Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số Loại 1. Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương trình A. Phương pháp giải toán Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên hệ giữa tập nghiệm của phương trình  f x m  * với tập tập các điểm chung của đường thẳng :d y m với đồ thị    :C y f x :   * có nghiệm  d có điểm chung với  C .  Số nghiệm của  * bằng số điểm chung của đường thẳng d với  C .  Nghiệm của  * là hoành độ điểm chung của d và  C . m d O y x C( ) B. Các ví dụ Ví dụ 1. [ĐHA02] Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k      * có 3 nghiệm phân biệt. Giải. Cách 1. Phương trình  * tương đương với 3 2 3 23 3x x k k   . Nếu đặt   3 23f x x x  thì phương trình trở thành    f x f k .  * có ba nghiệm phân biệt  đường thẳng  y f k có ba điểm chung với đồ thị hàm số  y f x   4 0f k   . x,k y y=f(k) -4 32-1 O BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Từ đồ thị hàm số  y f k , ta thấy điều kiện  4 0f k   tương đương với    1;3 \ 0;2k   . Cách 2. Phương trình đã cho tương đương với    2 23 3 0x k x k x k k            2 23 3 1 x k x k x k k       . Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác k , tức là      2 2 1 3 0 3 3 0 k k k k k k k                  1;3 0;2 k k         1;3 \ 0;2k   . Ví dụ 2. [ĐHA06] Tìm m để phương trình 3 22 9 12x x x m   có 6 nghiệm phân biệt. Giải. Đặt   3 22 9 12f x x x x   . Phương trình đã cho tương đương với  f x m . Trước hết ta vẽ đồ thị  C của hàm số   3 22 9 12f x x x x   . Hàm  f x là hàm chẵn,    f x f x 0x  . Do đó, đồ thị  'C của hàm số  f x gồm hai phần  Phần 1: là phần  C nằm ở bên phải Oy ;  Phần 2: đối xứng với phần 1 qua Oy . (C) y x 9 5 4 321O y = m -1-2-3 (C') y x 9 5 4 321O BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt  đường thẳng y m có 6 điểm chung với  'C  4 5m  . Ví dụ 3. [ĐHB09] Với những giá trị nào của m , phương trình sau đây có đúng 6 nghiệm phân biệt 2 2 2x x m  .  1 Giải. Cách 1. Đặt 2t x ,  1 trở thành 2t t m  .  2  1 có 6 nghiệm phân biệt   2 có 3 nghiệm dương phân biệt  đường thẳng :d y m có 3 điểm chung với đồ thị  C của hàm số   2f t t t  , 0t  . Ta có     2 2 2 2 2 2 neáu t neáu t t t f t t t           C gồm hai phần:  Phần 1: là phần đồ thị hàm số 2 2y t t  ứng với 2t  .  Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số 2 2y t t  ứng với 2t  , qua trục hoành. Vậy  1 có 6 nghiệm phân biệt  0 1m  . O d m x y C( ) y=t2-2t 2 -1 1 1 Cách 2. Trước hết, ta vẽ đồ thị  C của hàm số   4 22f x x x  . Ta thấy:  1   f x m .           0 0 neáu neáu f x f x f x f x f x       Đồ thị  'C của hàm số  f x gồm hai phần BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4  Phần 1: là phần  C nằm phía trên trục hoành.  Phần 2: đối xứng với phần  C nằm phía dưới trục hoành, qua trục hoành. m 1 -1 - 2 2-1 1 C'( ) O y x  1 có 6 nghiệm phân biệt  đường thẳng y m có 6 điểm chung với  'C  0 1m  . C. Bài tập Bài 1. Cho phương trình 4 23 1 0x x m     . 1) Giải phương trình với 3m   . 2) Tìm tất cả những giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và cả 4 nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng 1. 3) Trong trường hợp phương trình có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó là 1x , 2x , 3x , 4x , hãy tính tổng 1 2 3 4x x x x   . Bài 2. Cho 3 23 9y x x x m     C . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C với 6m  . 