Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương trình về mặt phẳng

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Phương trình mặt phẳng Loại 1. Tích có hướng của hai véc-tơ A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: cho  u x;y;z ,  v x';y ';z ' tích có hướng của u  và v  là véc-tơ:     y z z x x y u, v ; ; yz ' y 'z;zx' z 'x;xy ' x'y y z z x x y                 . * Tính chất: 1) Tích có hướng vuông góc với các véc-tơ thành phần:  u, v u   ,  u, v v   . 2) Độ dài của tích có hướng:    u, v u . v .sin u, v      . * Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng 1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ: u v    u, v 0   . Hệ quả: bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng  AB, AC .AD 0       . 2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ: u  , v  , w  đồng phẳng  u, v .w 0       . Chú ý: biểu thức u, v .w      được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ u  , v  , w  . * Ứng dụng 2: tính diện tích, thể tích 1) Diện tích hình bình hành ABCD : AB, AS D    . 2) Diện tích hình tam giác ABC : 1S AB, AC 2       . 3) Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : V AB, AD .AA'       . Thể tích khối tứ diện ABCD : 1V AC, AB .AD 6        . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ C. Bài tập Bài 1. Cho  a 2;3;1  ,  b 5;7;0  ,  c 3; 2;4  . Chứng minh a  , b  , c  không đồng phẳng. Hãy biểu diễn  d 4;12;3  qua a  , b  , c  . Bài 2. Cho  A 1;2; 3 ,  B 2;4;7 ,  C 0;2; 4 . 1) Tìm ràng buộc giữa x , y , z để    M x;y;z ABC . 2) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Hãy tính diện tích của hình bình hành đó. 3) Gọi n  và véc-tơ vuông góc với  mp ABC và có độ dài bằng 1 . Hãy xác định tọa độ của n  . Bài 3. Cho tứ diện A , B , C , D với  A 2;3;1 ,  B 1;1; 2 ,  C 2;1;0 ,  D 0; 1;2 . 1) Tính ABCDV . 2) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện. 3) Xác định tọa độ của H . Đáp số: 1. 73 . 2. 14 2 . 3.  2;3;1 . Bài 4. Cho  A 0;1;1 ,  B 1;0;2 ,  C 1;1;0 ,  D 2;1; 2 . 1) Chứng minh A , B , C , D không đồng phẳng. 2) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó. 3) Tính góc CBD và góc giữa các đường thẳng AB và CD . Tính thể tích của tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Loại 2. Phương trình mặt phẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Véc-tơ chỉ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng * Véc-tơ pháp tuyến: Véc-tơ n 0   được gọi là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P nếu n  có giá vuông góc với  P . Ký hiệu  n P  hoặc  P n  . Chú ý: +) Mọi véc-tơ khác 0  , cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng đều là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:  1 2 2 1 n P n 0 n n               2n P  . +) Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng luôn cùng phương với nhau:     1 2 n P n P        1 2n n    . * Véc-tơ chỉ phương: Véc-tơ u 0   được gọi là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng  P nếu u  có giá song song hoặc nằm trên  P . Ký hiệu  u P   hoặc  P u   . Chú ý: +) Mọi véc-tơ khác 0  , cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng đều là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:  1 2 2 1 u P u 0 u u               2u P   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 +) Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với nhau. * Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng: +) Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vuông góc với nhau     n P u P         n u   . +) Véc-tơ khác 0  , vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy.  n P u 0 u n              u P   . +) Véc-tơ khác 0  , vuông góc với véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng không chắc là là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Tuy nhiên, một véc-tơ khác 0  , vuông góc với hai véc-tơ chỉ phương không cùng phương của một mặt phẳng thì là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy.     1 2 1 2 n 0 u P u P n u n u                       n P  . Từ đây suy ra: tích có hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:     1 2 u P u P          1 2u ,u P      . