Giáo án lớp 12 môn Đại số - Tiếp tuyến và sự tiếp xúc (tiếp)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Mục lục Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm ..................................................2 B. Một số ví dụ ........................................................................................................................3 C. Bài tập .............................................................................................................................. 11 D. Hướng dẫn và đáp số ........................................................................................................ 12 Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến ................................................................... 13 A. Tóm tắt lý thuyết .............................................................................................................. 13 B. Một số ví dụ ...................................................................................................................... 13 C. Bài tập .............................................................................................................................. 22 D. Hướng dẫn và đáp số ........................................................................................................ 24 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm A. Tóm tắt lý thuyết Cho  y f x  C . * Tiếp tuyến tại một điểm (Hình 1): Tiếp tuyến với  C tại   0 0M x ;f x là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc  0f ' x . Như vậy, PTTT với  C tại M là:      0 0 0: y f ' x x x f x    . Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu rằng  M C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. Δ O y x M x0;f x0   C( ) Hình 1 * Tiếp tuyến qua một điểm: Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó. Ta có ba trường hợp sau: +) Trường hợp 1 (Hình 2):  M C . +) Trường hợp 2 (Hình 3):  M C , M không phải tiếp điểm. +) Trường hợp 3(Hình 4):  M C , M là tiếp điểm. Trong trường hợp này, tiếp tuyến qua M chính là tiếp tuyến tại M . N M (C) Hình 2 M N (C) Hình 3 M≡N (C) Hình 4 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho   2x x 1 23x 1 f x      C . Viết PTTT của  C tại điểm M có hoành độ bằng 1 . Giải Ta có   14f 1  ,     23x 4x 1 2 23x 1 f ' x        18f ' 1    PTTT với  C tại M là:  1 18 4: y x 1      31 8 8: y x    . Ví dụ 2. Cho   3 2f x x 4x 5x 2     C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành. Giải  M C Ox       3 2y x 4x 5x 2 1M : y 0 2        . Thay  2 vào  1 ta được 3 2x 4x 5x 2 0        2x 2 x 1 0    x 2 x 1      . Vậy  C có hai giao điểm với trục hoành là  1M 2;0 và  2M 1;0 . Ta có   2f ' x 3x 8x 5   . +)  f ' 2 1   PTTT với  C tại 1M là  1 : y 1. x 2 0     1 : y x 2   . +)  f ' 1 0   PTTT với  C tại 2M là  2 : y 0. x 1 0     2 : y 0  . Vậy phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành là 1 : y x 2   , 2 : y 0  . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Ví dụ 3. Cho   3 223f x x x 2x 2     C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là      0 0 0: y f ' x x x f x    .  có hệ số góc bằng 2 khi và chỉ khi  0f ' x 2  2 0 02x 2x 2 2    2 0 0x x 2 0    0 0 x 1 x 2     . +) 0x 1     70 3f x     7 3: y 2 x 1     13 3: y 2x   . +) 0x 2    20 3f x      2 3: y 2 x 2     14 3: y 2x   . Vậy phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C là: 13 3: y 2x   và 14 3: y 2x   . Ví dụ 4. Cho   3 2f x x 3x 12x 5     C . Viết PTTT có hệ số góc nhỏ nhất của  C . Giải Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C là:    220 0 0 0k f ' x 3x 6x 12 3 x 1 15       . Ta thấy k 15  , dấu “ ” xảy ra  0x 1 . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được  0x 1 .  f 1 9   tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là:  : y 15 x 1 9      : y 15x 6    . Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho    3 2f x 4x 6x 1 C   . