Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm A. Tóm tắt lý thuyết Cho  y f x  C . 1. Tiếp tuyến tại một điểm Tiếp tuyến với  C tại   0 0;M x f x là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc  0'f x . Như vậy, phương trình tiếp tuyến với  C tại M là     0 0 0: '   y f x x x f x . Ta cũng nói rằng:  tiếp xúc với  C hay  C tiếp xúc  hoặc  và  C tiếp xúc nhau. Δ O y x M x0;f x0( )( ) C( ) Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc  C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. 2. Tiếp tuyến qua một điểm Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó. Chú ý rằng điểm M có thể thuộc  C hoặc không, trong trường hợp thuộc  C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới). N M (C) M N (C) M≡N (C) BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho 2 2 1 3 1 x xy x      C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M có hoành độ bằng 1. Giải. Ta có   2 22 3 4 1' 3 1 x xy x     . Lần lượt thay 1x  vào các biểu thức của y và 'y , ta được   1' 1 8 y   và   11 4 y  . Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C tại M là:  1 1: 1 8 4 y x      1 3: 8 8 y x    . Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y và 'y thay cho f và 'f trong trường hợp bài toán chỉ đề cập đến một hàm số. Ví dụ 2. Cho 3 24 5 2y x x x     C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành. Giải. Từ phương trình của  C , cho 0y  ta được: 3 24 5 2 0x x x       22 1 0x x    2 1 x x      . Suy ra  C có hai giao điểm với trục hoành là  1 2;0M  và  2 1;0M  . Từ 2' 3 8 5y x x   suy ra  ' 2 1y   ,  ' 1 0y   . Do đó phương trình tiếp tuyến với  C tại các điểm 1M , 2M lần lượt là:  1 : 1. 2 0y x     1 : 2y x   ,  2 : 0. 1 0y x     2 : 0y  . Ví dụ 3. Cho 3 22 2 2 3 y x x x     C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Giải. Ta có  0' 2y x   2 0 02 2 2 2x x    2 0 0 2 0x x    0 0 1 2 x x     . Ta có   71 3 y   ,   22 3 y   . Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:  1 7: 2 1 3 y x     1 13: 2 3 y x   ,  2 2: 2 2 3 y x     2 14: 2 3 y x   . Ví dụ 4. Cho 3 23 12 5y x x x     C . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C . Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C là:    220 0 0 0' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x          15k   . Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi 0 1x  . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được khi và chỉ khi 0 1x  . Ta có  1 9f   , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là:  : 15 1 9y x      : 15 6y x    . Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho  3 24 6 1y x x C   . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm  1; 9M   của  C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x là:     0 0 0: 'y y x x x f x        2 3 2 0 0 0 0 0: 12 12 4 6 1y x x x x x x       . Điều kiện  đi qua  1; 9M   tương đương với   2 3 20 0 0 0 09 12 12 1 4 6 1x x x x x         3 20 0 08 6 12 10 0x x x     0 0 5 4 1 x x      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4  0 5 4 x       0 0 15' 4 9 16 y x y x         15 5 9: 4 4 16 y x         15 21: 4 4 y x   .  0 1x        0 0 ' 24 9 y x y x       : 24 1 9y x     : 24 15y x   . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là 15 21: 4 4 y x   , : 24 15y x   . Ví dụ 6. Cho   1 1 xy x x     C . Chứng minh qua điểm  1; 1I   không tồn tại tiếp tuyến của  C . Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C     0 0 0: 'y f x x x f x         002 00 12: 11 xy x x xx       . Điều kiện  đi qua  1; 1I   nghĩa là     002 00 121 1 11 xx xx         0 0 0 121 1 1 x x x        0 0 31 1 x x       0 0 0 1 3 1 0 x x x         0x  . Vậy không tồn tại 0x để  đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của  C . Ví dụ 7. Cho 24 3 6y x mx    C . Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua  1; 2A  . Giải. Phương trình tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: 'y y x x x y x         20 0 0 0: 8 3 4 3 6y x m x x x mx       .  C có tiếp tuyến đi qua  1; 2A  khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0x :    20 0 0 02 8 3 1 4 3 6x m x x mx       .  * BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 Ta có  *  20 04 8 3 8 0x x m    ( ' 12 48m   ). Do đó  * có nghiệm khi và chỉ khi ' 0   12 48 0m    4m   . Vậy  C có tiếp tuyến đi qua  1; 2A  khi và chỉ khi 4m   . Ví dụ 8. Cho 2 1 2 xy x     C . Tìm trên đường thẳng 3x  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của  C . Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 2x  ) là:      0 0 0: 'y y x x x y x         002 00 2 15: 22 xy x x xx       . Điểm A nằm trên đường thẳng 3x   tọa độ A có dạng  3;A a . Qua A có tiếp tuyến tới  C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với 0x :     002 00 2 15: 3 22 xa x xx       .  1 Ta thấy  1          20 0 0 0 0 0 2 5 3 2 1 2 2 0 2 0 a x x x x x x                      20 0 0 02 5 3 2 1 2a x x x x           20 02 2 2 1 4 17 0a x a x a      .  2 Trường hợp 1. 2 0a    2a  . Khi đó  2 trở thành BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 010 21 0x    0 21 10 x  . Trong trường hợp này  2 có nghiệm   1 có nghiệm. Trường hợp 2. 2 0a    2a  . Khi đó  2 là phương trình bậc hai có 5 35a    . Do đó, trong trường hợp này  1 có nghiệm khi và chỉ khi  2 có nghiệm, tức là 0   5 35 0a    7a  . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   3; 7A a a  . Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho     22 1 1 m x m y x x      C và :d y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d . Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 1x  ) là:      0 0 0: 'y y x x x y x        2 20 0 0 0 2 11: 1 1 m x mmy x x x x             2 2 20 0 0 0 0 2 11 1: 1 1 1 m x mm my x x x x x                   .  C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0x sao cho hai đường thẳng  và d trùng nhau. Tức là hệ sau đây có nghiệm đối với 0x   2 0 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 11 0 1 1 m x m x mm x x x                   .  * Ta có BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7  *        2 0 2 0 0 0 1 1 1 1 2 1 0 2 1 m x m x m x x              .  1  0 0 0 1 1 1 1 1 x x m x m           0 0 0 1 2 x x m x m       .  1m   2 1m m     1 vô nghiệm   * vô nghiệm.  1m  :  1  0 0 2 x m x m     . Thay 0x m vào vế trái của  2 ta có     22 1 2 0 1 m m m VT m m         0x m là một nghiệm của  *   * có nghiệm. Vậy  C tiếp xúc với d khi và chỉ khi 1m  . Ví dụ 10. Cho 4 28 7y x x    C . Tìm m để đường thẳng : 60d y x m  tiếp xúc với  C . Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C . Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: 'y y x x x y x          0 0 0 0: ' 'y y x x x y x y x    .  C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại 0x sao cho  và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ sau đây có nghiệm đối với 0x       0 0 0 0 ' 60 ' y x x y x y x m               0 0 0 ' 60 1 60 2 y x m x y x      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8  1  30 04 16 60x x   0 3x  . Thay 0 3x  vào  2 ta có 164m   . Vậy d tiếp xúc với  C khi và chỉ khi 164m   . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0 3x  . C. Bài tập Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng 1)  C là đồ thị hàm số 4 22 3y x x   và hoành độ tiếp điểm bằng 2 . 2)  C là đồ thị hàm số 2 3 4 1 x xy x     và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung. 3)  C là đồ thị hàm số 3 22 3 5y x x   và tiếp tuyến đi qua 19 ;4 12 A     . Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết 1)  C là đồ thị hàm số 3 23 5 1y x x x    , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2)  C là đồ thị hàm số 3 21 5 2 3 y x x x     , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 3)  C là đồ thị hàm số 5 45y x x  , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 4)  C là đồ thị hàm số 5 210y x x   , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Bài 3. Cho 3 21 1 3 y x mx x m      C . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó. Bài 4. Cho 3 22 3 12 1y x x x     C . Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ. Bài 5. Cho 1 xy x    C . Chứng minh rằng qua  1;1I của  C , không tồn tại tiếp tuyến nào của  C . Bài 6. Tìm m sao cho đồ thị hàm số 1 x my x m     có tiếp tuyến đi qua điểm  0; 2A  . D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) 24 43y x  . 2) 7 4y x  . 3) 12 15y x  , 6452132 128y x   , 4y  . Bài 2. 1) 2 2y x  . 2) 736y x  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 3) Hướng dẫn:    4 3 30 0 0 0 0' 5 20 5 4f x x x x x    .  0'f x min  04 0x   . Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương 0x , 0x , 0x , 03 12x  ta có:              4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 12 3 12 81 4 x x x x x x x x                    0' 135f x   , dấu “” xảy ra  0 3x   .  phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là : 135 243d y x   . 4) : 15 6d y x  . Bài 3. Hướng dẫn: ta có  22 2 2' 2 1 1 1y x mx x m m m          . Dấu “” xảy ra  x m . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là 2 1m  . Ta có 2 1 10m     3m   . Với 3m  , tiếp tuyến cần tìm là 1 : 10 11d y x   . Với 3m   , tiếp tuyến cần tìm là 2 : 10 13d y x   . Bài 4.  1;12M  . Bài 6. 2 1 3 m  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến A. Tóm tắt lý thuyết Phần này sử dụng một số kiến thức sau: 1. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc Cho 1 1 1: y k x m   và 2 2 2: y k x m   . Ta có:  1 2    1 2 1 2 k k m m    ;  1 2   1 2 1 2 k k m m    ;  1 2    1 2 1k k   ;  Cho  0 ;90    , ta có 1 tạo với 2 góc   1 2 1 2 tan 1 k k k k     ; Đặc biệt nếu 2 0k  thì: 1 tạo với 2 góc   1 tank  . 2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Cho điểm  0 0;M x y và đường thẳng : 0ax by c    ( 2 2 0a b  ). Ta có công thức tính khoảng cách từ M đến  :   0 0 2 2 ; ax by c d M a b      . 3. Giao điểm của hai đường thẳng Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD10] Cho 4 2 6y x x     C . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1: 1 6 d y x  của  C . Giải.  là tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ 0x thì  có hệ số góc là  0'f x . d    0 1 ' 1 6 f x     0' 6f x    30 04 2 6x x     0 1x  . 0 1x    0 4f x    : 6 1 4y x      : 6 10y x    . Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của  C là : 6 10y x    . Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho 3 21 1 3 2 3 my x x    mC . Gọi M là điểm thuộc  mC có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng : 5 0d x y  . Giải. Phương trình tiếp tuyến tại M của  mC là:      : ' 1 1 1y f x f        : 1 1 2 my m x       : 1 1 2 my m x     . Ta có : 5d y x . Do đó d   1 5 1 0 2 m m        4m  . Vậy tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng d  4m  . Ví dụ 3. Cho 3 22 4y x x x    C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 . Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến  tại điểm có hoành độ 0x của  C là:   20 0 0' 6 8 1k f x x x    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12  , 45Ox    tan 45k    1 1 k k     .  1k   20 06 8 1 1x x    0 4 0 3 0x x    . +) 0 0x    0 0f x   : y x  . +) 40 3x     280 27f x      2843 27: 1.y x     6427: y x   .  1k    20 06 8 1 1x x     0 1 0 3 1x x    . +) 0 1x    0 1f x     : 1 1y x      : y x   . +) 10 3x     10 27f x     1 13 27: y x      827: y x    . Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của  C là: y x , 6427: y x   , y x  , 827y x   . Ví dụ 4. Cho    4 21243 2f x mx m x     mC . Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng 1 và 2 của  mC . Tìm m để các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau. Giải. Ta có    3 112' 4 6f x mx m x    hệ số góc các tiếp tuyến của  mC tại A và B lần lượt là:   112' 1 10f m    và   16' 2 44f m  . Do đó các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi    ' 1 . ' 2 1f f      1 112 610 44 1m m      2 16 713 72440 0m m    1 24 71 1320 m m     . Ví dụ 5. Cho 1 2 1 xy x     C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cách 1 1; 2 2 I       một khoảng bằng 3 10 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 Giải. Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 1 2 x   ) là:     0 0 0: 'y f x x x f x         0 2 00 13 0 2 12 1 : xxxy x x            02 00 13 0 2 12 1 : xxxy x x         2 20 0 0: 3 2 1 2 4 1 0x x y x x       .          2 23 1 0 0 02 2 0 4 4 0 0 2 1 2 4 1 3 2 1 9 2 1 9 2 1 ; x x x x x x d I               . Do đó:   310;d A      0 4 0 3 2 1 3 109 2 1 x x         4 20 02 1 10 2 1 9 0x x          2 0 2 0 2 1 1 2 1 9 x x         0 0 0 0 0 1 1 2 x x x x          .  0 0x       0 0 ' 3 1 f x f x      : 3 1y x    .  0 1x        0 0 ' 3 2 f x f x        : 3 1 2y x      : 3 5y x    .  0 1x       1 0 3 0 ' 0 f x f x       13: 1y x     1 13 3: y x    .  0 2x        1 0 3 0 ' 1 f x f x        13: 2 1y x      513 3: y x    . Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 1y x   , 3 5y x   , 1 13 3y x   , 51 3 3y x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 Ví dụ 6. Cho   3 21xxf x   C .Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách đều các điểm  7;6A  và  3;10B  . Giải. PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0 1x   ) là:     0 0 0: 'y f x x x f x         0 2 00 3 25 0 11 : xxxy x x          2 20 0 0: 5 1 2 6 3 0x x y x x       .  cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:    , ,d A d B            2 22 2 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3 25 1 25 1 x x x x x x x x                   2 20 0 0 08 6 32 12 14 8x x x x      2 2 0 0 0 04 3 16 6 7 4x x x x        2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 4 3 16 6 7 4 4 3 16 6 7 4 x x x x x x x x                20 0 2 0 0 2 6 0 ' 5 0 2 0 voâ nghieämx x x x               0 0 1 2 x x     .  0 1x       5 0 4 1 0 2 'f x f x       54 12: 1y x      5 74 4: y x    .  0 2x        0 0 ' 5 7 f x f x        : 5 2 7y x      : 5 17y x    . Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của  C là: 5 74 4y x   , 5 17y x   . Ví dụ 7. Cho   2 11xxf x   C . Tìm tọa độ điểm  M C sao cho khoảng cách từ điểm  1;2I tới tiếp tuyến của  C tại M đạt giá trị lớn nhất. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 Giải. Giả sử 0x là hoành độ của M  tiếp tuyến tại M của ( )C có phương trình:     0 0 0: 'y f x x x f x        20 3 01 0 3: 2 1x y x x x          2 20 0 03 1 2 5 0x x y x x                   2 2 0 0 0 0 4 4 29 0 0 0210 3 2 1 2 2 1 6 1 6 9 1 9 1 1 , x x x x x x x x d I                  . Theo bất đẳng thức Cô-si:    2 0 29 01 1 2 9 6 x x     , vậy  , 6d I   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    202 0 9 1 1 x x      20 1 3x    0 1 3x    . Vậy khoảng cách  ,d I  lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi 0 1 3x      1 3;2 3M    hoặc  1 3 ;2 3M    Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho   2 1xxf x   C . Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . Giải. Ta có  2 2' 1 y x   . Xét điểm  M C , M có hoành độ 0x . Ta có PTTT với  C tại M :      0 0 0: y f x x x f x         0 2 00 22 0 11 : xxxy x x          2 0 2 2 0 0 22 1 1 : xx x x y      . A Ox       2 0 2 2 0 0 22 1 1: 0 xx x x y y A          20 ;0A x , B Oy       2 0 2 2 0 0 22 1 1: 0 xx x x x y B           20 202 10; xxB  . Ta có 20OA x ,   2 0 2 0 2 1 x x OB      0 2 0 4 . 