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 * Bài toán: lập phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  0 0 0 0M x ;y ;z , nhận véc-tơ  n A;B;C  làm véc-tơ pháp tuyến. Lời giải: Xét điểm  M x;y;z . Ta có  0 0 0 0M M x x ;y y ;z z     .  M P  0n M M    0n.M M         0 0 0A x x B y y C z z 0      . Vậy        0 0 0P : A x x B y y C z z 0      hay  P : Ax By Cz D 0    ( 0 0 0D Ax By Cz    ). Kết luận: +) Mỗi mặt phẳng trong không gian đều có phương trình dạng: Ax By Cz D 0     * ( 2 2 2A B C 0   ). Phương trình  * được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. +) Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình Ax By Cz D 0    ( 2 2 2A B C 0   ) là phương trình của một mặt phẳng. 3. Một số dạng đặc biệt của phương trình mặt phẳng * Phương trình mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ: +)  P Ox  phương trình của  P có dạng x m . Đặc biệt Oyz : x 0 . +)  P Oy  phương trình của  P có dạng y m . Đặc biệt Ozx : y 0 . +)  P Oz  phương trình của  P có dạng z m . Đặc biệt Oxy : z 0 . * Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục tọa độ: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 +)  P song song hoặc chứa Ox  phương trình của  P có dạng By Cz D 0   ( 2 2B C 0  ). +)  P song song hoặc chứa Oy  phương trình của  P có dạng Ax Cz D 0   ( 2 2A C 0  ). +)  P song song hoặc chứa Oz  phương trình của  P có dạng Ax By D 0   ( 2 2A B 0  ). * Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ:  P đi qua gốc tọa độ  phương trình của  P có dạng Ax By Cz 0   ( 2 2 2A B C 0   ). * Phương trình dạng mặt chắn:  P đi qua  A a;0;0 ,  B 0;b;0 ,  C 0;0;c (a , b , c 0 )    yx z a b cP : 1   . 4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   : Ax By Cz D 0     và  ' : A'x B'y C'z D' 0     . * Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C ,  A';B';C' không tỷ lệ, tức là không tồn tại t sao cho A tA' B tB' C tC'      . * Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C ,  A';B';C' tỷ lệ và hai bộ số  A;B;C;D ,  A';B';C';D' không tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho A tA' B tB' C tC' D tD'        . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 * Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C;D ,  A';B';C';D' tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho A tA' B tB' C tC' D tD'        . 5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng * Cho điểm  0 0 0A x y ;z; và mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0    . Ta có   0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A, P A B C          . * Hệ quả: cho hai mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0    và  Q :Ax By Cz D' 0    . Ta có     2 2 2 D D' d P , Q A B C        . 6. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   1 1 1 1P : A x B y C z D 0    và   2 2 2 2Q : A x B y C z D 0    .  Gọi 1n  , 2n  lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của các mặt phẳng  P và  Q . Góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q bằng góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến nếu góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến nhỏ hơn hoặc bằng 90 và bù với góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến nếu góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến lớn hơn 90              neáu neáu 1 2 1 2 1 2 1 2 n ,n n ,n 90 P , Q 180 n ,n n ,n 90                  .  