Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Tích phân hàm phân thức hữu tỷ. Hữu tỷ hóa tích phân
Trong phần này, ta cần nắm được cách tính các tích phân sau:
1)
1
dx
I
ax b
, với 0 a .
Cách tính.
ln 1 ax b d ax b
I C
a ax b
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Tích phân hàm phân thức hữu tỷ. Hữu tỷ hóa tích phân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ.
Hữu tỷ hóa tích phân
Dạng 1. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
Nội dung phương pháp
Trong phần này, ta cần nắm được cách tính các tích phân sau:
1) 1
dxI
ax b
, với 0a .
Cách tính. 1
ln1 ax bd ax bI C
a ax b a
.
2)
2 n
dxI
ax b
, với 0a , *n , 2n .
Cách tính.
2
1 1
1n n
d ax b
I C
a ax b a n ax b
.
3)
3 n
P x
I dx
ax b
, P x là đa thức có bậc lớn hơn 0 , 0a , *n .
Cách tính. Thực hiện phép đổi biến t ax b .
4) 4 2
dxI
ax bx c
, với 0a ,
2 0ax bx c x .
Cách tính. Biến đổi 22 2ax bx c a x e f ( 0f ), sau đó thực hiện phép đổi
biến tanx e f t , ;
2 2
t
. Ta có
2 2
2
1
cos
ax bx c af
t
, 2cos
dtdx f
t
4
1 tI dt C
af af
.
5) 5 2
mx nI dx
ax bx c
, với 0a , 0m ,
2 0ax bx c x .
Cách tính. Phân tích 2 2 2
2 1mx n ax bA B
ax bx c ax bx c ax bx c
.
2 2
2 2
2 ln
d ax bx cax b dx ax bx c C
ax bx c ax bx c
, 2
dx
ax bx c chính là 4I .
Tất cả các tích phân hàm phân thức hữu tỷ đều được quy về năm dạng nói trên.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính
2 3
1 2 3
xI dx
x
.
Giải
Đặt 2 3t x , suy ra 3
2
tx , 1
2
dx dt . Khi x nhận các giá trị bằng 1 và 2 thì t nhận các
giá trị tương ứng là 5 và 7 . Do đó
I
37 7 73 23
2 2
5 5 5
1 1 9 27 27 1 279 27
2 16 16
t t t tdt dt t t dt
t t t
7
3 2
5
1 1 9 7 27 727 27 ln ln
16 3 2 6 16 5
t t t t
.
Ví dụ 2. Tính
1
2
0
4 11
5 6
xI dx
x x
.
Giải
Ta có
I
1 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
2 2 5 1 2 52
5 6 5 6 5 6
I I
x x dxdx dx
x x x x x x
,
21 12
1 2 0
0
5 6
ln 5 6 ln 2
5 6
d x x
I x x
x x
,
11 1 1 1
2
0 0 0 0 0
3 2 2ln 2 ln 3 3ln 2
2 3 2 3 2 3 3
x x dxdx dx dx xI
x x x x x x x
.
Suy ra 2ln 3 ln 2I .
Ví dụ 3. Tính
1
2
2 4 5
xI dx
x x
Giải
Ta có
1 1
2 2
2 2
1 2 4 2
2 4 5 4 5
J K
x dxI dx
x x x x
,
1 12
2 2
2
2 4 ln 4 5 ln 2
4 5
xJ dx x x
x x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
Ta thấy
1
2
21 2
dxK
x
. Đặt 2 tanx t , ;
2 2
t
. Suy ra 2 2
11 2
cos
x
t
,
2cos
dtdx
t
. Khi x nhận các giá trị 2 và 1 thì các giá trị của t lần lượt là 0 và
4
. Do đó
4
0 4
K dt
.
Vậy ln 2
2 2
I .
Ví dụ 4. Tính
2 3 2
2
0
2 4 9
4
x x xI dx
x
Giải
Ta có
22 2 2
2
2 2 2
0 0 00
1 12 2 6
4 2 4 4
dx dxI x dx x x
x x x
.
Ta xét
2
2
0 4
dxJ
x
. Đặt 2 tanx t , ;2 2t
. Suy ra 2 2
14 4
cos
x
t
, 2
2
cos
dtdx
t
. Khi
x nhận các giá trị 0 và 2 thì các giá trị của t lần lượt là 0 và
4
. Do đó
4
0
1
2 8
K dt
.
