Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Tích phân hàm vô tỷ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình ôn thi đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây. Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất  ; nI R x ax b dx  , trong đó  ; nR x ax b là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và n ax b , n là số tự nhiên, 2n  , 0a  . Phương pháp: Đặt nt ax b  . Dạng 2: Biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai Phương pháp 1: Xét tích phân  2;I R x ax bx c dx   , trong đó  2;R x ax bx c  là một hàm phân thức hữu tỷ đối với x và 2ax bx c  , 0a  . Đặt 2t ax bx c   . Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2. Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách đặt ẩn phụ tương ứng. Kiểu Phép đặt ẩn phụ  2 2a f x , 0x    sinf x a t , ; 2 2 t        2 2a f x , 0x    tanf x a t , ; 2 2 t         2 2f x a , 0x    cos af x t  ,  0; \ 2 t        BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính 1 0 1I x xdx  . Giải Đổi biến 1t x   21 2 x t dx tdt       . Đổi cận 0x   1t  , 1x   0t  . Suy ra I     0 2 1 1 2t t tdt     1 2 4 0 2 t t dt  3 5 1 1 1 12 3 5 0 0 t t          4 15  . Ví dụ 2. [ĐHA04] Tính 2 1 1 1 xI dx x    . Giải Đổi biến 1t x   2 1 2 x t dx tdt      . Đổi cận 1x   0t  , 2x   1t  . Do đó I 1 3 0 2 1 t t dt t    1 2 0 22 2 1 t t dt t         3 2 1 1 1 1 1 12 2 2 ln 1 3 2 0 0 0 0 t t t t             1 12 2 2ln 2 3 2         11 4ln 2 3   . Ví dụ 3. Tính 64 3 1 dxI x x   . Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Ta có     64 3 2 6 61 dxI x x    . Đổi biến: 6t x  6 56 x t dx t dt     . Đổi cận: 1x   1t  , 64x   2t  . I 2 5 3 2 1 6 t dt t t   2 3 1 6 1 t dt t   2 2 1 16 1 1 t t dt t         3 2 2 2 2 2 1 16 ln 1 3 2 1 1 1 1 t t t t             11 6 ln 3 6ln 2   . Ví dụ 4. [ĐHA05] 2 0 sin 2 sin 1 3cos x xI dx x     . Giải Ta có  2 0 2cos 1 sin 1 3cos x xdx I x     . Đổi biến: 1 3cost x   2 1cos 3 2sin 3 tx xdx tdt         . Đổi cận: 0x   2t  , 2 x   1t  . I    2 1 21 3 3 2 2. 1t tdt t        2 2 1 2 2 1 9 t dt  BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 3 2 2 2 2 9 3 1 1 t t            34 27  . Ví dụ 5. Tính 3 3 2 0 1 x dxI x    . Giải Ta có  23 2 0 1 x xdx I x    . Đổi biến: 2 1t x   2 2 1x t xdx tdt      . Đổi cận: 0x   1t  , 3x   2t  . I  22 1 1t tdt t      2 2 1 1t dt  3 2 2 1 3 1 1 t t  4 3  . Ví dụ 6. Tính 2 2 2 1 dxI x x    . Giải Ta có 2 2 2 2 1 xdxI x x    . Đổi biến: 2 1t x   2 2 1x t xdx tdt      . Đổi cận: 2x   1t  , 2x   3t  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 I   3 2 1 1 tdt t t   3 2 1 1 dt t   . Đổi biến tant u , ; 2 2 u         2 2 2 cos 11 cos dudt u t u        . Đổi cận 1t   4 u  , 3t   3 u  . Do đó 3 3 4 4 3 2 2 4 cos 1 12 cos du uI du u u             . Ví dụ 7. Tính   1 2 0 1 2 2 dxI x x x      . Giải Ta có     1 2 2 0 1 2 1 2 2 x dx I x x x x        . Đổi biến: 2 2 2t x x      2 22 2 1 x x t x dx tdt        . Đổi cận: 0x   2t  , 1x   5t  . I   5 2 2 1 tdt t t   5 2 2 1 dt t   5 1 1ln 2 1 2 t t    BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 1 5 1 2 1ln ln 2 5 1 2 1                         ln 5 1 ln 5 1 ln 2     . Ví dụ 8. Tính 1 2 1 28 2 dxI x x     . Giải Ta thấy  22 2 28 2 9 1 2 3 1x x x x x         . Đổi biến 1 3sinx t  , ; 2 2 t        2 2 2 28 2 3 3 sin 3 cos 3cosx x t t t      , 3cosdx tdt . Đổi cận 1 2 x    6 t   , 1x   0t  . Do đó 6 6 0 0 6 0 3cos 3cos 6 tdtI dt t t             . Ví dụ 9. Tính 3 2 2 1 1 x dxI x    . Giải Đặt tanx t , ; 2 2 t         2 22 2 12 2 cos cos 2 2 sin cossin cos 1 1 tan tan tan dt t t dt t tt t x dx td t x t      . Đổi cận 1x   4 t  , 3x   3 t  . I 3 4 2sin cos dt t t     3 4 2 2 cos sin cos tdt t t     BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7   3 4 2 2 sin sin 1 sin d t t t       3 2 2 2 2 21 du u u   ( sinu t , 0t   0u  , 6t    1 2 t  )     3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 u u du u u     3 2 2 2 2 2 1 1 1 du u u       3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1ln 2 1 u u u         2 3ln 2 1 ln 2 3 23      . Ví dụ 10. Tính 2 2 2 1 dxI x    . Giải Đặt 1 cos x t  ,  0; \ 2 t         2 sin cos sin2 cos cos1 tdt t t t dx dt tx    . Đổi cận 2x   4 t  , 2x   3 t  . I 3 4 cos dt t     3 4 2 cos cos tdt t     3 4 2 sin 1 sin d t t     BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 3 4 1 1 sinln 2 1 sin t t          ln 2 1 ln 2 3    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 C. BÀI TẬP Tính các tích phân sau. 1) 1 0 3 2 dxI x   . 2) 1 0 2 1 xdxI x   . 3) [ĐHD12] 4 0 4 1 2 1 2 xI dx x     . 4) 7 3 3 0 1 3 1 xI dx x    . 5) [ĐHB04] 1 1 3ln lne x xI dx x    . 6) [ĐHA06] 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin xI dx x x     . 7) ln 2 0 1xI e dx  . 8) 1 2 0 15I x x dx  . 9) 1 3 2 0 1I x x dx  . 10) [ĐHA03] 2 3 2 5 4 dxI x x    . 11) 4 2 2 16 dxI x x    . 12) 6 2 2 3 9 dxI x x    . 13) 4 2 4 3 3 4xI dx x    . 14) 2 2 2 2 1 1 xI dx x x       . 15) 2 2 2 1 4I x x dx    . 16) 1 2 2 3 4 dxI x x    .