Điều kiện để góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q bằng  ( 0 90    ) là  1 2cos n ,n cos    BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8     P , Q    1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A A B B C C cos A B C A B C          . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 2;0; 4 và nhận  n 2; 3;6  là véc-tơ pháp tuyến. Giải Ta có         quaP A 2;0;4 P n 2; 3;6            P : 2 x 2 3y 6 z 4 0       P : 2x 3x 6z 20 0    . Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 2;2;3 và vuông góc với đường thẳng BC , trong đó  B 2;10; 7 ,  C 5;9; 12 . Giải Ta có         quaP A 2;0;4 P BC 3; 1; 5             P : 3 x 2 y 5 z 4 0       P : 3x y 5z 14 0    . Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 1;4;6 và vuông góc với trục Oz . Giải Ta có          ñi qua P Oz P k 0;0;1 P A 1;4;6          P : z 6 0  Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  M 2;5;7 và song song với  Q : 3x 2y z 1 0    . Giải Ký hiệu  f x;y;z là vế phải của phương trình mặt phẳng  Q . Ta thấy  f M 3.2 2.5 7 1 2 0        M Q  qua M tồn tại mặt phẳng  P song song với  Q . Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10         P Q Q n 3; 2;1              laïi coù ñi qua P n 3; 2;1 P M 2;5;7                P : 3 x 2 2 y 5 z 7 0        P : 3x 2y z 3 0    . Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng  P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với  A 3;1; 4 ,  B 3;0; 5  . Giải I là trung điểm của AB  A B I A B I A B I x xx 0 2 y y 1y 2 2 z z 9z 2 2               1 9I 0; ; 2 2       .  P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB          quaP I P AB 6; 1; 1 6;1;1              1 9P : 6 x 0 y z 0 2 2                    P : 6x y z 4 0    . Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 4;2;5 và nhận  1u 7;4;1  và  2u 1;4; 4  là các véc-tơ chỉ phương. Giải Ta có  P nhận 1u  , 2u  là véc-tơ chỉ phương nên  P nhận 1 2n u ,u       làm véc-tơ pháp tuyến. n  1 2u ,u      4 1 1 7 7 4 ; ; 4 4 4 1 1 4         BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11  20;29;24  . Vậy         quaP A 4;2;5 P n 20;29;24               P : 20 x 4 29 y 2 24 z 5 0         P : 20x 29y 24z 258 0    . Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 4;2;5 ,  B 3; 3;2 và nhận  u 4; 1;9  là véc-tơ chỉ phương. Giải  P đi qua  A 4;2;5 ,  B 3; 3;2     P AB 7; 5; 3    . Lại có u  cũng là một véc-tơ chỉ phương của  P   P n  AB,u      .   5 3 3 7 7 5 n ; ; 48; 75;13 1 9 9 4 4 1               . Vậy         quaP A 4;2;5 P n 48; 75;13                P : 48 x 4 75 y 2 13 z 5 0         P : 48x 75y 13z 107 0    . Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  12A 4; 2; ,  B 2; 1;0 và song song với Ox . Giải  P đi qua  12A 4; 2; ,  B 2; 1;0     1P AB 2;1; u 4; 2;1 2                 P u 4; 2;1   .  1  P Ox     P i 1;0;0   .  2 Từ  1 và  2 suy ra  P n u;i        . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 Ta có   2 1 1 4 4 2 n ; ; 0;1;2 0 0 0 1 1 0          . Vậy         quaP B 2; 1;0 P n 0;1;2          P : y 1 2z 0     P : y 2z 1 0   . Ví dụ 9. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 2;4;6 ,  B 1; 1;9 và vuông góc với  Q : 2x z 0  . Giải  P đi qua  A 2;4;6 ,  B 1; 1;9     P AB 1; 5;3    .  1        Q P Q Q n 2;0; 1           QP n 2;0; 1   .  2 Từ  1 ,  2 suy ra   QP n AB,n        . Ta có     5 3 3 1 1 5 n ; ; 5;5;10 1;1;2 0 1 1 2 2 0              . Vậy         quaP A 2;4;6 P 1;1;2            P : x 2 y 4 2 z 6 0        P : x y 2z 18 0    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 Ví dụ 10. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 1; 2;4 và vuông góc với các mặt phẳng  Q : x 2y 3z 7 0    và  R : 3x 4z 0  . Giải        Q P Q Q n 1; 2;3           QP n 1; 2;3   .  