Giáo án lớp 12 môn Đại số - Số phức các phép toán trên số phức

SÄÚ PHÆÏC CAÏC PHEÏP TOAÏN TRÃN SÄÚ PHÆÏC TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Số phức là số có dạng: z = a + bi ( a, b R; i2 = -1) Trong đó: a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của z. z là số thực phần ảo của z bằng 0 z là số ảophần thực của z bằng 0. Tập hợp các số phức kí hiệu là C. 2. Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di 3. Biểu diễn hình học của số phức: Số phức z = a + bi với được biểu diễn bởi điểm hay bởi vectơ trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức). 4. Cộng, trừ số phức: a) Số đối của số phức: z = a + bi Þ – z = – a – bi. b) Cộng trừ hai số phức:Với mọi , ta có 5. Nhân hai số phức: 6. Môđun của số phức: a) Định nghĩa: z = a + bi Þ b) Tính chất: (i), " và (ii) , " 7. Số phức liên hợp: a) Định nghĩa: z = a + bi Û b) Tính chất :: 8. Chia hai số phức a) Số phức nghịch đảo: b) Chia hai số phức: c) Tính chất: và (z’ ¹ 0) BÀI TẬP MINH HỌA: Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a) b) Giải Ta có nên z có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 1. Ta có nên z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 4. Ví dụ 2: Tìm các số thực x và y, biết (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i. Giải Ta có Ví dụ 3: Tính , biết a) b) z = (3+ i)(4 – 3i) c) Giải a) b) |z| = |3 + i|.|4 – 3i| = c) Ví dụ 4: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: và phần thực của z thuộc đoạn. Giải Gọi z = x + yi. Ta có: Vậy Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn bài toán là phần giới hạn bởi hình tròn x2 + y2 £ 1 nằm giữa hai đường thẳng x = 1/2 và x = -1/2. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) 5 - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i) b) (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) Giải 5 - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i) (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Giải Giả sử z = a + bi và z’ = c + di. Khi đó : Ta có Vậy: . Tương tự Vậy: Ví dụ 7: Rút gọn: a) b) Giải Ta có: Vậy: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm nghịch đảo của số phức sau: -1 + 4i b) c) Bài 2. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) b) c) (1 + i)2010 d) Bài 3. Thực hiện các phép tính: (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) Bài 4.Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2x + 1 + ( 1 – 2y)i = 2 – x + ( 3y – 2)i 4x + 3 + ( 3y – 2)i = y + 1 + ( x – 3)i Bài 5. Xác định các số thực x, y biết rằng: a) b) Bài 6: Xác định các số thực x, y biết rằng a) b) c) Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) b) c) Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số phức z có phần thực và phần ảo khác 0 ta có: a) là số ảo b) là số thực c) là số thực dương và là số ảo d) là số thực. Bài 9. Tìm các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng phức: |z – 1 + i| = 3 và . |z – (3 – 4i)| = 2 , . |z – 1| £ 3 và |z – 1| ³ 1 | z | < 3 và Bài 10. Tìm số phức z biết : a) và z là số ảo. b) | z | = 5 và . c) |z| = 2 và |z – 1| = |z – 2| d) và Bài 11. Tìm số phức z biết : a) b) c) Bài 12. Cho số phức z = (2m + 1) + (m - 1)i. Xác định m để | z| nhỏ nhất. Bài 13: Xác định m để số phức: có mô đun nhỏ nhất Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình Bài 15: Cho hai số phức z1 = 2m + 1 – mi và z2 = 3m + (2m – 1)i . Xác định m để: | z1 | = | z2 | | z1 + z2 | = m + 5 3|z1.z2| = 4(m2 – m) Bài 16: Cho hai số phức: z1 = 3n + m + 2(m – 4n)i z2 = 2m – n + (2m + n)2i . Xác định m, n để z1 = z2. www.toantrunghoc.edu.vn CÀN BÁÛC HAI CUÍA SÄÚ PHÆÏC PHÆÅNG TRÇNH BÁÛC HAI VÅÏI HÃÛ SÄÚ PHÆÏC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Căn bậc hai của số phức + Định nghĩa: z là một căn bậc hai của số phức w + Cách tìm các căn bậc hai của số phức w = a + bi: Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w, khi đó: (x + yi)2 = a + bi Û x2 - y2 + 2xyi = a + bi Û (*) Bằng cách giải hệ phương trình (*), ta sẽ xác định được x, y. Từ đó ta có các căn bậc hai của w. + Đặc biệt: Các căn bậc hai của số thực a < 0 là . 