Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Quan hệ vuông góc trong không gian

Quan hệ vuông góc trong không gian Mục lục A. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................................................1 B. Các dạng toán quan trọng ....................................................................................................3 Dạng 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ..............................3  Phương pháp giải toán ...................................................................................................3  Một số ví dụ ..................................................................................................................4  Bài tập ..........................................................................................................................9 Dạng 2. Hai mặt phẳng vuông góc ............................................................................................. 11  Phương pháp giải toán ................................................................................................. 11  Một số ví dụ ................................................................................................................ 11  Bài tập ........................................................................................................................ 14 Dạng 3. Góc .............................................................................................................................. 16  Một số ví dụ ................................................................................................................ 16  Bài tập ........................................................................................................................ 19 Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, su vuong goc BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 A. Tóm tắt lý thuyết 1. Các khái niệm cơ bản  Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc +) Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc giữa hai đường thẳng 1' và 2' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với 1 và 2 . +) Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng +) Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. +) Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P thì ta nói góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P bằng 90 . Trong trường hợp đường thẳng  không vuông góc với mặt phẳng  P thì góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng  với hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng  P .  Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc +) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. +) Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 . 2. Các định lý quan trọng  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng  P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P .  Định lý ba đường vuông góc. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P và đường thẳng b nằm trong  P . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hính chiếu 'a của a lên  P .  Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2  Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong  P , vuông góc với giao tuyến của  P và  Q đều vuông góc với mặt phẳng  Q . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 B. Các dạng toán quan trọng Dạng 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Phương pháp giải toán  Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có các cách làm như sau: +) Phương pháp 1. Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia:     a P b P     a b . +) Phương pháp 2 (Sử dụng định lý ba đường vuông góc). Giả sử đường thẳng 'a là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a lên  P , b là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P . Khi đó a b  'a b . +) Phương pháp 3(Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc). ' ' b b a b      a b .  Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể làm như sau: +) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4     vaø caét nhau a b a c b c b P c P             a P . +) Phương pháp 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc):       a Q Q P       a P ,   ' ' a a a P       a P .  Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy. Biết đáy ABC là tam giác vuông tại B . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SC . Chứng minh MN AB . Giải *  SA ABC ,  BC ABC  BC SA  1 . Mặt khác theo giả thiết: BC AB  2 . Từ  1 ,  2 suy ra:  BC SAB  BC SB , nói cách khác SBC vuông tại B 12NB SC   3 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). *  SA ABC ,  AC ABC  AC SA , nói cách khác SAC vuông tại A 12NA SC   4 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). * Từ (3), (4) suy ra NA NB  NAB cân tại N nên trung tuyến MN đồng thời là đường cao  MN AB (ĐPCM). N M A C B S BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác cân tại C , ABD là tam giác cân tại D . Chứng minh AB CD . Giải Gọi M là trung điểm của AB . DAB cân tại D nên trung tuyến DM đồng thời là đường cao  AB MD  1 . Tương tự như thế, ta cũng chứng minh được AB MC  2 . Từ  1 ,  2 suy ra  AB DMC , lại có  DC DMC . Từ đó suy ra AB CD (ĐPCM). Ví dụ 3. [ĐHD07] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông ( / /AD BC ), BA BC a  , 2AD a , SA vuông góc với đáy. Chứng minh SCD là tam giác vuông. Giải Ta thấy AC là hình chiếu của SC lên  ABCD . Lại có  CD ABCD nên: CD SC  CD AC (Định lý ba đường vuông góc). Lấy M là trung điểm của AD . Dễ thấy tứ giác ABCM là hình vuông 2ADCM AB a     ACM vuông tại C , nói cách khác: CD AC (ĐPCM). Ví dụ 4. [CĐABD09] Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SD , BC . Chứng minh MN SP . Giải M D A C B a a 2a M S A B C D BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Ta có / / / /MN AD BC / /MN BC  1 . Mặt khác: ABC cân tại S nên trung tuyến SP đồng thời là đường cao SP BC   2 . Từ  1 ,  2 suy ra SP MN (ĐPCM). Ví dụ 5. [ĐHA07] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông. Mặt bên SAD là tam giác cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , P lần lượt là trung điểm của SB , CD . Chứng minh AM BP . Giải Lấy N , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD . * Ta có: MN là đường trung bình của BSC  / /MN SC (1). Hơn nữa: tứ giác ANCQ là hình bình hành  / /AN CQ (2) . Từ (1), (2) suy ra    / /AMN CQS (3). * SQ là trung tuyến của tam giác cân SAD  SQ AD . Mặt khác: AD là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc  SAD và  ABCD nên  SQ ABCD . Lại có  BP ABCD . Từ đó suy ra BP SQ (4). BCP CDQ   (c.g.c)   CBP DCQ . Đặt I BP CQ  . Ta có        180 180 90CIP DCQ BPC CBP BPC BCP           BP CQ (5). Từ (4), (5) suy ra:  BP CQS (6). * Từ (3), (6) suy ra:  BP AMN , hơn nữa  MA AMN  PB MA (ĐPCM). P NM I S A B C D IN M Q P B C D A S BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Ví dụ 6. [ĐHD02] Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCD A B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của 1BB , CD , 1 1A D . Chứng minh 1MP C N . Giải * Ta thấy  1 1 1DDPD C C  1D là hình chiếu vuông góc của P lên  1 1DDC C (1). Gọi Q là trung điểm của 1CC  1 1DDMQ C C  . Do đó: Q là hình chiếu vuông góc của M lên 1CC (2). Từ (1), (2) suy ra 1QD là hình chiếu vuông góc của MP lên  1 1DDC C (3). * Lại có 1 1 1NCC QC D   (c.g.c)  1 1 1CC N C D Q . Đặt 1 1I NC QD  . Ta có        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1180 180 90QIC CC N D QC C D Q D QC QC D           1 1C N QD (4). * Từ (3), (4) suy ra 1C N MP (ĐPCM). Ví dụ 7. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng H là trực tâm ABC khi và chỉ khi  OH ABC . Giải Đặt M AH BC  , N BH CA  . * Phần thuận: giả sử H là trực tâm ABC . Từ giả thiết của phần thuận suy ra BC AM (1). Từ giả thiết của bài toán: OA OB , OA OC ( )OA mp OBC  , lại có ( )BC mp OBC , từ đây suy ra BC OA (2). Từ (1), (2) suy ra ( )BC mp OAM , lại có ( )OH mp OAM , từ đây suy ra OH BC (3). Một cách tương tự, ta cũng có OH CA (4). Từ (3), (4) suy ra ( )OH mp ABC . * Phần đảo: giả sử ( )OH mp ABC (5). Gọi 'H là trực tâm của ABC . Từ chứng minh phần thuận ta có ' ( )OH mp ABC (6). Từ (5), (6) suy ra 'H H hay H là trực tâm của ABC . I Q P N M A D CB A1 D1 C1B1 O A C B MHN BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 Ví dụ 8. Cho tứ diện OABC có OA OB , gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( )ABC . Chứng minh H là trực tâm của ABC khi và chỉ khi ( )OC OAB . Giải Đặt M AH BC  . * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm ABC . Từ giả thiết này, ta có BC AM (1). Từ ( )OH mp ABC , ( )BC mp ABC suy ra BC OH (2). Từ (1), (2) suy ra ( )BC mp OAM , mà ( )OA mp OAM . Từ đó suy ra OA BC (3). Theo giả thiết thì OA OB (4). Từ (3), (4) suy ra ( )OA mp OBC , lại có ( )OC mp OBC . Từ đây suy ra OA OC (5) . Một cách tương tự, ta cũng chỉ ra được OA OB (6). Từ (5), (6) suy ra ( )OA mp OBC . * Phần đảo: giải thiết  OA OBC . Theo bài 3 thì H là trực tâm ABC . Ví dụ 9. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại A , O là trực tâm của ABC , ( )SA mp ABC , ( )H mp SBC . Chứng minh H là trực tâm SBC khi và chỉ khi ( )OH mp SBC . Giải * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm SBC . Đặt M CO AB  , N CH SB  . Từ giả thiết suy ra: CN SB , CM AB . Gọi P là trung điêm của BC . Vì ABC đều, SBC cân tại S nên SH và AO đều đi qua P . Vì AP và SP lần lượt là SP là các đường cao của các tam giác ABC và SBC nên AP và SP đều vuông góc với BC . Từ đó suy ra ( )BC mp SAP . Lại có: ( )OH mp SAP . Từ đó suy ra OH BC (1). AB là hình chiếu của SB lên ( )mp ABC . Lại có: ( )MC mp ABC , MC AB . Từ đó suy ra: MC SB hay O A C B MH O M P S A B C HN BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 SB MC (2). Lại có: SB NC (3). Từ (2), (3) suy ra: ( )SB mp CMN OH SB  (4). Từ (3), (4) suy ra ( )OH mp SBC . * Phần đảo: giải thiết ( )OH mp SBC . Gọi 'H là trực tâm SBC . Từ phần thuận suy ra ' ( )OH mp SBC . Từ đó suy ra 'H H . Vậy H là trực tâm ABC .  Bài tập Bài 1. Cho hình chóp .S ABC có AB AC ,  SAC SAB . Chứng minh SA BC . Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có 6 2 aSA  và các cạnh còn lại đều bằng a ( 0a  ). Gọi I là trung điểm BC . Chứng minh  SI ABC . Bài 3. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 8AB a , 6CD a , 5MN a ( 0a  ). Chứng minh AB CD . Bài 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông tâm O ,  SA ABCD và SA AB . Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD . Chứng minh  OM AHD . Bài 5. [ĐHB12] Cho hình chóp tam giác đều .S ABC với 2SA a , AB a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC . Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng  ABH . Bài 6. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC . Gọi I là trung điểm BC . 1) Chứng minh BC AD . 2) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI . Chứng minh  AH BCD . Bài 7. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông tại B . 1) Chứng minh BC SB 2) Từ A lần lượt kẻ hai đường cao AH , AK của các tam giác SAB và SAC . Chứng minh  AH SBC và   SC AHK . Bài 8. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD . Chứng minh 1)  SO ABCD . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 2) AC SD . Bài 9. Cho tứ diện ABCD có AB CD , AC BD . Gọi H là trực tâm BCD . Chứng minh 1)  AH BCD . 2) AD BC . Bài 10. Hình chóp .S ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh: 1)  BC SAM . 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SM . Chứng minh AH SB . Bài 11. Cho hình chóp .O ABC có cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a   . Kí hiệu K , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA . Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng  OMN . 1) Chứng minh rằng CE vuông góc với mặt phẳng  OMN . 2) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a . Bài 12. Cho hình chóp .S ABCD , đáy là hình vuông cạnh bằng a . Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . 1) Tính các cạnh của tam giác SIJ theo a . Chứng minh rằng SI vuông góc với mặt phẳng  SCD và SJ vuông với mặt phẳng  SAB . 