Vậy 6
8
I .
Ví dụ 5. Tính I=
3
3
2
1
1 1
dx
x x
Giải
Cách 1. ( Phương pháp hệ số bất định )
Ta có :
2
2 2 2
1 1 1 11
1 11 1 1 1 1
A x B x x C xA B C
x xx x x x x
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số :
1
1 4 4
1 2 1
2
AA
C C
. Khi đó (1)
2
2
2 1 1 11 1 1
4 2 41 1
A B x A C x A B C
A B C B A C
x x
Do đó :
3 3
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1. .
4 1 4 1 21 1 1
dx dx
x xx x x
31 1 1 1 3ln 1 1 . ln8 ln 2
24 2 1 4 4
I x x
x
Cách 2:
Đặt : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 .
Khi đó : I=
3 4 4 4 4
2 2 2
2 3 3 2 3
21 1 1 1 1
2 2 2 2 21 1
t tdtdx dt dt dt
t t t t t t tx x
4 4
2 3
41 1 1 1 1 1 2 1 3ln ln ln 2
32 2 2 4 2 4
tI dt dt t
t t t t
Hoặc :
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2
3 4 3 21 1 3 4 4 3 4 1 3 4 1 3 2
2 2 4 2 2 4 2 4
t t tt t t t t t
t t t t t t t t t t t t t
Do đó : I=
4 2
3 2
3 2 2
3
43 4 1 3 2 1 2 3ln 2 3ln ln 2
32 4 4 4
t t dt t t t
t t t t t
Hoặc :
2 2
2 2 2 2
41 1 1 1 2 1 1 1 2
2 4 2 4 2 4 2
t t t
t t t t t t t t t
Do đó :
I=
4
2
3
41 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1ln ln ln ln 3 ln 2
34 2 4 4 2 2 3 3 4 6
tdt
t t t t t
Ví dụ 6. Tính I=
3 2
2
2 1 2
x dx
x x
Giải
Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5
Do đó :
23 2 22 2
2 2 2
2 1 1
1 2 1
3 31 2
tx t tdx dt dt
t t t tx x
Cách 1; ( Hệ số bất định )
Ta có :
2 22
2 2 2 2
3 3 32 1
3 3 3 3
At B t Ct A C t A B t Bt t At B C
t t t t t t t t
Đồng nhất hệ số hai tử số :
2
2 2
1
31
5 2 1 1 3 4 13 2
9 3 9 9 3
3 1 4
9
B
A C
t t tA B A
t t t t
B
C
Do đó :
2 22
2 2
1 1
22 1 1 1 3 4 1 1 3 4 17 4 7ln ln 3 ln 5 ln 2
13 9 9 3 9 9 6 9 9
t t dt dt t t
t t t t t t
Cách 2:
Ta có :
2 22 2 2 2
2 3 2 3 2 2 3 2 2
92 1 1 3 6 3 1 3 6 3 1 3 6 1
3 3 3 3 3 3 3 3 9 3
t tt t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t
2 2
3 2 2 3 2 2
1 3 6 1 1 1 3 1 3 6 1 1 1 1 3
3 3 9 3 9 3 3 9 3 9
t t t t t
t t t t t t t t t
Vậy :
2 22 2
3 2
2 3 2 2
1 1
22 1 1 3 6 1 1 1 3 1 1 3 3ln 3 ln
13 3 3 9 3 3 27
t t t t tdt dt t t
t t t t t t t t t
Do đó I= 17 4 7ln 5 ln 2
6 9 9
Ví dụ 7. Tính I=
3
2
2
1
1
dx
x x
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Ta có :
f(x)=
2
2
1 1 11 1
1 1 1 1 1 11
A x Bx x Cx xA B C
x x x x x x x x xx x
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm : x=0;x=1 và x=-1 vào hai tử ta
có :
10 1
1 1 1 1 1 11 1 2 ( )
2 2 1 2 1
1 1 2 1
2
Ax A
x C B f x
x x x
x B
C
Vậy :
3 3
2
2 2
31 1 1 1 1 1 5 3ln 1 1 ln ln 2 ln 3
22 1 1 2 2 21
dx dx x x x
x x xx x
Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu )
Ta có :
2 2
2 22 2
11 1 1 2 1
1 2 11 1
x x x x
x x x xx x x x
Do đó :
3 3 3
2
22
2 2 2
31 1 2 1 1 5 3ln 1 ln ln 2 ln 3
22 1 2 2 21
xdxdx dx x x
x xx x
Ví dụ 8. Tính I=
4
2
3
1
4
x dx
x x
Cách 1:
Ta có :
2
2 2
4 2 21 1
2 2 2 24 4
A x Bx x Cx xx x A B C
x x x x x xx x x x
Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số :
Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4
Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8
Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8 .