1 Tương tự    RP n 3;0; 4   .  2 Từ  1 và  2 suy ra   Q RP n n ,n        . Ta có   2 3 3 1 1 2 n ; ; 8;13;6 0 4 4 3 3 0           . Vậy         quaP A 1; 2;4 P n 8;13;6              P : 8 x 1 13 y 2 26 z 4 0        P : 8x 13y 26z 86 0    . Ví dụ 11. Viết phương trình mặt phẳng  P qua ba điểm  A 1;2;3 ,  B 1;2; 3  ,   C 0 ; 2;1 . Giải  P qua ba điểm  A 1;2;3 ,  B 1;2; 3  ,   C 0 ; 2;1              1 2 P AB 2;0; 6 u 1;0;3 P AC 1; 4; 2 u 1;4;2                         1 2 P u 1;0;3 P u 1;4;2           1 2P n u ,u        . Ta có     0 3 3 1 1 0 n ; ; 12;1;4 12; 1; 4 4 2 2 1 1 4             . Vậy BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14         quaP A 1;2;3 P 12; 1; 4              P :12 x 1 y 2 4 z 3 0        P :12x y 4z 2 0    . Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng  P qua  A 0;6; 5 và giao tuyến với của hai mặt phẳng  Q : 3x 2y z 0   và  R : x y z – 2 0   . Giải Cách 1: Xét hệ gồm các phương trình mặt phẳng  Q và  R 3x 2y z 0 x y z 2 0         .  1 Từ  1 cho x 0  2y z 0 y z 2        2y 3 4z 3         2 4B 0; ; P 3 3       . Từ  1 cho y 0  3x z 0 x z 2       x 4 z 6         C 1;0;3 P  .  P qua ba điểm  A 0;6; 5 , 2 4B 0; ; 3 3       ,  C 1;0;3            1 2 16 19P AB 0; ; u 0;16; 19 3 3 P AC 1; 6;8 u 1;6; 8                              1 2 P u 0;16; 19 P u 1;6; 8            1 2P n u ,u        . Ta có     16 19 19 0 0 16 n ; ; 14; 19; 16 14;19;16 6 8 8 1 1 6               . Vậy BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15         quaP C 1;0;3 P 14;19;16           P :14 x 1 19y 16 z 3 0       P :14x 19y 16z 34 0    . Cách 2:  P là mặt phẳng đi qua giao tuyến của  Q và  R nên phương trình  P có dạng      P : m 3x 2y z n x y z – 2 0      , với 2 2m n 0  .  P đi qua  A 0;6; 5     m 3.0 2.6 5 n 0 6 5 – 2 0               17m n 0    17m n 0  .  1 Từ  1 , cho m 1  n 17        P : 3x 2y z 17 x y z – 2 0        P : 14x 19y 16z 34 0       P :14x 19y 16z 34 0    . Chú ý. Giả sử   1 1 1 1P : A x B y C z D 0    và   2 2 2 2Q : A x B y C z D 0    là hai mặt phẳng cắt nhau. Khi đó phương trình mọi mặt phẳng chứa giao tuyến  của  P và  Q có dạng      1 1 1 1 2 2 2 2R : m A x B y C z D n A x B y C z D 0        , với 2 2m n 0  . (phương trình chùm mặt phẳng chứa  ) Việc sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng đặc biệt hiệu quả trong bài toán viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng. Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  A 4;9;11 và chứa Ox . Giải Ox là giao của hai mặt phẳng xOy : z 0 và xOz : y 0 .  P chứa Ox  phương trình  P có dạng  P : my nz 0  , với 2 2m n 0  .j  P đi qua A  9m 11n 0  . Từ đây, chọn m 11  n 9  . Do đó  P :11y 9z 0  . Ví dụ 14. Cho  A 1;2;3 và  P : x 2y z 14 0    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 1) Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên  P . 2) Tìm tọa độ A' đối xứng với A qua  P . Giải 1)  H P  tọa độ H có dạng  0 0 0 0H x ;y ;2x y 14  . Ta có    P n 1;2; 1   ,  0 0 0 0AH x 1;y 2;2x y 17       0 0 0 0 0 0n, AH 4x 3y 36; 3x y 18; 2x y             . H là hình chiếu của A lên  P  n AH     n, AH 0        0 0 0 0 0 0 4x 3y 36 0 3x y 18 0 2x y 0             0 0 18x 5 36y 5       . Vậy 18 36 2H ; ; 5 5 5       . 2) A' đối xứng với A qua  P  A' đối xứng với A qua H  A' H A A' H A A' H A 31x 2x x 5 62y 2y y 5 11z 2z z 5                . Vậy 31 62 11A' ; ; 5 5 5       . Ví dụ 15. [B08] Cho  A 0;1;2 ,  B 2; 2;1 ,  C 2;0;1 . 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C . 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  Q : 2x 2y z 3 0    sao cho MA MB MC  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 Giải 1)  P qua ba điểm  A 0;1;2 ,  B 2; 2;1 ,  C 2;0;1          P AB 2; 3; 1 P AC 2; 1; 1              P n AB, AC        . Ta có     3 1 1 2 2 3 n ; ; 2;4; 8 1;2; 4 1 1 1 2 2 1                    . Vậy         quaP A 0;1;2 P 1;2; 4           P : x 2 y 1 4 z 2 0       P : x 2y 4z 6 0    . 