2) Tìm m để phương trình 3 23 9x x x m   có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3. Cho hàm số 3 3 1y x x    C . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C . 2) Tìm m để phương trình 3 3 6 2 0mx x     có ba nghiệm phân biệt. Bài 4. Cho hàm số 3 3 2y x x    C . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C . 2) Biện luận số nghiệm của phương trình 22 3 13 2 2x x m m         . Bài 5. Cho hàm số 3 4 3 xy x   C . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C . 2) Tìm k để phương trình     23 4 1 4 0 3 3 2 kx x k      có 3 nghiệm phân biệt. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 Bài 6. Cho hàm số    21 2y x x    C . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C . 2) Biện luận số nghiệm của phương trình        2 21 2 1 2x x m m     . Bài 7. Cho hàm số 2 1 2 xy x     C . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C . 2) Tìm m để phương trình 2sin 1 sin 2 x m x    có đúng hai nghiệm thuộc đoạn  0; . Bài 8. [ĐHA02] Cho phương trình 2 23 3log log 1 2 1 0x x m     . 1) Giải phương trình khi 2m  . 2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Loại 2. Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Cho  y f x  1C và  y g x  2C . Để tìm giao điểm của  1C và  2C , ta làm như sau:  Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm. Hoành độ giao điểm của  1C và  2C là nghiệm của phương trình    f x g x .  * Phương trình  * được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C .  Bước 2: Tìm giao điểm. Nếu 0x là một hoành độ giao điểm thì   0 0;x f x (   0 0;x g x ) là một giao điểm của  1C và  2C . Chú ý. Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo: Nếu 1x , 2x là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 0ax bx c   ( 0a  ) thì 1 2 1 2. bx x a cx x a          . Nhận xét.  Hai đồ thị hàm số có giao điểm  phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm.  Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. B. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho 3 22 5y x x x     1C và hàm số 7y x  2C . Hãy xác định các giao điểm của hai đồ thị  1C và  2C . Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C : BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 3 22 5 7x x x x       21 3 5 0x x x     1 3 29 2 3 29 2 x x x            . Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm:  1 1;7M , 2 3 29 21 7 29; 2 2 M           , 3 3 29 21 7 29; 2 2 M           . Ví dụ 2. Cho  2 2 1y x m x m     1C và y x   2C . Tìm điều kiện của m để  1C có giao điểm với  2C . Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C :  2 2 1x m x m x      1  2 (2 1) 0x m x m    (  2 22 1 4 2 8 1m m m m       ).  1C có giao điểm với  2C   1 có nghiệm  0  2 2 3 2 2 2 3 2 m m         . Ví dụ 3. Cho 3 4 2y x mx    1C và 23 4y x m   2C . Biện luận số giao điểm của  1C và  2C . Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C 3 24 2 3 4x mx x m     1  2( 1)( 2 4 2) 0x x x m         2 1 2 4 2 0 2 ' 4 3 x x x m m          . Số giao điểm của  1C và  2C bằng số nghiệm của phương trình  1 . Do đó BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8  30 4 m     :  2 vô nghiệm   1 có nghiệm duy nhất ( 1x  )  1C và  2C có một giao điểm.  340 m     :  2 trở thành   22 2 1 0 1 0 1x x x x        . Trong trường hợp này,  1 cũng có nghiệm duy nhất ( 1x  )  1C và  2C có một giao điểm.  340 m     :  2 có hai nghiệm phân biệt. Ta thấy  1 4 3 0t m    3 4 m    1 không phải là nghiệm của  2   1 có ba nghiệm phân biệt  1C và  2C có ba giao điểm. Kết luận:  3 4 m   :  1C và  2C có một giao điểm.  3 4 m   :  1C và  2C có ba giao điểm. Ví dụ 4. [ĐHD03] Cho 2 2 4 2 x xy x      C . Tìm m để đường thẳng : 2 2md y mx m   có 2 giao điểm với  C . Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C với md : 2 2 4 2 2 2 x x mx m x          2 2 4 2 2 2x x x mx m      ( 2x  ).       21 4 1 4 2 0m x m x m      .  * md có 2 giao điểm với  C khi và chỉ khi  * có 2 nghiệm phân biệt, tức là:   1 0 ' 12 1 0 m m          1m  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 Ví dụ 5. [ĐHA04] Cho hàm số   2 3 3 2 1 x xy x       C . Tìm m để đường thẳng :d y m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A , B sao cho 1AB  . Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và d :   2 3 3 2 1 x x m x       2 (2 3) 2 3 0m xx m      * (phép biến đổi là tương đương vì 1x  không phải nghiệm phương trình của  * ) d cắt  C tại 2 điểm khi và chỉ khi  * có hai nghiệm phân biệt, tức là: 0   24 4 3 0m m   1 2 3 2 m m        .  1 Hoành độ Ax , Bx của các điểm A , B là nghiệm của  2 nên theo định lí Vi-ét: 3 2 3 2 A B A B x x m x x m       . Mặt khác vì A , B cùng thuộc đường thẳng :d y m nên A By y m  . Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có          2 2 2 22 24 3 2 4 3 2 4 4 3A B A B A B A BAB x x y y x x x x m m m m              . Do đó 2 2 1 5 21 1 4 4 3 1 1 5 2 m AB AB m m m                (thỏa mãn  1 ). Vậy 1 5 2 m  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Ví dụ 6. [ĐHA10] Cho hàm số  3 22 1y x x m x m      C . Tìm m để  C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là 1x , 2x , 3x sao cho 2 2 2 1 2 3 4x x x   . Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C của hàm số với trục hoành ( 0y  ):  3 22 1 0x x m x m      1     21 0x x x m     2 ( ) 1 0 t x x x x m        .  C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt   1 có ba nghiệm phân biệt   t x có hai nghiệm phân biệt khác 1    0 1 0t      1 4 0 0 m m       1 4 0 m m    . Không mất tổng quát, giả sử 1 1x   2x , 3x là các nghiệm của  t x . Theo định lý Vi-ét, ta có: 2 3 2 3 1x x x x m      . Do đó:  22 2 21 2 3 2 3 2 31 2 2 2x x x x x x x m        , 2 2 21 2 3 4 2 2 4 1x x x m m      . Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1x , 2x , 3x sao cho 2 2 2 1 2 3 4x x x   khi và chỉ khi 1 1 4 m   , 0m  . C. Bài tập Bài 1. Tìm các giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây: 1) 2 33 2 2 xy x    và 1 2 2 xy   ; 2) 2 1 xy x   và 3 1y x   ; 3) 1 2 xy x    và 3 5y x   ; 4) 34 3y x x  và 2y x   ; 5) 3 2 10y x x    và 2 3 4y x x   ; 6) 3 25 10 5y x x x    và 2 1y x x   ; 7) 2 4 1 xy x    và 2 2 4y x x    ; 8) 2 2 3 6 2 x xy x x      và 3 2y x  ; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 9) 4 2 1y x x   và 24 5y x  . Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây 1) 3 3 2y x x   và  2y m x  ; 2) 3 2 2 3 2 x xy x   và 1 13 2 12 y m x       ; 3) 3 3 3 xy x   và  3y m x  ; 4) 2 1 2 xy x    và 2y x m  ; 5) 1 1 xy x    và 2y x m   ; 6) 2 6 3 2 x xy x     và y x m  ; 7) 13 1 y x x      và 3y mx  ; 8) 2 3 3 2 x xy x     và 4 1y mx m   ; 9) 32 1y x x   và  2 1y m x  . Bài 3. Tìm m để 1) Đường thẳng : 2d y x m  đồ thị hàm số   22 3: 1 x x mC y x     tại hai điểm phân biệt; 2) Đường thẳng :d y mx cắt đồ thị hàm số   3 2: 6 9C y x x x   tại ba điểm phân biệt; 3) Đường thẳng : 2d y x   cắt đồ thị hàm số   3 2: 23C y x x mx m   tại ba điểm phân biệt; 4) Đồ thị hàm số     2 2: 1 3C y x x mx m     cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt; 5) Đồ thị hàm số    3 2: 3 1 2 1C y mx mx m x     cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt; 6) Các đồ thị hàm số   3 21 : 2 2 2 1C x x x m    và   22 : 2 2C y x x   cắt nhau tại ba điểm phân biệt; 7) Các đồ thị hàm số   3 2 21 : 2 3C x x m x m   và   22 : 2 1C y x  cắt nhau tại ba điểm phân biệt; 8) Đường thẳng :d y m cắt đồ thị hàm số   4 2 1: 2C y x x   tại bốn điểm phân biệt; 9) Đồ thị hàm số    4 2 3: 1C y x m m x m    cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt; 10) Đồ thị hàm số    4 2 2: 2 3 3C y x m x m m     cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt; 11) [ĐHD06] Đường thẳng d đi qua điểm  3;20A có hệ số góc m cắt   3: 3 2C y x x   tại 3 điểm phân biệt; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 12) [ĐHD09] Đường thẳng : 2d y x m   cắt   2 1: x xC y x    tại hai điểm phân biệt. Bài 4. Tìm m để 1) Đường thẳng : 2d y mx  cắt đồ thị hàm số   2 4 5: 2 x xC y x     tại hai điểm có hoành độ trái dấu; 2) Đường thẳng : 2d y mx  cắt đồ thị hàm số   2 : 1 mx x mC y x     tại hai điểm có hoành độ trái dấu; 3) Đường thẳng : 3d y mx  cắt đồ thị hàm số   2 4 5: 2 x xC y x     tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của  C ; 4) Đồ thị hàm số   2 : 1 mx x mC y x     cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương; 5) [ĐHA03]   2 : 1m mx x mC y x     cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương; 6) [ĐHD09] Đường thẳng : 1d y   cắt    4 23 2: 3mC y x m x m    tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 . Bài 5. Tìm m để 1) [ĐHB09] Đường thẳng :d y x m   cắt   2 1: xC y x   tại hai điểm A , B sao cho 4AB  ; 2) Đường thẳng : 2d y x m  cắt đồ thị hàm số   3 1: 4 xC y x    tại hai điểm A , B sao cho đoạn thẳng AB ngắn nhất; 3) Đường thẳng :d y x m   cắt đồ thị hàm số   4 1: 2 xC y x    tại hai điểm A , B sao cho đoạn thẳng AB ngắn nhất; 4) Đường thẳng :md y x m   cắt   2 1: 2 xC y x    tại hai điểm A , B sao cho đoạn thẳng AB ngắn nhất; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 5) Đường thẳng : 2 2d y mx m   cắt đồ thị hàm số   2 2 4: 2 x xC y x     tại hai điểm A , B . Khi đó, hãy tính độ dài đoạn thẳng AB theo m . Bài 6. [ĐHD08] Cho  3 23 4y x x C   . Chứng minh mọi đường thẳng d đi qua điểm  1;2I và có hệ số góc k , với 3k   đều cắt  C tại ba điểm phân biệt I , A , B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng .AB Bài 7. [ĐHD03] Cho   2 2 4 2 x xy C x     . Tìm m để đường thẳng : 2 2md y mx m   cắt  C tại hai điểm A , B phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài 8. [ĐHB10] Cho 2 1 1 xy x     C . Tìm m để đường thẳng 2:md y x m   cắt  C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ). Bài 9. [ĐHA11] Cho 1 2 1 xy x      C . Chứng minh với mọi m , đường thẳng :d y x m  luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi 1k , 2k là hệ số góc các tiếp tuyến với  C tại A và B . Tìm m để 1 2k k đạt giá trị lớn nhất. Bài 10. [ĐHD11] Cho 2 1 1 xy x     C . Tìm k để đường thẳng : 2 1d y kx k   cắt  C tại hai điểm phân biệt A , B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.