Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương trình số mũ

1 Phương trình mũ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hàm số mũ  Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng xy a , trong đó hằng số a thỏa mãn 0 1a  được gọi là cơ số.  Tập xác định và tập giá trị: +) Tập xác đinh:  ; +) Tập giá trị:  0; .  Sự biến thiên: hàm xy a đồng biến khi 1a  , nghịch biến khi 0 1a  .  Đồ thị: 1 y=ax (0<a<1) O x y 1 y=ax (a>1) O x y  Tính chất: +) Với mọi 0 1a  , x , y , 2,3,n   ta có: x y x ya a a   ; x x y y a a a  ;  yx xya a ; x n x na a . +) Với mọi 0 a , 1b  , x , ta có:  xx xa b ab ; xx x a a b b       . 2. Phương trình mũ cơ bản  Với 0 1a  , ta có    f x g xa a     f x g x .  Với 0 1a  , 0b  , ta có  f xa b    logaf x b . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [TN09] Giải phương trình 25 6.5 5 0x x   .  1 Ta thấy  25 25x x . Do đó, nếu đặt 5xt  thì 0t  và 225x t . Phương trình  1 trở thành 2 6 5 0t t    1 5 t t    . Thay t vào phương trình 5xt  , ta được 2 5 1 5 5 x x      0 1 t t    . Vậy tập nghiệm của  1 là  0,1 . Ví dụ 2. Giải phương trình    7 48 7 48 14 x x     .  1 Giải Ta thấy      7 48 7 48 7 48 7 48 1 1 x x x x         . Do đó nếu đặt  7 48 x t   thì 0t  và   17 48 x t   . Khi đó,  1 trở thành 1 14t t    2 14 1 0t t    7 48 7 48 t t       . Thay t vào phương trình  7 48 x t   , ta được     7 48 7 48 7 48 7 48 x x                 1 2 2 7 48 7 48 7 48 7 48 x x           2x   . Vậy tập nghiệm của  1 là  2 . Ví dụ 3. Giải phương trình 14 6 18 9 0x x x     .  1 Giải Chia hai vế của  1 cho 9x , ta được phương trình tương đương 4 24 18 0 9 3 x x               . Đặt 2 3 x t       , suy ra 0t  và 24 9 x t      . Phương trình đã cho trở thành 24 18 0t t    2 9 4 t t       . Giá trị 2t   không thỏa mãn điều kiện 0t  . Thay giá trị còn lại của t vào phương trình 2 3 x t       , ta được 2 9 3 4 x        22 2 3 3 x              2x   . 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2x   . Ví dụ 4. Giải phương trình 3 1 31 18 8 3 2 125 24 2 2 x x x x                .  1 Giải Ta có  1  3 3 1 18 2 24 2 125 2 2 x x x x                          Đặt 12 2 x xt        , suy ra 12 2 2 2 x xt        và 3 3 3 3 3 31 1 1 12 2 3 2 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x xt t                                             3 3 312 3 2 x x t t       . Với phép đặt ẩn phụ như thế, phương trình đã cho trở thành  38 3 24 125t t t    5 2 t  (thỏa mãn). Thay giá trị tìm được của t vào phương trình 12 2 x xt        , ta có 1 52 2 2 x x       .  2 Lại đặt 2xu  , suy ra 0t  và  2 trở thành 1 5 2 u u    22 5 2 0u u    2 1 2 u u      . Thay các giá trị tìm được của u trở lại phương trình 2xu  , ta được 2 2 12 2 x x        1 1 x x     . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là  1 . Ví dụ 5. Giải phương trình 6 3 3 2 3 0x x x     .  1 Giải Ta có  1     3 2 1 3 2 1 0x x x       3 3 2 1 0x x    3 3 2 1 x x      1 0 x x    . 4 Ví dụ 6. Giải phương trình 2 21 1 1 22 2 2 8 0x x x x        .  1 Giải Ta có  1     2 12 2 2 4 2 2 0x x x        2 12 4 2 2 0x x     2 12 4 0 2 2 0 x x         2 1 2 1 x x       3 1 x x      . Ví dụ 7. Giải phương trình 23 8 6 x x x  .  1 Giải Lấy lô-ga cơ số 3 hai vế của phương trình ta được 3 3 3 log 2 1 log 2 2 xx x          3 32 3 log 2 1 log 2 2x x x x         2 3 31 2 log 2 2 1 log 2 0x x       2 32 log 2 3    3 1 2 log 2 2 x x      . Ví dụ 8. Giải phương trình 3 4 5x x x  .  