2 1 xOA OB ABC x S    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 1 4OABS     0 2 0 4 1 41 x x     20 04 14x x     0 0 0 2 0 2 2 1 2 1 x x x x           0 0 0 0 2 2 2 1 0 2 1 0 7 0 voâ nghieäm x x x x               0 1 0 2 1x x       1;1 1 ; 2 2 M M          . C. Bài tập Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 1) [ĐHB06]  C là ĐTHS 2 12x xxy   và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 1d y x  . 2)  C là ĐTHS 1 22 1xxy   và tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 1 0d x y   . 3)  C là ĐTHS 3 21 12 2 2 1y x x x    và tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 3 1 0d x y   góc 45 . Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C của hàm số 31 23 3y x x   mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 1 23 3:d y x   . Bài 3. Cho  4 212 2 3y mx m x     mC . Tìm m để tiếp tuyến của  mC tại các điểm có hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng 3 13 . Bài 4. Cho    3 213 1 3 4 1y mx m x m x       m C . Tìm điều kiện của m để  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2012y x  . Bài 5. Cho 3 4xxy   C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách  4; 1A   một khoảng bằng 7 2 5 . Bài 6. Cho   13 4xxf x   C . Viết PTTT của  C biết khoảng cách từ điểm  4 13 3;I  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất. Bài 7. [ĐHA09] Cho    22 3xxf x C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O . Bài 8. Cho    32 1xxf x   C . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 Bài 9. Cho    2 2xxf x C . Viết PTTT của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho 2AB OA . D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 2 5y x    , 2 2 5y x    . 2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 7y x   . 3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 1 2 2y x  , 22912 54y x  , 2 1y x   , 29272y x   . Bài 2. Trên  C có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d là  2;0 và 42; 3       . Bài 3. 148m  hoặc 7240m   . Bài 4.  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2012y x   phương trình    20 02 1 3 4 1mx m x m      có nghiệm đối với 0x  1 1 2 m   . Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 15y x   , 7 43y x   , 317 7y x   , 251 7 7y x   . Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1y x  , 73y x  . Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2y x   . Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là 3 2 y x   , 5 2 y x   . Bài 9. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4y x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 Loại 3. Điều kiện tiếp xúc A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa (Hình 1). Cho  y f x  C và  y g x  'C .  C và  'C tiếp xúc với nhau tại điểm  0 0;M x y nếu cả hai điều kiện sau đây thỏa mãn:  M là một điểm chung của  C và  'C ;  Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau. Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho. y xO y0 x0 M Hình 1 2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xúc của hai ĐTHS  y f x  C và  y g x  'C , ta xét hệ:        ' ' f x g x f x g x    .  * Ta có:   C và  'C tiếp xúc nhau  hệ  * có nghiệm đối với x ;  Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm;  0x là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C và  'C tại điểm có hoành độ 0x là:     0 0 0'y f x x x f x   . Hệ quả. Đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của ĐTHS  y f x  C khi và chỉ khi hệ    ' f x kx m f x k     có nghiệm đối với x . B. Một số ví dụ BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 54 2y x x    C và 2 2y x x    'C . Chứng minh  C và  'C tiếp xúc nhau và viết PTTT chung. Giải. Ký hiệu   3 54 2f x x x   và   2 2g x x x   . Xét h