Giáo án lớp 12 môn Đại số - Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm Tóm tắt lý thuyết Cho . Tiếp tuyến tại một điểm Tiếp tuyến với tại là đường thẳng . Ta cũng nói rằng tiếp xúc với hay tiếp xúc , hoặc và tiếp xúc nhau. Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của tại , ta phải hiểu rằng thuộc và là nơi xảy ra sự tiếp xúc. Tiếp tuyến qua một điểm Tiếp tuyến qua của là tiếp tuyến với tại một điểm nào đó. Điểm có thể thuộc hoặc không, trong trường hợp thuộc thì lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới). Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến qua của . Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của : . B2 đi qua khi và chỉ khi . Giải phương trình này để tìm . B3 Thay mỗi tìm được ở bước 2 vào phương trình , ta được một tiếp tuyến qua của . Các ví dụ Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng . Giải. Ta có . Lần lượt thay vào các biểu thức của và , ta được và . Suy ra phương trình tiếp tuyến với tại là: . Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu và thay cho và trong trường hợp bài toán chỉ đề cập đến một hàm số. Cho . Viết phương trình các tiếp tuyến của tại những giao điểm của với trục hoành. Giải. Từ phương trình của , cho ta được: . Suy ra có hai giao điểm với trục hoành là và . Từ suy ra , . Do đó phương trình tiếp tuyến với tại các điểm , lần lượt là: , . [ĐHB08] Cho . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm của . Giải. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là: . Điều kiện đi qua tương đương với . . . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm của là , . Bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của biết rằng: là đồ thị hàm số và hoành độ tiếp điểm bằng ; là đồ thị hàm số và tung độ tiếp điểm bằng ; là đồ thị hàm số và tiếp điểm là giao điểm của với trục tung; là đồ thị hàm số và tiếp tuyến đi qua ; là đồ thị hàm số và tiếp tuyến đi qua . Cho . Tìm những điểm thuộc mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ. Hướng dẫn và đáp số Bài 1 1) ; 2) , ; 3) ; 4) , , ; 5) , . Bài 2 . §2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến Tóm tắt lý thuyết Xét bài toán sau đây. Bài toán. Cho đồ thị hàm số . Tìm điều kiện của tham số để có tiếp tuyến thỏa mãn một điều kiện nào đó. Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của : . B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng để nhận được một phương trình ẩn . Tiếp tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm . Các ví dụ Cho . Chứng minh qua điểm không tồn tại tiếp tuyến của . Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của . đi qua nghĩa là . Vậy không tồn tại để đi qua . Nói cách khác qua không có tiếp tuyến của . Cho . Tìm để có tiếp tuyến đi qua . Giải. Phương trình tiếp tuyến với tại điểm có hoành độ là: . có tiếp tuyến đi qua khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với : . Ta có (). Do đó có nghiệm khi và chỉ khi . Vậy có tiếp tuyến đi qua khi và chỉ khi . Cho . Tìm trên đường thẳng các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của . Giải. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ () là: . Điểm nằm trên đường thẳng tọa độ có dạng . Qua có tiếp tuyến tới khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với : . Ta thấy . Trường hợp 1. . Khi đó trở thành . Trong trường hợp này có nghiệm có nghiệm. Trường hợp 2. . Khi đó là phương trình bậc hai có . Do đó, trong trường hợp này có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm, tức là . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là . [ĐHD02] Cho và . Tìm để tiếp xúc với . Giải. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ () là: . tiếp xúc với khi và chỉ khi tồn tại sao cho hai đường thẳng và trùng nhau. Tức là hệ sau đây có nghiệm đối với . Ta có . . vô nghiệm vô nghiệm. : . Thay vào vế trái của ta có là một nghiệm của có nghiệm. Vậy tiếp xúc với khi và chỉ khi . Cho . Tìm để đường thẳng tiếp xúc với . Với mỗi tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của và . Giải. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là: . tiếp xúc với khi và chỉ khi tồn tại sao cho và trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ sau đây có nghiệm đối với . . Thay vào ta có . Vậy tiếp xúc với khi và chỉ khi . Khi đó hoành độ tiếp điểm là . Bài tập Cho . Chứng minh rằng qua của , không tồn tại tiếp tuyến nào của . Tìm sao cho đồ thị hàm số có tiếp tuyến đi qua điểm . Cho . Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới ; Tìm những điểm trên đường thẳng mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới . Hướng dẫn và đáp số Bài 2 . Bài 3 1) Những điểm cần tìm có dạng với ; 2) Những điểm cần tìm có dạng với . §3. Hệ số góc của tiếp tuyến Giới thiệu Ta biết rằng là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ . Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. Các ví dụ Cho . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng của . Giải. Ta có . Ta có , . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: , . Cho . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của . Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của là: . Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi . Do đó nhỏ nhất bằng , đạt được khi và chỉ khi . Ta có , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của là: . [ĐHD10] Cho . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng của . Giải. Gọi là tiếp tuyến với tại điểm có hoành độ có hệ số góc là . . . Vậy tiếp tuyến vuông góc với của là . Chú ý. (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc) Cho và . Ta có: ; ; ; Cho , ta có: tạo với góc ; Đặc biệt, nếu thì: tạo với góc . [ĐHD05] Cho . Gọi là điểm thuộc có hoành độ bằng . Tìm để tiếp tuyến tại của song song với đường thẳng . Giải. Phương trình tiếp tuyến tại của là . Ta có . Do đó . Vậy tiếp tuyến tại của song song với đường thẳng . Cho . Gọi và lần lượt là các điểm có hoành độ bằng và của . Tìm để các tiếp tuyến của tại và vuông góc với nhau. Giải. Ta có hệ số góc các tiếp tuyến của tại và lần lượt là và . Do đó các tiếp tuyến của tại và vuông góc với nhau khi và chỉ khi . Bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của biết là đồ thị hàm số , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. là đồ thị hàm số , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Cho . Tìm để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là . Viết phương trình các tiếp tuyến đó. Viết phương trình tiếp tuyến của biết rằng [ĐHB06] là đồ thị hàm số và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . là đồ thị hàm số và tiếp tuyến song song với đường thẳng . là đồ thị hàm số và tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc . Tìm tất cả các điểm trên đồ thị của hàm số mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng . Cho . Tìm điều kiện của để có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Hướng dẫn và đáp số Bài 1 1) ; 2) . Bài 2 , thì tiếp tuyến là , thì tiếp tuyến là . Bài 3 1) , ; 2) 3) , , , . Bài 4 và . Bài 5 hoặc . §4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến Tóm tắt lý thuyết Phần này sử dụng một số kiến thức sau: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Cho điểm và đường thẳng . Ta có công thức tính khoảng cách từ đến : . Giao điểm của hai đường thẳng Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng. Một số ví dụ Cho . Viết phương trình các tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với góc . Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của là: . Ta có . . +) . +) . . +) . +) . Các tiếp tuyến tạo với góc của là: , , , . Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến cách một khoảng bằng . Giải. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ () là: . Do đó: . . . . . Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: , , , . Cho .Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến cách đều các điểm và . Giải. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ () là: . cách đều các điểm và khi và chỉ khi: . . . Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều và của là , . Cho . Tìm tọa độ điểm sao cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến của tại đạt giá trị lớn nhất. Giải. Giả sử là hoành độ của tiếp tuyến tại của có phương trình: . Theo bất đẳng thức Cô-si: , suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy khoảng cách lớn nhất bằng , đạt được khi và chỉ khi hoặc [ĐHD07] Cho . Tìm tọa độ điểm thuộc biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục , tại , sao cho tam giác có diện tích bằng . Giải. Ta có . Xét điểm , có hoành độ . Ta có phương trình tiếp tuyến với tại : . , . Ta có , . . Bài tập Cho . Tìm để tiếp tuyến của tại các điểm có hoành độ bằng và tạo với nhau một góc có cô-sin bằng . Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến cách một khoảng bằng . Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của biết khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất. [ĐHA09] Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm , sao cho tam giác cân tại . Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm , sao cho trung trực của đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ . Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ , lần lượt tại hai điểm , phân biệt sao cho . Hướng dẫn và đáp số Bài 1. hoặc . Bài 2. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: , , , . Bài 3. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:, . Bài 4. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là . Bài 5. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là , . Bài 6. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là . §5. Điều kiện tiếp xúc Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa (Hình 1). Cho và . và tiếp xúc với nhau tại điểm nếu cả hai điều kiện sau đây thỏa mãn: là một điểm chung của và ; Tiếp tuyến của hai đường cong tại trùng nhau. Điểm được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho. Hình 1 2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số và , ta xét hệ: . Ta có: và tiếp xúc nhau hệ có nghiệm đối với ; Nghiệm của chính là hoành độ tiếp điểm; là hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến chung của và tại điểm có hoành độ là: . Hệ quả. Đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ có nghiệm đối với . Một số ví dụ [SGKNC] Cho và . Chứng minh và tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung. Giải. Ký hiệu và . Xét hệ: . Ta có . Vậy và tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng . phương trình tiếp tuyến chung là: hay . [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng là tiếp tuyến của parabol () khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép. Giải. Ta có (). Do đó: có nghiệm kép . Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với . Ta có . có nghiệm là nghiệm của có nghiệm kép (ĐPCM). [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với parabol . Giải. Phương trình đường thẳng qua có hệ số góc có dạng . Xét phương trình hay (). tiếp xúc với parabol đã cho có nghiệm kép . . . Vậy qua điểm có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: và . [ĐHB08] Cho . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm của . Giải. Đường thẳng qua , hệ số góc có phương trình dạng . là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm . Thế vào ta có: . Do đó: có nghiệm là nghiệm của hoặc là nghiệm của . Thay vào ta có . Thay vào ta có . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm của là , . [ĐHD02] Cho và . Tìm để tiếp xúc với . Giải. tiếp xúc với khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với . Ta có Do đó có nghiệm khi và chỉ khi . Vậy tiếp xúc với . Bài tập [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung và . và . , và . [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm và chúng vuông góc với nhau. Viết phương trình tiếp tuyến qua của đồ thị trong các trường hợp sau: , là đồ thị hàm số . , là đồ thị hàm số . Chứng minh rằng qua có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm số . Tìm để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị . Hướng dẫn và đáp số Bài 1 1) ; 2) ; 3) . Chú ý. Ba đồ thị hàm số , , tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm đối với . Bài 2 Đường thẳng qua có hệ số góc . Ta chứng minh tồn tại hai giá trị của có tích bằng sao cho phương trình có nghiệm kép. Bài 3 1) , , ; 2) , . Bài 4 Chứng minh tồn tại hai giá trị của có tích bằng sao cho hệ có nghiệm. Bài 5 .