1 Giải Chia hai vế của phương trình cho 5x , ta được phương trình tương đương 3 4 1 5 5 x x             .  2 Ta thấy 30 5  , 4 1 5  nên   3 4 5 5 x x f x             là hàm nghịch biến. Do đó, phương trình  2 có nhiều nhất một nghiệm. Lại có  2 1f  , suy ra  2 có nghiệm duy nhất 2x  . Vậy  1 có nghiệm duy nhất 2x  . Ví dụ 9. Giải phương trình      24 15 4 15 2 2x x x    . Giải Ta thấy  22 2 8x x . Chia hai vế của phương trình cho 8x , ta được phương trình tương đương 4 15 4 15 1 8 8 x x                  .  2 5 Ta thấy 4 150 8   , 4 15 1 8   nên   4 15 4 15 8 8 x x f x                  là hàm nghịch biến. Do đó, phương trình  2 có nhiều nhất một nghiệm. Lại có  1 1f  , suy ra  2 có nghiệm duy nhất 1x  . Vậy  1 có nghiệm duy nhất 1x  . Ví dụ 10. Giải phương trình    2 23 25 3 10 5 3 0x xx x      .  1 ( 2 , 52 log 3 ) Giải Đặt 25xt  , suy ra 0t  và phương trình  1 trở thành  23 3 10 3 0t x t x     (  23 8x   )  3 1 3 t x t        . Thay 3t x   vào phương trình 25xt  , ta có phương trình 25 3x x    .  2 Ta thấy vế trái của phương trình  2 là hàm đồng biến, còn vế phải là hàm nghịch biến. Do đó,  2 có tối đa một nghiệm. Dễ thấy 2x  là nghiệm của  2 . Vậy  2 có nghiệm duy nhất 2x  . Thay 1 3 t  vào phương trình 25xt  , ta được 2 15 3 x   52 log 3x     52 log 3x   . Vậy tập nghiệm của phương trình  1 là  52;2 log 3 . 6 C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình 1) [TN11] 2 17 8.7 1 0x x    . ĐS: 0 , 1 . 2) 1 14 6.2 8 0x x    . ĐS: 0 , 1. 3) 8 2.4 2 2 0x x x     . ĐS: 0 . 4) 4.9 12 3.16 0x x x   . ĐS: 1. 5) 2 1 13 4.3 27 0x x    . ĐS: vô nghiệm. 6) 3.25 2.49 5.35x x x  . ĐS: 0 , 7 5 3 2log . 7) 1 13 3 10x x   . ĐS: 1 . 8) 23 3 10x x  . ĐS: 0 , 2 . 9) 2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x    . ĐS: 2 . 10) 2 1 23 3 108x x   . ĐS: 2 . 11) 3.4 2.6 9x x x  . ĐS: 0 . 12) 64 8 56 0x x   . ĐS: 1. 13) 4 3.2 2 0x x   . ĐS: 0 , 1. 14) 23 3 8 0x x    . ĐS: 0 . 15) 19 3 4 0x x   . ĐS: 3log 4 . 16) 2 1 32 2 64 0x x    . ĐS: 3 . 17) 6.9 13.6 6.4 0x x x   . ĐS: 1 . 18) [A06]3.8 4.12 18 2.27 0x x x x    . 19) [D03] 2 222 2 3x x x x    . 20) 2 24.3 9.2 5.6x x x  . 21) 2 24.3 9.2 5.6x x x  . 22) 2.4 6 9 0x x x   . 23) 4 2.6 3.9 0x x x   . 24) 8 18 2.27x x x  . 25) 3 1125 50 2x x x  . 26)    2 3 2 3 4x x    . 27)    1 2 2. 2 1 3x x    . ĐS: 0 , 1 2log 2 . 28)    7 4 3 3. 2 3 2 0x x     7 29) [B07]    2 1 2 1 2 2 0x x     . ĐS: 1 . 30)     coscos 7 4 3 7 4 3 4 xx     . 31)     35 21 7. 5 21 2x x x    32)    2 3 2 3 2 x x x    . 33) 2 2sin cos9 9 10x x  . 34) 2 2sin cos4 2 2 2x x   35) 2 3. 2 17 11x x   . 36) 2 2sin cos81 81 30x x  . 37) 2 2sin cos4.2 2 6x x  . Bài 2. Giải các phương trình 1) 6 3 3.2 3 0x x x    ĐS: 0 , 1. 2) 14 2 4.7 4 0x x x    . ĐS: 0 , 2 . 3) 1 16 3 2 6 0x x x     . ĐS: 2log 3 , 3log 2 . 4) 6 8.3 5.2 40 0x x x    . ĐS: 3 . 5)  3 92 22.3 18 0x x x    . ĐS: 1 , 2 . 6) 12 8 6 4 0x x x x    . ĐS: 0 . 7) 2 21 1 1 22 2 2 8 0x x x x        . ĐS: 3 , 1. 8) 2 25 6 1 6 52 2 2.2 1x x x x      . ĐS: 1 , 2 , 3 . Bài 3. Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số 1) 2 3 2x x  . ĐS: 0 . 2) 2 3 5x x  . ĐS: 1. 3) 2 125 10 2x x x  . ĐS: 0 . 4) 24.3 9.2 5.6 xx x  ĐS: 4 . 5) 3 1125 50 2x x x  ĐS: 0 . 6)   2 212 2 1 x x x x    ĐS: 1. 7) 21 8 3 x x  . ĐS: 2 . 8)  2 3 23 3 10 3 3 0x xx x      . ĐS: 1, 2 . 9) 2 1x x  . ĐS: 0 ,1. 10) 3 5 6 2x x x   . ĐS: 0 ,1. 8 11) 2 3 3 2x x x   . ĐS: 0 ,1.