 1x x x     2 2 1 2x x      24 2 1 4 4x x x     2 4 0x x     0 ( ) 4 loaïi thoûa maõn x x    . Vậy tập nghiệm của  1 là  1; 4 . Ví dụ 9. Giải phương trình 2log 2 2 2 xx    .  1 Giải Vì 2log x và 2 x là các hàm đồng biến nên vế trái của  1 là hàm đồng biến. Do đó, phương trình này có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy 1x  là một nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x  . C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1)    22 1 2 log 1 log 1x x   . ĐS: 1 5 2  . 2) 2cos coslog 4.log 2 1x x  . ĐS: 23 k   , k  . 3)    2 32 2log 1 2log 1x x x    . ĐS: 0 . 4)      3 21log 8 log 58 log 4 4 2 x x x x      . ĐS: 9 . 5)      2 3 31 1 1 4 4 4 3 log 2 3 log 4 log 6 2 x x x      . ĐS: 1 217 2   . 6)        2 2 4 2 4 22 2 2 2log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x           . ĐS: 0 , 1 . 4 7)    2 22 2 2log 3 2 log 7 12 3 log 3x x x x       . ĐS: 5 , 0 . 8) 2 3 4log log log logx x x x   . ĐS: 1. 9)  log 6 3x x   . ĐS: 2 . 10) 3 2 3log 2 1 x x        . ĐS: 3 . 11)    2 34 82log 1 2 log 4 log 4x x x      . ĐS: 2 . 12)      15 5 51 log 3 log 3 3 log 11.3 9x xx      . ĐS: 0 , 2 . Bài 2. Giải các phương trình sau 1)      2 2 22 3 6log 1 .log 1 log 1 x x x x x x       . 2)      2 2 2 2 2lg 1 5 lg 1 5 0x x x x      . ĐS: 0 , 99999 . 3)    2 22 2log 1 log 2 0x x x x       . ĐS: 2 . 4)    2 22 23 log 4 5 2 5 log 4 5 6 x x x x        . 5) 22 2log log 1 1x x   . 6)    15 25log 5 1 .log 5 5 1x x   . 7)      2log 4 1 31 8 1xx x     . 8)    2 2log 5 1 .log 2.5 2 2x x   . 9) 2 2log log 33 6x x  . 10) 2 2log 2 log 4 3 x x  . 11)  2 22 2log 2 1 log 2 6 5 0x x x x x      . Bài 3. Giải các phương trình sau 1) 21 log x 3 1 2 x    . 2)    422 2log x x log 8 x 2      . 3)  22 2log 5 log 2 6 0x x x x     . 4)  6log2 6log x 3 log xx  . 5)  12log2 xx  . 6)    4 2 225log 2 2 log 2 3x x x x     . 7) 2 2log log 52 3 xx x  . 5 8)  23 3log 4 log 3 0x x x x     . 9)    2log 6 log 2 4x x x x      . 10)  5log 32 x x  . 11)    3 2log 2 log 1x x   . 12)  3 2log log 1x x  . 13)    2 22 32 2 3log 2 2 log 2 3x x x x      . 14)  32 7log 1 logx x  . 15)  846 42 log logx x x  . 16)  7 3log log 2x x  . 17)        23 33 log 2 4 2 log 2 16 0x x x x       . 6