Do đó : f(x) =
1 1 1 1 3 1
4 8 2 8 2x x x
Vậy :
4 3 3 3
2
3 2 2 2
31 1 1 1 1 3 1 1 1 3ln ln 2 ln 2
24 8 2 8 2 4 8 84
x dx dx dx dx x x x
x x xx x
5 3 1ln 3 ln 5 ln 2
8 8 4
Cách 2:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7
Ta có :
2 2
22 2 2 2
41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
4 2 2 4 4 2 2 2 44 4 4 4
x xx x
x x x x x xx x x x x x x
Do đó :
4 4
2
22
3 3
41 1 1 1 1 2 1 1 2 1ln ln 4 ln
34 2 2 2 4 4 2 24
x x xdx dx x x
x x x x xx x
Ví dụ 9. Tính
3 2
2
2 1 2
x dx
x x .
Giải
Cách 1: ( Hệ số bất định )
22 2
2 2
1 2 1 2 1
1 1 2 1 1 21 2 1 2
A x x B x x C xx x A B C
x x x x x xx x x x
Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số :
Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy ra : A=1/2
Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2
Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4
Do đó :
I=
3 32
2
2 2
31 1 1 1 5 1 1 1 5 1 3ln ln 2 ln
22 1 2 1 4 2 2 1 4 2 21 2
x xdx dx x
x x x xx x
Cách 2.( Nhẩy tầng lầu )
Ta có :
2 2
2 2
1 1 21 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 2 1 1 21 2 1 2
x x x xx x
x x x x x x x xx x x x
1 1 1 1 1 1 1 1 11
2 2 1 2 1 2 2 3 1 2 1
x
x x x x x x x x
Từ đó suy ra kết quả .
Ví dụ 10. Tính
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
a.
1
22
0
1
3 2
dx
x x
b.
1 2
3
1
2
1
1
x dx
x
Giải
a.
1
22
0
1
3 2
dx
x x
Ta có :
2
2
2 22
1 1 1 13 2 1 2 ( )
1 21 23 2
x x x x f x
x xx xx x
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 12
1 2 1 21 2 1 2x x x xx x x x
. Vậy :
1 1
2 2 22
0 0
11 1 1 1 1 1 1 1 22 2ln 2ln 3
01 2 1 2 2 31 23 2
xdx dx
x x x x xx xx x
b.
1 2
3
1
2
1
1
x dx
x
Ta có :
2 2 2
3 2 2 2
1 1 1( )
1 1 1 1 1 1 1
x x x x x x xf x
x x x x x x x x x x
1
3 3
1
2
1 1 1 2( )
1 1 1 2 1
x xf x dx
x x x x
Ví dụ 11. Tính
a.
3 2
4 2
1
1
1
x dx
x x
b.
1 4
6
0
1
1
x dx
x
Giải
a.
3 2
4 2
1
1
1
x dx
x x
. Chia tử và mẫu cho
2 0x , ta có :
3 3 22
2 21 1
2 2
11 11
( ) ( ) 11 11 1
dx
xxf x f x dx
x x
x x
Đặt : 2 22 2
1 2
1 1 12, 1 43
3
x t
t x x t dt dx
x tx x x
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9
Vậy :
4 4 4
3 3 3 3
2
1 2 2 2
1 1 1 1( )
3 2 3 3 33 3
dtf x dx dt dt
t t tt t
4
1 3 1 1 7 4 3 1ln ln ln ln 7 4 33
7 72 3 3 2 3 2 32
tI
t
)
b.