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ . Chứng minh rằng SH vuông góc với AC . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 Dạng 2. Hai mặt phẳng vuông góc  Phương pháp giải toán Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau đây:  Sử dụng định nghĩa: chứng minh một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.  Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng: chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 .  Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có mặt ACD và BCD là các tam giác đều cạnh a . Biết 6 2 aAB  , chứng minh    ACD BCD . Giải Lấy E là trung điểm của CD . AE là trung tuyến của tam giác cân ACD nên đồng thời là đường cao, do đó: CD AE (1). Tương tự, ta cũng chứng minh được CD BE (2). Từ (1), (2) suy ra: góc giữa hai mặt phẳng  ACD và  BCD chính là góc AEB . Ta thấy    22 22 2 3 632 2 22 a aaAE BE    .  AEB vuông tại E   90AEB   (ĐPCM). Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC . Chứng minh    SAC AHK . Giải D A E C B BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 * Theo giả thiết thì SC AK (1). * Ta chứng minh SC HK : Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có 2 2 . . SH SB SA SK SC SA      . .SH SB SK SC . Từ đây suy ra HKBC là tứ giác nội tiếp (2). Lại có: CB AB (giả thiết), CB SA (do  SA ABC )   SB SAB  CB SB (3). Từ (2), (3) suy ra SC HK (4). Từ (3), (4) suy ra  SC AHK     SAC AHK (ĐPCM). Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB a , 2AD a , SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD . Chứng minh    SAC SMB . Giải Đặt I AC BD  . Áp dụng định lý Pitago, tính được: 3AC a , 6 2 aBM  . Vì hai tam giác IAM và ICB đồng dạng nên IA IC IA IC AC AM BC AM BC AM BC       2 2 2 2 . 3. 3 32 a a aAM AC aIA AM BC a       . Tương tự: 62 2 2 2 2 .. 6 62 aa a AM BM aIM AM BC a      . S A B C H K a a a 2 I M S B A D C BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 Ta có: 2 2 2 2 2 23 6 2 3 6 2 a a aIA IM AM                             IAM vuông tại I hay BM AC (1). Lại có ( )SA mp ABCD , ( )BM mp ABCD  BM SA (2). Từ (1), (2) suy ra ( )BM mp SAC  ( ) ( )mp SMB mp SAC (ĐPCM). Ví dụ 4. [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng  AMN vuông góc với mặt phẳng  SBC . Giải * Lấy I là trung điểm của BC . ABC đều  AI BC , SBC cân  SI BC . Từ đó suy ra  BC SAI  1 . Lại có MN BC  2 . Từ  1 ,  2 suy ra  MN SAI  MN SI MN AJ    ( J SI MN  )   ,SI AJ chính là góc giữa hai mặt phẳng  AMN và  SBC   90AJI   . * Dễ thấy J là trung điểm của SI  SAI cân tại A  32 aSA AI  . Lại có 32 3 3 aAH AI  . Do đó 2 2 156aSH SA AH   . Vậy   33 15 51 1 1. 3 3 2 2 6 24. . .a aS ABC ABCV S AH a a   Ví dụ 5. [ĐHA03] Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có các đáy là hình vuông cạnh a , AA ' b , M là trung điểm của 'CC . Xác định tỷ số a b sao cho    'A BD MBD . Giải J M N H I C B A S BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 Đặt I AC BD  . Ta thấy 'A BD cân tại A nên trung tuyến 'A I đồng thời là đường cao. Như vậy 'A I BD (1). Tương tự ta cũng chứng minh được MI BD (2). Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng  'A BD và  MBD chính là góc giữa hai đường thẳng 'A I và MI . Áp dụng định lý Pitago, ta tính được: 2 2 2' 2 4 bA M a  , 2 2 2' 2 aA I b  , 2 2 2 2' 2 4 a bMI A I   . Thành thử    'A BD MBD  ' 90A IM    2 2 2' 'A M A I MI   2 2 2 2 2 22 4 2 2 4 b a a ba b                  1a b  .  Bài tập Bài 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD là các tam giác cân tại S . Chứng minh    SAC SBD . Bài 2. Hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy. 1) Chứng minh    SAB SBC . 2) Gọi M là trung điểm AC . Chứng minh    SAC SBM . Bài 3. Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . Biết AC AD BC BD a    và 2CD x . Xác định x theo a sao cho    ABC ABD . Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC , D là điểm đối xứng của A qua I . Dựng đoạn 6 2 aSD  vuông góc với  ABC . Chứng minh 1)    SAB SAC . 2)    SBC SAD . Bài 5. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. b a a M I A' A D' C' B' B D C BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 1) Chứng minh    SBC SAC . 2) Gọi I là trung điểm của SC . Chứng minh    ABI SBC . Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính diện tích tam giác AMN theo a biết rằng mặt phẳng  AMN vuông góc với mặt phẳng  SBC . Bài 7. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a . Chứng minh    ' ' 'ACC A A BD . Bài 8. Hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi nào    ' ' ' 'AA C C BB D D . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 Dạng 3. Góc  Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHA08] Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB a , 3AC a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh 'A lên mặt phẳng  ABC là trung điểm của BC . Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng 'AA và ' 'B C . Giải Vì ' 'AA BB và ' 'B C BC nên góc giữa hai đường thẳng 'AA và ' 'B C chính là góc 'B BH . Xét tam giác 'B BH , ta có +) ' ' 2BB AA a  . +) 2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 BH BC AB AC a a a      . +) Tam giác 'A AH vuông tại H nên 2 2' ' 3A H AA AH a   . Tam giác ' 'A B H vuông tại 'A nên 2 2 2 2' ' ' ' 3 2B H A B A H a a a     . Do đó  2 2 2 2 2 2' ' 4 4 1cos ' 2 ' 2 2 4 BB BH B H a a aB BH BB BH a a           . Vậy cô-sin của góc giữa hai đường thẳng 'AA và ' 'B C bằng 1 4 . Ví dụ 2. [ĐHA04] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5 , 4AC  và chiều cao của hình chóp là 2 2SO  , ở đây O là giao điểm của AC và BD . Gọi M là trung điểm của SC . Tìm góc giữa hai đường thẳng SA và BM . Giải 2a a 3 a C' B' H A C B A' BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 Ta thấy MO SA  góc giữa hai đường thẳng SA và BM chính là góc BMO . Ta thấy BD OC BD SO     BD OM  tam giác MBO vuông tại O . Ta có 2 2 2 5 4 1OB AB OA      1OB  , 2 2 8 4 3 2 2 2 SA SO AOOM      . Suy ra  1tan 3 OBBMO OM     30BMO   . Vậy góc giữa hai đường thẳng SA và BM bằng 30 . Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a , 3SB a và mặt phẳng  SAB vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , BC . Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN . Giải Từ giả thiết về độ dài các đoạn thẳng SA , SB và AB suy ra tam giác SAB vuông tại S . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S lên AB , suy ra  SH ABCD và 2 2 SA aAH AB   , 3 2 SA SB aSH AB    , 3 2 aBH AB AH   . Dựng ME DN , E AD . Ta có góc giữa hai đường thẳng SM và DN chính là góc SME . Ta tính các cạnh của tam giác SEM : +) SM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của tam giác vuông SAB nên 1 2 SM AB a  . 2 2 4 5 M O D BA C S E N M H AD C B S BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 +) Hai tam giác AEM và CND đồng dạng nên 1 2 AE AM CN CD    1 2 2 aEA CN  . Tam giác SHE vuông tại H nên 2 2 2 2 2 2 3 5 4 2 4 a a aSE SH EH      5 2 aSE  . +) 2 2 2 2 5 4 aEM AE AM    5 2 aEM  . Suy ra  2 2 2 2 2 2 5 5 54 4cos 2 552 2 a aaSM EM SESME SM SE aa           . Do đó cô-sin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN bằng 5 5 . Ví dụ 4. [ĐHA03] Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D . Tìm góc giữa hai mặt phẳng  'A BC và  'D AC . Giải Ví dụ 5. Cho hình chóp .S ABC có SA h và vuông góc với đáy. Biết tam giác ABC vuông tại C ,  60CAB   và 2AB a . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB và  SBC theo a và h . Xác định h theo a để góc giữa hai mặt phẳng nói trên bằng 60 . Giải JI D' DA B C C'B' A' BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19  Bài tập Bài 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA cũng có độ dài bằng a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của đoạn SA , hãy tính góc giữa đường thẳng SB và DM . Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA BC a  , SA a và vuông góc với đáy. Gọi M , N là trung điểm AB và AC . 1) Tính cô-sin của góc giữa các mặt phẳng  SAC và  SBC . 2) Tính cô-sin của góc giữa các mặt phẳng  SMN và  SBC . S A B C