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm  M 1; 9  của  C . Giải Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 5 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x        2 3 20 0 0 0 0: y 12x 12x x x 4x 6x 1       .  đi qua  M 1; 9      2 3 20 0 0 0 09 12x 12x 1 x 4x 6x 1         3 20 0 08x 6x 12x 10 0        20 04x 5 x 1 0    5 0 4 0 x x 1       . +) 50 4x       15 0 4 9 0 16 f ' x f x        15 5 94 64 1: y x     15 214 4: y x   . +) 0x 1       0 0 f ' x 24 f x 9        : y 24 x 1 9     : y 24x 15   . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là 15 214 4: y x   , : y 24x 15   . Ví dụ 6. Cho   1 xx 1f x     C . Chứng minh qua điểm  I 1; 1  không tồn tại tiếp tuyến của  C . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x         1 x02 02 x 10x 10 : y x x       . d đi qua  I 1; 1       1 x02 02 x 10x 10 1 1 x        Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 6 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội)  1 x02 x 1 x 10 0 1        3 x0 x 10 1       0 0 0 x 1 3 x x 1 0         0x  . Vậy không tồn tại 0x để  đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của  C . Ví dụ 7. Cho    2f x 4x 3mx 6 C   . Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2 . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x         20 0 0 0: y 8x 3m x x 4x 3mx 6       .  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2  0x :  đi qua A  phương trình:     20 0 0 02 8x 3m 1 x 4x 3mx 6        * có nghiệm đối với 0x . Ta có:  *  20 04x 8x 3m 8 0    ( ' 12m 48   ). Do đó  * có nghiệm  ' 0   12m 48 0   m 4  . Vậy  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2  m 4  . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 7 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Ví dụ 8. Cho   2x 1x 2f x     C . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của  C . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 2 ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         2x 15 002 x 20x 20 : y x x       . Điểm A nằm trên đường thẳng x 3  tọa độ A có dạng  A 3;a . Qua A có tiếp tuyến tới  C  tồn tại 0x sao cho  qua A  phương trình     2x 15 002 x 20x 20 a 3 x       1 có nghiệm đối với 0x . Ta thấy  1           20 0 0 0 0 0 a x 2 5 3 x 2x 1 x 2 x 2 0 x 2 0                       20 0 0 0a x 2 5 3 x 2x 1 x 2           20 0a 2 x 2 2a 1 x 4a 17 0       2 . * a 2 0   a 2 . Khi đó  2 trở thành 010x 21 0    210 10x  . Do đó trong trường hợp này  2 có nghiệm   1 có nghiệm. * a 2 0   a 2 . Khi đó  2 là phương trình bậc hai có ' 5a 35    . Do đó, trong trường hợp này  1 có nghiệm   2 có nghiệm  ' 0   5a 35 0    a 7 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 8 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   A 3;a a 7 . Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho     22m 1 x m x 1f x      C và d : y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 1 ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         22 2m 1 x m0m 1 0x 1 x 10 0 : y x x             .    22 2 2m 1 x m0m 1 m 1 0x 1 x 1 x 10 0 0 : y x x                     .  C tiếp xúc với d  0x : d   hệ   2 m 1 x 10 22 2m 1 x m0m 1 0x 1 x 10 0 1 x 0                       * có nghiệm đối với 0x . Ta có  *        2 m 1 x 10 22m 1 x m0 0 x 10 1 1 x 0 2                  1  0 0 0 x 1 x 1 m 1 x 1 1 m           0 0 0 x 1 x m x 2 m       . +) m 1  m 2 m 1     1 vô nghiệm   * vô nghiệm. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 9 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) +) m 1 :  1  0 0 x m x 2 m     . 0x m        22m 1 m m m 1VT 2 m 0 VP 2          0x m là một nghiệm của  *   * có nghiệm. Vậy  C tiếp xúc với d  m 1 . Ví dụ 10. Cho   4 2f x x 8x 7    C . Tìm m để đường thẳng d : y 60x m  tiếp xúc với  C . Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x          0 0 0: y f ' x x x f x    .       0 0 0 0: y f ' x x x f ' x f x    .  C tiếp xúc với d  0x : d   hệ       0 0 0 0 f ' x 60 x f ' x f x m        * có nghiệm đối với 0x . Ta có  *          0 0 0 f ' x 60 1 m 60x f x 2       . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 10 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội)  1  30 04x 16x 60   0x 3 . Thay 0x 3 vào  2 ta có: m 164  . Vậy d tiếp xúc với  C  m 164  . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0x 3 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 11 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) C. Bài tập Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 1)  C là ĐTHS   4 2f x x 2x 3   và hoành độ tiếp điểm bằng 2 . 2)  C là ĐTHS   2x 3x 4 x 1f x     và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung. 3)  C là ĐTHS   3 2f x 2x 3x 5   và tiếp tuyến đi qua  1912A ;4 . Bài 2. Viết PTTT của  C biết 1)  C là ĐTHS   3 2f x x 3x 5x 1    , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2)  C là ĐTHS   3 213f x x x 5x 2     , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 3)  C là ĐTHS   5 4f x x 5x  , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 4)  C là ĐTHS   5 2f x x 10x   , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Bài 3. Cho  3 21y x mx x m 1 C 3      . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó. Bài 4. Cho   3 2f x 2x 3x 12x 1     C . Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ. Bài 5. Cho   xx 1f x   C . Chứng minh rằng qua  I 1;1 của  C , không tồn tại tiếp tuyến nào của  C . Bài 6. Tìm m sao cho ĐTHS   x mx 1 mf x     có tiếp tuyến đi qua điểm  A 0; 2 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 12 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) y 24x 43  . 2) y 7x 4  . 3) y 12x 15  , 6452132 128y x   , y 4 . Bài 2. 1) y 2x 2  . 2) 73y 6x  . 3)    4 3 30 0 0 0 0f ' x 5x 20x 5x x 4    .  0f ' x min  04 x 0   . Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương 0x , 0x , 0x , 03x 12 ta có:                 4x x x 3x 120 0 0 0 0 0 0 0 4x x x 3x 12 81                    0f ' x 135  . Dấu “ ” xảy ra  0x 3  .  PTTT của hệ số góc nhỏ nhất của  C là: d : y 135x 243   . 4) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn nhất của  C là: d : y 15x 6  . Bài 3. Ta có  22 2 2y ' x 2mx 1 x m m 1 m 1          . Dấu “ ” xảy ra  x m . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là 2m 1  . Ta có 2m 1 10     m 3  . Với m 3 , tiếp tuyến cần tìm là 1d : y 10x 11   , Với m 3  , tiếp tuyến cần tìm là 2d : y 10x 13   . Bài 4. Trên  C có một điểm mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ là  M 1;12 . Bài 6. ĐTHS có tiếp tuyến qua  A 0; 2  23 m 1  . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 13 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến A. Tóm tắt lý thuyết Phần này sử dụng một số kiến thức sau: * Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc: Cho 1 1 1: y k x m   và 2 2 2: y k x m   . Ta có: +) 1 2    1 2 1 2 k k m m    . +) 1 2   1 2 1 2 k k m m    . + ) 1 2    1 2k k 1  . +) 1 tạo với 2 góc  (  0 ;90   )  k k1 21 k k1 2 tan     . Đặc biệt nếu 2k 0 ( 2d vuông góc với trục tung) thì: 1 tạo với 2 góc  (  0 ;90   )  1k tan  . * Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: cho điểm  0 0M x ;y và đường thẳng : ax by c 0    ( 2 2a b 0  ). Ta có công thức tính khoảng cách từ M đến  :   ax by c0 0 2 2a b d M;      . * Giao điểm của hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD10]   4 2f x x x 6     C . Viết PTTT vuông góc với đường thẳng 1 6d : y x 1  của  C . Giải Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 14 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội)  là tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ 0x   có hệ số góc là  0f ' x . d    1 06 .f ' x 1    0f ' x 6   30 04x 2x 6     30 02x x 3 0       20 0 0x 1 2x 2x 3      0 2 0 0 x 1 0 2x 2 0x 0 ' 53            voâ nghieäm  0x 1 . 0x 1   0f x 4   : y 6 x 1 4      : y 6x 10    . Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của  C là : y 6x 10    . Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho   3 21 m 13 2 3f x x x    mC . Gọi M là điểm thuộc  mC có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng d : 5x y 0  . Giải  là tiếp tuyến tại M của  mC       : y f ' 1 x 1 f 1          m2: y m 1 x 1        m2: y m 1 x 1     . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 15 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Ta có d : y 5x . Do đó d   m 2 m 1 5 1 0       m 4 . Vậy tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng d  m 4 . Ví dụ 3. Cho   3 2f x 2x 4x x    C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 . Giải Hệ số góc của tiếp tuyến  tại điểm có hoành độ 0x của  C là:   20 0 0k f ' x 6x 8x 1    .  ,Ox 45    k tan45   k 1 k 1     . * k 1  20 06x 8x 1 1    0 4 0 3 x 0 x    . +) 0x 0   0f x 0  : y x  . +) 40 3x     28 0 27f x      2843 27: y 1. x     6427: y x   . * k 1   20 06x 8x 1 1     0 1 0 3 x 1 x    . +) 0x 1   0f x 1    : y x 1 1      : y x   . +) 10 3x     1 0 27f x     1 13 27: y x      827: y x    . Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của  C là: y x , 6427: y x   , y x  , 8 27y x   . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 16 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Ví dụ 4. Cho    4 2124f x mx 3m x 2     mC . Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng 1 và 2 của  mC . Tìm m để các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau. Giải Ta có    3 112f ' x 4mx 6m x    hệ số góc các tiếp tuyến của  mC tại A và B lần lượt là:   112f ' 1 10m    và   1 6f ' 2 44m  . Do đó các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi    f ' 1 .f ' 2 1       1 112 610m 44m 1      2 16 713 72440m m 0    1 24 71 1320 m m       . Ví dụ 5. Cho   1 x2x 1f x     C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách  1 12 2I ; một khoảng bằng 3 10 . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 10 2x   ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         1 x3 002 2x 102x 10 : y x x            1 x3 002 2x 102x 10 : y x x       Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 17 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội)   2 20 0 0: 3x 2x 1 y 2x 4x 1 0       .          2 23 1 2x 1 2x 4x 10 00 3 2x 12 2 0 4 49 2x 1 9 2x 10 0 d I;               . Do đó:   3 10 d A;     3 2x 10 3 4 109 2x 10         4 20 02x 1 10 2x 1 9 0          2 0 2 0 2x 1 1 2x 1 9        0 0 0 0 x 0 x 1 x 1 x 2          . +) 0x 0      0 0 f ' x 3 f x 1       : y 3x 1    . +) 0x 1       0 0 f ' x 3 f x 2         : y 3 x 1 2      : y 3x 5    . +) 0x 1      1 0 3 0 f ' x f x 0        13: y x 1     1 1 3 3: y x    . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 18 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) +) 0x 2       1 0 3 0 f ' x f x 1         13: y x 2 1      51 3 3: y x    . Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 3x 1   , y 3x 5   , 1 13 3y x   , 51 3 3y x   . Ví dụ 6. Cho   3 21 x xf x     C .Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách đều các điểm  A 7;6 và  B 3;10 . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 1  ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         3 2x5 002 x 10x 10 : y x x          2 20 0 0: 5x x 1 y 2x 6x 3 0       .  cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:    d A, d B,            2 22 235 6 x 1 2x 6x 3 15 10 x 1 2x 6x 30 0 0 00 0 4 425 x 1 25 x 10 0                   2 20 0 0 08x 6x 32 12x 14x 8      2 20 0 0 04x 3x 16 6x 7x 4        2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 4x 3x 16 6x 7x 4 4x 3x 16 6x 7x 4               Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 19 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội)   voâ nghieäm20 0 2 0 0 x 2x 6 0 ' 5 0 x x 2 0                0 0 x 1 x 2     . +) 0x 1      5 0 4 1 0 2 f ' x f x        54 1 2: y x 1      5 7 4 4: y x    . +) 0x 2       0 0 f ' x 5 f x 7         : y 5 x 2 7      : y 5x 17    . Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của  C là: 5 74 4y x   , y 5x 17   . Ví dụ 7. Cho   2x 1x 1f x     C . Tìm tọa độ điểm  M C sao cho khoảng cách từ điểm  I 1;2 tới tiếp tuyến của  C tại M đạt giá trị lớn nhất. Giải Giả sử 0x là hoành độ của M  tiếp tuyến tại M của (C) có phương trình:      0 0 0: y f ' x x x f x        3 02x 1 00 3: y x x 2 x 1          2 20 0 03x x 1 y 2x x 5 0      .              