1 4
6
0
1
1
x dx
x
. Vì :
36 2 2 4 2
26 3 2 3
1 1 1 1
1 1 1
x x x x x
x x t t x
Cho nên :
1 14 4 2 2 2
2 26 22 4 2 3 3
0 0
1 1 1 1 3( ) ( )
1 1 31 1 1 1
x x x x xf x f x dx dx
x xx x x x x
Vậy : 1 11arctan 0 03 4
2 1 1arctan 3x arctan1- arctan3 arctan3
3 3
I x
Ví dụ 12. Tính
a.
1 12 2
4 4
0 0
1 1
1 1
x xdx dx
x x
b.
2
4
1
1
1
dx
x
Giải
a.
1 12 2
4 4
0 0
1 1
1 1
x xdx dx
x x
. Ta có :
2 22 2
4 4
2 2
2 2
1 11 11 1( ) , ( )1 11 1
x xx xf x g x
x xx x
x x
. Cho nên
Đặt :
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 51 , 2, 1 2, 2
2
1 1 1 31 , 2, 1 0, 2
2
t x dt dx x t x t x t
x x x
t x dt dx x t x t x t
x x x
. Vậy :
5 5 5
2 2 2 2
2
1 2 2 2
5
1 1 1 1 1 2( ) ln 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
dt tf x dx dt dt
t t t tt t
3
2 2
2
1 0
1( ) 1
2
g x dx dt
t
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10
Đặt : 1
1 3 22 tan 2 0 0,
2 42
3arctan
os
t u dt du t u t u u
c u
Do đó (1)
1 1
1
12
0 0
2 2 2 2
02 2 22 2 tan2os
u u udu du u u
c u u
b.
2
4
1
1
1
dx
x . Ta có :
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x xF x f x g x
x x x x
Đã tính ở trên ( phần a)
Ví dụ 13. Tính
a.
2 2
2 2
1
1
5 1 3 1
x dx
x x x x
b.
5
2
4 2
3
2
4 3
dx
x x
c.
1 5
22
4 2
1
1
1
x dx
x x
d. I =
3 7
8 4
2 1 2
x dx
x x
Giải
a.
2 2
2 2
1
1
5 1 3 1
x dx
x x x x
. Ta có :
2 22 22
2 2
1 1
11 111( ) ( ) 1
1 1 1 15 1 3 1 5 5 3
3
dx
x xxf x f x dx
x x x x x x x x
x x x x
Đặt : 2
1 1 51 , 1 2, 2
2
t x dt dx x t x t
x x
Vậy (1) trở thành :
5 5
2 2
2 2
5
1 1 1 1 5 1 1 5ln ln 5 ln 3 ln2
5 3 2 5 3 2 3 2 2 32
dt tdt
t t t t t
b.
5
2
4 2
3
2
4 3
dx
x x . Ta có : 4 2 2 22 2
1 1 1 1 1( )
4 3 2 3 11 3
f x
x x x xx x
Do đó :
5 5
2 2
2 2
3 3
2 2
1 1( ) 1
3 1
f x dx dx I J
x x
Với :
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11
5 5 5
2 2 2
2
3 3 3
2 2 2
5
1 1 1 1 1 1 3 1 37 20 32ln ln
33 2 3 3 3 2 3 3 2 33 3 65 7 4 3
2
xI dx dx dx
x x x xx x
5
1 1 2
2
30 0
2
5
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 152ln ln ln ln
31 1 1 2 1 1 2 1 2 7 5 2 7
2
xJ dx dx dx
x x x x x x
c.
1 5
22
4 2
1
1
1
x dx
x x
.
Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a . Chỉ khác là đặt : 1t x
x
, sẽ ra kết quả .
d. I =
3 37 4
3
28 4 4
2 2
1
1 2 1
x xdx x dx
x x x
Đặt :
3
4 4
3
2 24
3 , 2 15; 3 80
11 1 1 1 1 1( ) 3
3 3 31
dt x dx x t x t
tt x xf x dx x dx dt dt
t t tx
Vậy :
80
2
15
801 1 1 1 1 1 16 13ln ln
153 3 3 3 720
I dt t
t t t
Ví dụ 14. Tính
a.
2
4
1 1
dx
x x b.