2) Giả sử  0 0 0M x ;y ;z .  M Q  0 0 02x 2y z 3   .  1 MA MB  2 2MA MB             2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 00 x 1 y 2 z 2 x 2 y 1 z             0 0 02x 3y z 2   .  2  2 2MB MC             2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 x 2 y 1 z 2 x 0 y 1 z              0 02x y 1  .  3 Giải hệ  1 ,  2 ,  3 ta được 0x 2 , 0y 3 , 0z 7    M 2;3; 7 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 Ví dụ 16. [A11] Cho  A 2;0;1 ,  B 0; 2;3 và  P : 2x y z 4 0    . Tìm  M P sao cho biết MA MB 3  . Giải  M P  tọa độ M có dạng  0 0 0 0M x ;y ;2x y 4  . MA 3  2MA 9       2 2 20 0 0 02 x 0 y 1 2x y 4 9        .  1 MB 3  2MB 9       2 2 20 0 0 00 x 2 y 3 2x y 4 9         .  2 Trừ từng vế  1 và  2 ta được      0 0 0 02 2 2x 2 2 2y 2 4 4x 2y 8 0          0 0x 2y 2  .  3 Thay  3 vào  1 ta được    2 220 0 04 2y y 1 3y 9      20 07y 11y 4 0    0 0 y 1 4y 7      . +) 0y 1  0x 0   M 0;1;3 . +) 0 4y 7   0 6x 7    6 4 12M ; ; 7 7 7       . Ví dụ 17. [B12] Cho  A 0;0;3 ,  M 1;2;0 . Viết phương trình mặt phẳng  P qua A và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại B , C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM . Giải B Ox  tọa độ B có dạng  B b;0;0 , C Oy  tọa độ C có dạng  C 0;c;0 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 G là trọng tâm tam giác ABC  A B C G A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3 z z z z 3              b cG ; ;1 3 3       . Ta có  AM 1;2; 3  , b cAG ; ; 2 3 3        . G thuộc đường thẳng AM  AG AM     k : AG kAM             b1 k. 1 3 ck : 2 k. 2 3 3 k. 2 3            . Từ  3 suy ra 3k 2  . Thay 3k 2  vào  1 và  2 ta được b 2 , c 4   B 2;0;0 ,  C 0;4;0 .    x y xP : 1 2 4 3    . Ví dụ 18. Tìm trên trục hoành những điểm cách đều điểm  A 4;2;3 và mặt phẳng  P : x 3y 2z 17 0    . Giải Gọi M là điểm cần tìm. Vì M thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng  M m;0;0 . Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng  P khi và chỉ khi  2 m 17 m 4 4 9 1 9 4        , hay  2 m 17 m 4 13 14     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20 Bình phương hai vế, rút gọn phương trình trên ta được 2m 6m 9 0   , phương trình này có nghiệm duy nhất m 3 . Vậy  M 3;0;0 . Ví dụ 19. [B09] Cho tứ diện ABCD có các đỉnh  A 1;2;1 ,  B 2;1;3 ,  C 2; 1;1 và  D 0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A , B sao cho khoảng cách từ C đến  P bằng khoảng cách từ D đến  P . Giải Cách 1: Giả sử  P : Ax By Cz D 0    , với 2 2 2A B C 0   .  P đi qua  A 1;2;1  A 2B C D 0    .  1  P đi qua  B 2;1;3  2A B 3C D 0     .  2 Từ  1 và  2 , ta tính được C , D theo A , B 3 1C A B 2 2 5 5D A B 2 2             3 1 5 5P : Ax By A B z A B 0 2 2 2 2                         P : 2Ax 2By 3A B z 5 A B 0      .                  2 2 2 2 2 2 4A 2B 3A B 5 A B 2A 6B d C; P 2A 2B 3A B 2A 2B 3A B                  ,                  2 2 2 2 2 2 6B 3A B 5 A B 2A 2B d D; P 2A 2B 3A B 2A 2B 3A B                 .    d C; P d D; P        2A 6B 2A 2B    A 3B A B    A 3B A B A 3B B A        BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 21  B 0 A 2B    . +) Trường hợp 1: B 0  3C A 2 5D A 2           3 5P : Ax Az A 0 2 2      P : 2x 3z 5 0   . +) Trường hợp 2: A 2B  7C B 2 15D B 2           7 15P : 2Bx By Bz B 0 2 2       P : 4x 2y 7z 15 0    . Cách 2: Mặt phẳng  P thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau đây. +) Trường hợp 1:  P CD . Khi đó             1 2 P AB 3; 1;2 u 3;1; 2 P CD 2;4;0 u 1; 2;0                      1 2P n u ,u 4; 2; 7 4;2;7            . Như vậy         quaP A 1;2;1 P 4;2;7             P : 4 x 1 2 y 2 7 z 1 0        P : 4x 2y 7z 15 0  