Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng Mục lục Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số .................................................................3 A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................3 B. Một số ví dụ .......................................................................................................................4 C. Bài tập ............................................................................................................................. 11 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 13 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số ......................................................................... 17 A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 17 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 18 C. Bài tập ............................................................................................................................. 21 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 22 Loại 3. Ứng dụng xét phương trình ........................................................................................... 25 A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 25 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 26 C. Bài tập ............................................................................................................................. 35 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 36 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết  Định nghĩa: Cho  : ;f a b   . +) f được gọi là đồng biến trên khoảng  ;a b nếu: 1x ,  2 ;x a b , 1 2x x  . +) f được gọi là nghịch biến trên  ;a b nếu: 1x ,  2 ;x a b , 1 2x x     1 2f x f x . Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số.  Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  ;a b . Khi đó +)  ' 0f x   ;x a b   f đồng biến trên  ;a b . +)  ' 0f x   ;x a b   f nghịch biến trên  ;a b . +)  ' 0f x   ;x a b   f không đổi trên  ;a b .  Ứng dụng xét tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số  y f x , ta làm như sau: +) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. +) Bước 2: -) Tính  'f x . -) Tìm nghiệm của phương trình  ' 0f x  . -) Xét dấu của  'f x (nếu cần). +) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. +) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 23 9 2f x x x x    . Giải +) TXĐ   . +)    2 2' 3 6 9 3 2 3f x x x x x      ,  'f x có hai nghiệm là 1x   và 3x  . +) Bảng biến thiên: +∞ -∞ f x( ) f ' x( ) ++ _ 00 -25 7 +∞3-1-∞x  lim x f x    ,  lim x f x    . +) Kết luận: f đồng biến trên  ;1 và  3; , nghịch biến trên  1;3 . Chú ý. 1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n   11 1 0...n nn nf x a x a x a x a     ( *n , 0na  ). Ta có   0 lim 0 neáu neáu n x n a f x a       ,   0 0 lim 0 0 neáu , chaün neáu , leû neáu , chaün neáu , leû n n x n n a n a n f x a n a n            . 2. Một số quy tắc xét dấu: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét  g x ax b  ( 0a  ). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của  g x (quy tắc “phải cùng trái khác”): _ _ b a _ +ag x( ) 0 +∞∞x b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét   2g x ax bx c   ( 0a  , 2 4b ac   ). Ta có ba trường hợp sau đây: TH1: 0  :   0ag x  x . TH2: 0  :   0ag x  x . Dấu “” xảy ra  2bax   . TH3: 0  :  g x có hai nghiệm phân biệt 1 2x x . Ta có   0ag x   1 2x x x  ,   0ag x   1 2 x x x x    . Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của  g x trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”): +0 x2x1_ _+ag x( ) 0 +∞∞x c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa thức có dạng:        k k k1 2 n1 2 nP x a x x x x x x     , trong đó: - a 0 là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của  P x . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 - 1 2 nx x x  là các nghiệm của  P x , - 1k , , nk là các số nguyên dương, ik được gọi là bội của nghiệm ix . Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức  P x : - Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( nx ) thì  P x cùng dấu với a . -  P x không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội chẵn. d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 23 3 1f x x x x     . Giải +)  TXÑ . +)    22' 3 6 3 3 1 0f x x x x        x . Dấu “” xảy ra  1x  . +) Bảng biến thiên: 0 1 +∞ -∞ f x( ) f ' x( ) __ 0 +∞-∞x  lim x f x    ,  lim x f x    . +) Kết luận: f nghịch biến trên  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy  ' 0f x  x  và  ' 0f x   1x  , tuy nhiên f vẫn nghịch biến trên  . Tổng quát hơn, ta có: +)  ' 0f x   ;x a b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  ;a b  f đồng biến trên  ;a b . +)  ' 0f x   ;x a b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  ;a b  f đồng biến trên  ;a b . Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số   4 3 2f x 3x 4x 12x 24x 5     . Giải +)  TXÑ . +)        3 2 3 2 2f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2           . +) Bảng biến thiên: _ -7+16 2 -7-16 2 16 0 2 +∞ f x( ) f ' x( ) ++ _ 00 +∞02∞x  lim x f x    . +) Kết luận: f nghịch biến trên  ; 2  và  1; 2 , đồng biến trên  2;1 và  2; . Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số   2 3 1 2 xf x x    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 Giải +)  TXÑ 12\  . +)      7 21 2x 1 2f x \' x 0      . +) Bảng biến thiên: ∞_ +∞ _ _ 11 __ 1 2 _ f x( ) f ' x( ) +∞∞x   3 1 22 3lim lim lim 1 1 2 2 x x x x x xf x x          ,     1 2 lim x f x     ,     1 2 lim x f x     . * Kết luận: f nghịch biến trên  12; và  12 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định). Chú ý: * Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn: 2 3 2 3 3 742 3 3 5 3 4 7 0lim lim 0 3 5 1 1 x x x x x x x x x x x               (lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là 3x ). * Cách xác định các giới hạn một phía:    0 lim x x f x g x với điều kiện  0 0f x  ,  0 0g x  . +) 0a x   0 ;x x a  :  g x cùng dấu với  0f x     0 lim x x f x g x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 +) 0a x   0 ;x x a  :  g x trái dấu với  0f x     0 lim x x f x g x   . +) 0a x   0;x a x  :  g x cùng dấu với  0f x     0 lim x x f x g x   . +) 0a x   0;x a x  :  g x trái dấu với  0f x     0 lim x x f x g x   . Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số 2 1 1 x xy x     . Giải +) TXĐ  \ 1  . +)   2 2 2' 1 x xy x    . +) Bảng biến thiên: 3 -1 +∞+∞ ∞_∞_ ++ __ 210 00 _ y y' +∞∞x   2 111lim lim lim 11 1 x x x xx x xf x x x             ,   11 lim lim 11 x x x xf x x         ,   1 2 lim x f x         ,   1 2 lim x f x         . +) Kết luận: f đồng biến trên  ;0 và  2; , nghịch biến trên  0;1 và  1;2 . Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số 21y x  . Giải +) TXĐ  1;1  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 +) 2 ' 1 xy x    (  1;1x  ). +) Bảng biến thiên + _ _0 1 00 101_ y y' +∞∞x +) Kết luận: hàm số đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . Ví dụ 7. Xét sự biến thiên của hàm số 1 1y x x    . Giải +) TXĐ  1;1  . +)    2 2 1 1 1 1' 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x xy x x x x x x x                  1;1x   . +) Bảng biến thiên 2 + _ _0 2 2 101_ y y' +∞∞x +) Kết luận: hàm số đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình. Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 22 1y x x   Giải +) TXÑx  21 0x    1;1x  . Vậy  1;1TXÑ   . +) 2 2 2 2 1' 2 1 1 x x xy x x        ,  1;1x  .  1;1x   , ta có ' 0y   22 1 0x x    22 1 x x    2 5 x  . ' 0y   2 5 x  . +) Bảng biến thiên 5 2 -2 -1 + _0 1 2 5_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x +) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên  251; , nghịch biến trên  25 ;1 . C. Bài tập BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây 1) 3 2y 2x 2x x 2     . 2) 3 223y x 2x 16x 31     . 3) 3 2y x 3x 3x 5    . 4) 4 312y x x x 5    . 5) 4 3 2y 3x 22x 51x 36x 1      . 6) 5 345 8y x x    . 7) 2 x1 xy    . 8) 3x 32x 3y    . 9) 2 2 42x xxy    . 10) 1 1x x 2y   . 11) 3x2x 1 y   . 12) x 1 3 x y  . 13) y x 2 3 x    . 14) 2y x 2x 3   . 15) 2y x  . 16) 2 2y x x  . 17) 4 4y x 2 5 x    . 18) [ĐHA08] 4 42 2 2 6 2 6y x x x x      . 19) 33 44y x 3 3 x 3 4 x 3 1 x 3 1 x 4 1 x            . 20) 2 1 2y x x x     . Bài 2. Chứng minh 1) 2y x 9  đồng biến trên  3; . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 2) 4y x x   nghịch biến trên các khoảng  2;0 ,  0;2 . 3) 3 xy 2x 1    nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. 4) 22x 3xy 2x 1    đồng biến trên mỗi khoảng xác định. 5) 2y x x 8    nghịch biến trên  . 6) 2y x cos x  đồng biến trên . D. Hướng dẫn và đáp số 1) Hàm số nghịch biến trên  . 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 4  và  2; , đồng biến trên  4;2 . 3) Hàm số đồng biến trên  . 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  12 ; 2 , đồng biến trên các khoảng  121; và  2; . 5) Hàm số đồng biến trên các khoảng  12; và  3; , nghịch biến trên các khoảng  12 ; 2 và  3; . 6) Hàm số đồng biến trên các khoảng  32;  và  32 ; , nghịch biến trên  3 32 2; . Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 0 . 7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  1;  ). 8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng  32;  và  32 ; ). BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và  4; , đồng biến trên các khoảng  0;2 và  2;4 . 10) +)  \ 0;2TXÑ   . +)   2 4 1 2 ' x x x y    . +) Bảng biến thiên: +∞ +∞ ∞_∞_ 0 00 +_ +_ 0 210_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x lim 0 x y   , 0 lim x y    , 0 lim x y    , 2 lim x y    , 2 lim x y    +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và  0;1 , đồng biến trên các khoảng  1;2 và  2; . 11) +) TXÑ   . +)     2 22 3 1 1 ' x x y    . +) Bảng biến thiên: _ _ 3 2 3 2 00 _ f x( ) f ' x( ) + _00 +∞1-1∞x lim 0 x y   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  1; , đồng biến trên  1;1 . 12) +)  0;TXÑ   . +) 16' xx xy  . +) Bảng biến thiên: 3 2 +∞+∞ +_ 0 10_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x 0 lim x y    ,  1 13lim lim xx xy x     . +) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1; . 13) Hàm số nghịch biến trên  122; , đồng biến trên  12 ;3 . 13) Hàm số nghịch biến trên  ; 1  , đồng biến trên  1;  . 15) Gợi ý:  22 2y x x     22' xxy  . Hàm số nghịch biến trên  ; 2 , đồng biến trên  2; . 16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và  1;2 , đồng biến trên các khoảng  0;1 và  2; . 17) +)  2;5TXÑ  . +)    3 34 4 1 1 1 4 2 5 ' x x y        (  2;5x ). ' 0y   2 5x x    72x  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16  722;x          34 34 31 24 32 31 24 35 x x          ' 0y  , tương tự:  72 ;5x  ' 0y  . +) Bảng biến thiên: 244 344 3 5 + _0 7 22 _ f x( ) f ' x( ) +∞∞x +) Hàm số nghịch đồng trên  722; , nghịch biến trên  72 ;5 . Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17) 18) Hàm số đồng biến trên  0;2 , nghịch biến trên  2;6 . 19) Hàm số đồng biến trên  3; 1  , nghịch biến trên  1;1 . 20) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1;2 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây 1. Bài toán 1. Số khoảng đơn điệu của hàm số * Hàm bậc ba: 3 2y ax bx cx d    ( 0a  ). Ta có: 2' 3 2y ax bx c   , 'y là tam thức bậc hai có 2' 3b ac   . Ký hiệu 1 2x x là các nghiệm của 'y trong trường hợp 'y có hai nghiệm phân biệt. Ta có bảng sau: a  Sự biến thiên của y    Hai khoảng đồng biến là  1; x và  2;x  .  Một khoảng nghịch biến là  1 2;x x .  0  Đồng biến trên     Hai khoảng nghịch biến là  1; x và  2;x  .  Một khoảng đồng biến là  1 2;x x .  0  Nghịch biến trên  * Hàm bậc bốn trùng phương: 4 2y ax bx c   ( 0a  ). Ta có:  3 2 2' 4 2 4 bay ax bx ax x    . a b Sự biến thiên của y  0  y nghịch biến trên  ;0 , đồng biến trên  ;0 .    Hai khoảng nghịch biến là  2; ba   và  20; ba .  Hai khoảng đồng biến là  2 ;0ba  và  2 ;ba  .    Hai khoảng đồng biến là  2; ba   và  20; ba .  Hai khoảng nghịch biến là  2 ;0ba  và  2 ;ba  .  0  y đồng biến trên  ;0 , nghịch biến trên  ;0 . * Hàm “ baäc nhaát baäc nhaát ”: ax by cx d    ( a , c , 0ad bc  ). BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 Ta có    2 2 ' a b c d ad bcy cx d cx d      không đổi dấu trên tập xác định. Do đó: +) 0ad bc   y đồng biến trên từng khoảng xác định +) 0ad bc   y nghịch biến trên từng khoảng xác định 2. Bài toán 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. * Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên  ;a b  f có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và  ;a b là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó. * Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng nhất bằng 0 trên  ;a b . Khi đó +) f đồng biến trên  ;a b   ' 0f x   ;x a b  . +) f nghịch biến trên  ;a b   ' 0f x   ;x a b  . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số 34y x mx  . Giải +) TXÑ   . +) 2' 12y x m  . * TH1: 0m   ' 0y  x   hàm số đồng biến trên  . * TH2: 0m   'y có hai nghiệm phân biệt 1 12 mx    , 2 12 mx   . +) Bảng biến thiên x2x1 +∞ -∞ y y' ++ _ 00 y x2  y x1( ) +∞-∞x lim x y    , lim x y    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 +) Vậy, trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên ; 12 m         và ; 12 m        , nghịch biến trên ; 12 12 m m         . Ví dụ 2. Tìm m để hàm số  3 21 2 2 1 3 2 3 y x x m x m       nghịch biến trên  . Giải Ta có 2' 4 2 1y x x m     . 'y là tam thức bậc hai có hệ số của 2x là 1 0  , ' 2 5m   . Do đó hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi ' 0   5 2 m   . Chú ý: Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi. Xét tam thức bậc hai   2t x ax bx c   ( 0a  , 2 4b ac   ). Ta có +)   0t x  x   0 0 a     . +)   0t x  x   0 0 a     . Ví dụ 3. Tìm m để hàm số    3 22 3 2 1 6 1 7y x m x m m x      đồng biến trên  1;2 . Giải Ta có    2' 6 6 2 1 6 1y x m x m m     . ' 0y   1 x m x m     . Bảng biến thiên: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20 m+1m +∞ -∞ y y' ++ _ 00 y m+1( ) y m( ) +∞-∞x lim x y    , lim x y    . Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số đồng biến trên  ;m và  1;m  . Do đó hàm số đồng biến trên  1;2 khi và chỉ khi         1;2 ; 1;2 1; m m        2 0 m m    . Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số 4 2 4y x mx   . Giải +) TXÑ   . +)  3 2' 4 2 2 2y x mx x x m    . TH1: 0m   , 'y có nghiệm duy nhất 0x  , 'y đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0 . +) Bảng biến thiên: 4 +∞ +_ f x( ) f ' x( ) 0 +∞0∞x lim x y    . +) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên  ;0 đồng biến trên  0; . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 21 TH2: 0m   , 'y có ba nghiệm phân biệt là 0 và 2m  , 'y đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. +) Bảng biến thiên: m2 4 4 -4 - m2 4 4 +∞ +∞ -m/2- -m/2 _ 0 f x( ) f ' x( ) ++ _ 00 +∞0∞x lim x y    . +) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên  2; m  và  24; m , đồng biến trên  2 ;0m và  2 ;m  . Ví dụ 5. Tìm m để hàm số 14mxx my  đồng biến trên từng khoảng xác định. Giải +)  4\TXÑ m  . +)   2 2 4 4 ' m x m y    . +) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi  ' 0y  TXÑx   2 4 0m    2 2 m m     . C. Bài tập Tìm m để 1)    3 2 21 4 9y x m x m x      đồng biến trên  . 2) 3 23 3 3 4y x x mx m     đồng biến trên  . 3)    3 21 13 31 3 2y mx m x m x      đồng biến trến  2; . ( 23m  ). 4)    3 213y x m 1 x m 3 x 4       đồng biến trên  0;3 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 22 5)  4 21 4y mx m x    đồng biến trên  1;3 . 6) 2 3xx my  đồng biến trên từng khoảng xác định. 7) 2 32mxx my  nghịch biến trên từng khoảng xác định. D. Hướng dẫn và đáp số 1) Hàm số đồng biến trên   ' 0y  x   3m   hoặc 2m  . 2) Tương tự câu 1) ta có: 1m   hoặc 1m  . 3) TH1: 0m   2 136y x x    y nghịch biến trên  ;3 , đồng biến trên  3;  0m  không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: 0m   y là hàm bậc ba có    2' 2 1 3 2y mx m x m     ( 2' 2 4 1m m     ). +) 0 ' 0 m      2 62m  : ' 0y  x   y đồng biến trên  (thỏa mãn). +) 0 ' 0 m     : ' 0y  x   y nghịch biến trên  (loại). +) 0 ' 0 m      2 620 m    * : y đồng biến trên  1; x ,  2;x  với 1 '1,2 m mx    . Do đó: y đồng biến trên  2;     22; ;x    2 2x   21 2 4 1 2m m mm        22 4 1 1m m m      23 2 0m m   2 3 0m m    , kết hợp với  * ta có 2 623 2m   . +) 0 ' 0 m     : y đồng biến trên  1 2;x x với 1 2x x là các nghiệm của 'y (loại). Kết hợp những giá trị m tìm được ta có 23m  . 4) +) TXÑ   . +)  2' 2 1 3y x m x m      (  22 1512 4' m m 4 m 0 m         ). 'y có hai nghiệm phân biệt 1 '1x m   , 2 '1x m   . +) Bảng biến thiên BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 23 _ y x2  y x1  _ x2x1 +∞ -∞ y y' + _00 +∞∞x lim x y    , lim x y    . +) y có một khoảng đồng biến là  1 2;x x nên: y đồng biến trên  0;3     1 20;3 ;x x  1 2 x 0 x 3     2 2 m 1 m m 4 0 m 1 m m 4 3               2 2 m m 4 m 1 m m 4 4 m             2 2 2 2 m 1 0 m 1 0 m m 4 m 2m 1 4 m 0 4 m 0 m m 4 m 8m 16                          12 7 m 1 m 1 m 3 m 4 m 4 m              127m  . 5)  4 21 4y mx m x    đồng biến trên  1;3 . TH1: 0m   2 4y x   y đồng biến trên  0; (thỏa mãn). TH2: 0m   y là hàm bậc bốn có    3 2 12' 4 2 1 4 mmy mx m x mx x      . +)   4 0 2 1 0 m m      0 1m  : y đồng biến trên  0; (thỏa mãn). +)   4 0 2 1 0 m m      m (không xảy ra). +)   4 0 2 1 0 m m      1m  : y có các khoảng đồng biến là  12 ;0mm ,  12 ;mm  . Trong trường hợp này: y đồng biến trên  1;3  12 1mm   12 1mm   1m   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 24  1m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. +)   4 0 2 1 0 m m      0m  : y có các khoảng đồng biến là  12; mm  ,  120; mm . Trong trường hợp này: y đồng biến trên  1;3  12 3mm   12 9mm   117m   (thỏa mãn 0m  ). Kết hợp những giá trị m tìm được ta có 117m   hoặc 0 1m  . 6) 32m   . 7) 3 3m   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 25 Loại 3. Ứ