1
22
2
0
1
1 3
x dx
x x
Giải
a.
2
4
1 1
dx
x x . Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có :
4 3 23 2
44 4
11( )
11 1
A x x Bx Cx Dx EA Bx Cx Dx Ef x
x xx x x x
4 3 2 3
44
0 1
0, 0 1 1( ) ( )
0 0, 0, 11
1 0
Ex+A
A B A
C D BA B x Cx Dx xf x f x
E C D x xx x
A E
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12
Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn .
Vì x và 3x cách nhau 3 bậc , mặt khác 1; 2 0x x . Cho nên ta nhân tử và mẫu với
3 0x . Khi đó
3
4 4
( )
1
xf x
x x
. Mặt khác 4 3 3 44 4d x x dx dt x dx t x , cho nên
:
3
4 4
1 3 1 1 1 1( ) ( )
3 3 1 3 11
x dx dtf x dx f t
t t t tx x
. Bài toán trở nên đơn giản hơn rất
nhiều . ( Các em giải tiếp )
b.
1
22
2
0 1 3
x dx
x x
Nhận xét :
* Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm như sau :
-
2
3 3 2
1( )
1 31 3 1 1
x A B C Df x
x xx x x x
- Sau đó quy đồng mẫu số , đồng nhất hệ số hai tử số , ta có : 1 3 5, ,
2 8 32
A B C D
Do vậy :
1
2
3 2
0
1 3 5 5
32 1 32 32 1 8 1
I dx
x xx x
2
1
1 3 5 5 5 1ln 1 ln 3 ln2
8 1 32 32 32 288 1 0
x x
xx
Ví dụ 15. Tính
a.
3 4
6
2
1
1
x dx
x
b.
2 2
6
1
1
1
x dx
x
c.
2
4
1 1
dx
x x
d.
1 3
32
0 1
x dx
x
e.
1 4 2
32
0
3 1
1
x x dx
x
f.
1
31 3
4
1
3
x x
dx
x
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13
a.
2 2 3 34 4 2 2 2
6 2 3 32 22 4 2 3 3
1 1 2 2
1 1 2 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1
x x x x xdx dx dx dx
x x x xx x x x x
Tính J : J= artanx
3
2
artan3-artan2 .
Tính K . Đặt
2
3 2
3 2
3 , 2 8; 3 27
1 1 1 1 1( )
1 3 3 2 1 11
dt x dx x t x t
t x x dtg x dx dx dt
x t tt
Do đó : K=
3 27
2 8
27 271 1 1 1 1 1 1 117( ) ln 1 ln 1 ln ln
8 86 1 1 6 6 1 6 98
tg x dx dt t t
t t t
Tính E=
3 3
3 2
2 2
1 1
1 1 1
dx dx
x x x x
Ta có :
2 2 2 2
32 2 2
11 1( )
11 1 1 1 1 1
x x x xh x
xx x x x x x x x x
2 2 2
3 3 2 3 2 22
1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 1 2 1 11 1
x xx x x x x
x x x x x x x x xx x x
Vậy :
3 3 32
23 2 2
2 2 2
2 11 3 1 1
3 1 2 1 1 3
2 2
xxI dx dx dx
x x x
x
3 23 31 1 1 28 1 13ln 1 ln 1 ln ln 22 23 2 3 9 2 6x x x F F
Tính F : Đặt :
3 1
1 3 2tan
2 2 5 102 tan ; 3 tan
3 3
2os
dx dt
c tx t
x t t a x t t b
Do đó
F=
2
3 1
2 t ;
3 1 tan
2
2 5 5 10os ant= artan artan
3 3 3
b b
a a
dt bc t dt t b a t a b
a
t
Thay vào (2) ta có kết quả .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14
b.