2 23 2 x 1 2x 2x 10 00 6 x 10 6 4 4 299 x 1 9 x 1 x 10 0 02x 10 d I,                  . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 20 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Theo bất đẳng thức Cô-si:    29 02x 10 x 1 2 9 6      , vậy  d I, 6  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    202 0 9 x 1 x 1      20x 1 3   0x 1 3   . Vậy khoảng cách  d I, lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi 0x 1 3     M 1 3;2 3   hoặc  M 1 3;2 3   Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho    2xx 1f x C . Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho OAB có diện tích bằng 14 . Giải Ta có     2 2x 1 f ' x   . Xét điểm  M C , M có hoành độ 0x . Ta có PTTT với  C tại M :      0 0 0: y f x x x f x         2x02 02 x 10x 10 : y x x           22x02x 2 2x 1 x 10 0 : y      . A Ox        22x02x 2 2x 1 x 10 0A : y 0 y            20A x ;0 , B Oy       22x02x 2 2x 1 x 10 0A : x 0 y             22x0 2x 10 B 0;          . Ta có 20OA x ,   22x0 2x 10 OB      xOA.OB 0 ABC 2 2x 1 4 0 S    . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 21 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) 1 OAB 4S     x0 1 2 4x 10 4     20 04x x4 1    0 0 0 2 0 2 2x x 1 2x x 1          voâ nghieäm 0 0 0 0 2 2 2x x 1 0 2x x 1 0 7 0                0 1 0 2 x 1 x         12 M 1;1 M ; 2       . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 22 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) C. Bài tập Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 1) [ĐHB06]  C là ĐTHS 2x x 1 x 2y     và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y x 1  . 2)  C là ĐTHS 1 2x2x 1y    và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x y 1 0   . 3)  C là ĐTHS 3 21 12 2y x x 2x 1    và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3y 1 0   góc o45 . Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C của hàm số 31 23 3y x x   mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 1 23 3d : y x   . Bài 3. Cho  4 212y mx 2m x 3     mC . Tìm m để tiếp của  mC tại các điểm có hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng 3 13 . Bài 4. Cho    3 213y mx m 1 x 3m 4 x 1       mC . Tìm điều kiện của m để  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012  . Bài 5. Cho 3 xx 4y     C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách  A 4; 1  một khoảng bằng 7 2 5 . Bài 6. Cho   x 13x 4f x     C . Viết PTTT của  C biết khoảng cách từ điểm  4 13 3I ; tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất. Bài 7. [ĐHA09] Cho    x 22x 3f x C    . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho OAB cân tại O . Bài 8. Cho       x 3 2 x 1 f x C   . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 23 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) Bài 9. Cho    2xx 2f x C . Viết PTTT của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA 2 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 24 ThS Phạm Hồng Phong – Giáo viên TT Trọng Đức (24 Ao Sen, Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội) D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 2 2 5    , y x 2 2 5    . 2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 4x 7   . 3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 1 2 2y x  , 2291 2 54y x  , y 2x 1   , 29 27y 2x   . Bài 2. Trên  C có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d là:  2;0 và  432; . Bài 3. 148m  hoặc 7 240m   . Bài 4.  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012   phương trình    20 0mx 2 m 1 x 3m 4 1      có nghiệm đối với 0x  12 m 1   . Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 7x 15   , y 7x 43   , 317 7y x   , 251 7 7y x   . Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 1  , 73y x  . Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2   . Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là: 32y x   , 5 2y x   . Bài 9. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 4   .