2. Phương trình bậc hai: Xét phương trình bậc hai với Đặt + Nếu thì phương trình có một nghiệm kép (thực) . + Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt với d là một căn bậc hai của D. Đặc biệt: + Nếu thì phương trình có hai nghiệm thực . + Nếu thì phương trình có hai nghiệm phức . B. BÀI TẬP MINH HỌA: Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của số phức z = 3 – 4i Giải: Gọi w = x + yi là căn bậc hai của z, khi đó: (x + yi)2 = 3 - 4i Û x2 - y2 + 2xyi = 3 - 4i Vậy các căn bậc hai của số phức z là: w = 2 + i và w = -2 - i Ví dụ 2: Giải phương trình Giải Ta có Þ Phương trình có hai nghiệm phức Ví dụ 3. (Định lý Viet) Cho z, z’ là hai nghiệm của phương trình với ; . Chứng minh rằng: Giải Đặt . Phương trình luôn có hai nghiệm là: Ta có: C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 8 – 6i b) - 1 + c) d) Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) b) c) d) (iz)2 – (1+ 2i)z + 2i + 2 = 0 e) f) z4 + z3 – 4z2 + z + 1 = 0 Bài 3. Biết z và z’ là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính: a) b) c) d) Bài 4. Giải hệ phương trình phức sau: a) b) Bài 5: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức, khác số thực của phương trình: z3 – 3z2 + 11z – 9 = 0 Tính giá trị biểu thức: Bài 5: Gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình: z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị biểu thức |z1|2 + |z2|2. Bài 6. Cho phương trình z2 – 2(m + i)z + m2 + (2m + 4)i - 4 = 0 (z Î C) Xác định tham số thực m để |z1| + |z2| = 6. Xác định tham số thực m để nhỏ nhất. Bài 7: Biết rằng z1, z2 là nghiệm của phương trình phức sau: z2 – 6z + 25 = 0 Tính giá trị các biểu thức: A = B = www.toantrunghoc.edu.vn DAÛNG LÆÅÜNG GIAÏC CUÍA SÄÚ PHÆÏC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Acgumen của số phức: Định nghĩa: Gọi M là biểu diễn của số phức z, khi đó góc lượng giác j = (Ox, OM) được gọi là acgumen của số phức z. Cách tìm một acgumen j của số phức z = a + bi: + Tính mô đun của z: + j là một nghiệm của hệ: Nhận xét: Hai số phức z và z’ có cùng acgumen Û z = k z’ (k > 0). 2. Biểu diễn lượng giác của số phức z = a + bi: Biểu diễn lượng giác của số phức z = a + bi là: z = r( cosj + isinj ) trong đó và j là một acgumen của số phức z. Chú ý: Nếu r = 0 thì ta nói z có dạng lượng giác không xác định. 3. Nhân hai, chia hai số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r(cosj + isinj) và z’ = r’(cosj’ + isinj’). Khi đó zz’ = r r’[cos(j + j) + isin(j + j’)] 4. Công thức Moa-vrơ: Với n N*, ta có: [ r(cosj + isinj)]n = rn(cosnj + isinnj) Hệ quả: Các căn bậc hai của số phức r(cosj + isinj) là: và B. BÀI TẬP MINH HỌA: Ví dụ 1. Viết dưới dạng lượng giác số phức sau: a) z = 1 + i b) z = 1 - i Giải: Ta có r = , một agumen j của z phải thỏa mãn Lấy j = thì ta có dạng lượng giác của số phức z là z = (cos + isin) b) Ta có r = , một agumen j của z phải thỏa mãn: Lấy j = thì ta có dạng lượng giác của số phức z là: z = 2[cos() + isin()]. Ví dụ 2. Cho z = 1 + i và z’ = 1 - i. a) Tìm z5 + z’5. b) Tìm Giải: a) Ta có: · z = 1 + i = (cos + isin) Þ z5 = [(cos + isin)]5 = 4(cos + isin) = - 4(cos + isin) · z’ = 1 - i = (cos - isin) nên Þ z’5 = [(cos - isin)]5 = 4(cos - isin) = - 4(cos - isin) Do đó: z5 - z’5 = - 8cos = - 8. b) z = 1 + i = (cos + isin) z’ = 1 - i = [cos(-) + isin(-) ] Þ = cos + i sin = i C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm một acgumen của số phức sau: a) 2 - 2i b) cos + isin c) 1 - sinj + icosj Bài 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: a) (cos + isin)2(1+ i)6 b) c) (1 + tani)6 Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác số phức sau: a) cosj + i(1 + sinj) b) (1 + tani)6 Bài 4. Cho số phức z thoả mãn phương trình . Hãy viết z dưới dạng lượng giác. Tìm dạng lượng giác của số phức Bài 5. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là j hãy tìm một acgumen của số phức sau: a) z3 b) z2 + z c) z2 + Bài 6. Tìm n để mỗi số phức sau là số thực: a) b) Bài 7: Tính giá trị các biểu thức: a) b) www.toantrunghoc.edu.vn