2 1 2 22 2
26 2 4 2 2 22 2
1 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 11
x xdx dx dx dx
x x x x x x x xx x
Ta có :
2 22 2
1
1 11 1
Ax+B Cx D
x x x xx x x x
3 2
4 2 1
A C x B A C D x A B C D x B D
x x
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
1
2
0 1
0 1 2 0 2
0 0 1
21 1
1
2
A
A C A C
CB A C D C
A B C D B D D
B D B D
B
Vậy :
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1 1
2 1 1 2
x xI dx dx J K
x x x x
Tính J=
2 2 2 2
2
22 2 2 2
1 1 1 1
21 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 ln 1 2
11 2 1 2 1 2 21 3
2 2
x x xdx dx dx dx x x E
x x x x x x
x
Tính E =
2
22
1
3 1
2 1 3
2 2
dx
x
, học sinh tự tính bằng cách đặt :
1 3 tan
2 2
x t
Tính K
2 2 2 1
2
22 2 2 2
1 1 1 0
21 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 ln 1 2
11 2 1 2 1 2 21 3
2 2
x x xK dx dx dx dx x x F
x x x x x x
x
Tính F=
2
22
1
3 1
2 1 3
2 2
dx
x
, học sinh tự tính bằng cách đặt :
1 3 tan
2 2
x t
c.
4 42 2 23 4
4 4 44 4 4
1 1 1
21 3 1 1 1 32ln ln
13 3 1 3 1 3 171 1
d x d xdx x xdx
x x xx x x x
d.
1 13 2
3 32 2
0 0
1 2 1
21 1
x xdx xdx
x x
. Đặt :
2
2 1; 21
0 1, 1 2
x t dt xdxt x
x t x t
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15
Do đó
2 2
3 2 3 2
1 1
21 1 1 1 1 13
14 16
tI dt dt
t t t t t
e.
221 1 1 14 2 2 2
3 3 3 322 2 2 2
0 0 0 0
13 1 1 1
11 1 1 1
xx x x xdx dx dx dx J K
xx x x x
Tính J : Bằng cách đặt tan
4
x t J
Tính K=
1
2 32 2
0
1 1 2
1 1
dx E F
x x
Tính E : Bằng cách đặt
1
tan
0 0; 1
4
2os
dx dt
c tx t
x t x t
Vậy :
2 21 4 4 4
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 1 2 1 tan 2 2
2
2 2
4
os
os os
os
E dx dt dt c tdt
x t c t c t
c t
4
0
1 1 1 1 1 21 sin 2 4
4 4 2 4 4 2 160
os2tc dt t t
Tính F. Tương tự như tính E ;
Bằng cách đặt
1
tan
0 0; 1
4
2os
dx dt
c tx t
x t x t
Vậy :
3 31 4 4 4
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 1 2 1 tan 2 2
4
2 2
6
os
os os
os
F dx dt dt c tdt
x t c t c t
c t
4 4
2
0 0
1 1 11 1 2 2 4
8 8 2 0
os4tos2t os cc dt c t dt
4
0
1 1 1 1 3 83 4cos 2 3 2sin 2 sin 4 3 24
16 16 4 16 4 640
os4tt c dt t t t
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16
f.
1 1 131 1 13 3 3 3
4 3 3 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1 11 .
x x x x dxdx dx
x x x x x x
Đặt : 2 2
1 11 1
1 8; 1 0
3
dxdt
xt t
x x x t x t
Khi đó
0 81 4 1 7 4
7 43 3 3 3 3
8 0
83 3 3 3 24 3 4681 .2 .2 16
07 4 7 4 7 4 7
I t t dt t t dt t t
* Chú ý : Còn có cách khác
Vì : 1 ;1 0
3
x x
. Đặt
1
3 1
2 3 33
42 2
1 1
1 1 1; ( )
1
t t tt tx dx dt f x dx dt dt
t t t t
t
1
1 33 23
2
11t t t dt dt t dt
t
(2) . Đặt : 2 2
1 1 11 1 ;u u du dt
t t t
Ví dụ 16. Tính
a.
3
5 2
2
dx
x x b.
1 7
24
0 1
x dx
x
c.
1 3
22
0
2
1
x x dx
x
d.
2 3
4
1
1 x dx
x
Giải
a.
3 3
5 2 2 2
2 2
1 1
1 1
dx dx
x x x x x x
Xét :
2 22 2
1( )
1 11 1
A B Cx D Ef x
x x x x xx x x x
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 ( 1)
1 1
A x x x Bx x x x Cx D x x E x x x
x x x x
4 3 2
2 21 1
B C E x A D C E x E D x Bx A
x x x x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
TH
File đính kèm:
CD4_TPHamPTHT.pdf
