Giáo án lớp 12 môn Đại số - Tiết 47: Nguyên hàm

Ngày: 07/12/2005 chương III: nguyên hàm và tích phân Tiết PPCT: 47 Đ1. nguyên hàm (Tiết 1: Định nghĩa - Họ các nguyên hàm) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh nắm được khái niệm, định nghĩa nguyên hàm. Nắm vững nội dung và biết cách chứng minh các định lí về họ các nguyên hàm. • Trọng tâm: Hs nắm vững định nghĩa nguyên hàm và nội dung các định lí. B. hướng đích và gợi động cơ. HĐ 1: Chúng ta đã biết rằng v(t) = f’(t) với s=f(t). Tuy nhiên nhiều khi ta phải giải bài toán ngược lại, tức là: Tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f’(t) của nó. C. làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Tìm hiểu SGK. Tại sao? Xét F1(x) = x2 + 3? (sinx)’ = ? ị? (sinx+5)’ = ? Giải thích tại sao? HĐ 3: - Giải thích định lí? - ý nghĩa? - Giải thích Bổ đề? - Chứng minh bổ đề? - Định lí lagrange? F’(c)=? tại sao? HĐ 4: - C/m F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x)? - C/m mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C? HĐ 5: - Lưu ý nắm vững các khái niệm. - Tìm các nguyên hàm trong ví dụ? 1. Định nghĩa. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi xẻ(a; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b] thì phải có thêm: F’(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b) Ví dụ: a) F(x) = x2 là một nguuyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên . Vì (x2)’ = 2x. Và F1(x) = x2 + 3 cũng là một nguyên hàm của hs f(x) = 2x trên . Vì ta cũng có (x2 + 3)’ = 2x. b) G(x) = sinx là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên vì (sinx)’ = cosx. G1(x) = sinx+5 cũng là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên vì ta cũng có (sinx+5)’ = cosx. Nhận xét: Mọi hàm số dạng F(x) = x2 + C (C = const) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x và mọi hs dạng G(x)=sinx+C đều là nguyên hàm của hàm số g(x) = cosx. Vì (x2 + C)’ = 2x và (sinx + C)’ = cosx. Một cách tổng quát ta có: 2. Định lí. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì: i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó. ii) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên (a; b) đều có thể viết dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số. Tức: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì là họ các nguyên hàm của f(x). Để chứng minh định lí ta xét Bổ đề sau: Nếu F’(x) = 0 trên (a; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. Chứng minh. Xét phần tử cố định x0ẻ(a; b). • Nếu x = x0 thì F(x) = F(x0). • Nếu x≠x0, theo định lí Lagrange tồn tại số c nằm giữa x và x0 sao cho: F(x) - F(x0) = F’(c)(x-x0) Nhưng do cẻ(a; b) nên F’(c) = 0. Vậy ta có: F(x) - F(x0) = 0 hay F(x) = F(x0). Như vậy, với mọi xẻ(a; b) ta có: F(x) = F(x0). Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên (a; b). Chứng minh định lí. 1) Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b). Vì vậy F’(x) = f(x) "xẻ(a; b). Khi đó ta cũng có: (F(x)+C)’ = F’(x) + 0 = f(x) nên F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b). 2) Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b). Tức là G’(x) = f(x) "xẻ(a; b). Khi đó ta có: (G(x) - F(x))’ =G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) =0 Theo Bổ đề trên suy ra: G(x) - F(x) = C (C= const) Tức là G(x) = F(x) +C.  Từ định lí ta có: Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của f(x). Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là: Đọc: Tích phân bất định của f(x) hoặc họ các nguyên hàm của f(x). Ta có: , trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) và C là hằng số tuỳ ý. Dấu gọi là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Ví dụ: D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: - Nắm vững định nghĩa nguyên hàm. - Nội dung định lí, phép chứng minh định lí. Bài tập về nhà: Làm bài tập 1a, b, c, d SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ngày: 07/12/2005 Tiết PPCT: 48 Đ1. nguyên hàm (Tiết 2: Các tính chất và sự tồn tại nguyên hàm) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh nắm được các tính chất của nguyên hàm và nội dung của định lí về sự tồn tại nguyên hàm. Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán. • Trọng tâm: Hs nắm vững các tính chất của nguyên hàm và biết cách vận dụng để giải toán. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: - Phát biểu định nghĩa nguyên hàm. - Tính ; C. làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Tìm hiểu SGK. ị F’(x)=? ị Chứng minh aF(x) cũng là một nguyên hàm của af(x)? - - Chứng minh F(x)+G(x) là một nguyên hàm của hs (f(x)+g(x))? HĐ 3: - Ta cần chứng minh điều gì? [F(u(x))]’=? F’(u) = ? ị HĐ 4: Tương tự tính J? 3. Các tính chất của nguyên hàm. Tính chất 1: Do với F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C = const nên . Tính chất 2: Chứng minh Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có: mà nên aF(x) là một nguyên hàm của af(x), vì a≠0 và C là hằng số tùy ý nên aC cũng là hằng số tùy ý. Hiển nhiên ta có cũng là họ nguyên hàm của hs af(x). ịđpcm Tính chất 3: Chứng minh. Nếu F(x) và G(x) là các nguyên hàm của f(x) và g(x) thì ta có: . Mà nên F(x)+G(x) là một nguyên hàm của hs (f(x)+g(x)). Vì C1 và C2 là các hằng số tùy ý nên C = C1 + C2 cũng là hằng số tùy ý. Do đó ta có đpcm. Tính chất 4: Nếu Hay nếu F(t) là một nguyên hàm của hs f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(u(x)).u’(x). Chứng minh. Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, đặt u=u(x) thì ta có: . Vì theo giả thiết ta có . Chú ý: Do u’(x)dx = du nên nếu đặt u=u(x) thì tính chất 4 được phát biểu như sau: 4. Sự tồn tại nguyên hàm. Định lí. Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Từ nay ta giả thiết các hàm số được xét đều liên tục (nếu không lưu ý gì thêm) do đó chúng đều tồn tại nguyên hàm. Ví dụ: 1) Tính: Hướng dẫn giải. a) Ta có: b) D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Nắm vững các tính chất của nguyên hàm. - Xem lại các ví dụ. - Xem bảng các nguyên hàm cơ bản. Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3- SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ngày: 08/12/2005 Tiết PPCT: 49 Đ1. nguyên hàm (Tiết 3: Bảng các nguyên hàm cơ bản - Ví dụ) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh hiểu các xây dựng bảng nguyên hàm và nắm vững các công thức tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán. • Trọng tâm: Hs nắm vững nội dung bảng các nguyên hàm cơ bản.. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: - Phát biểu các tính chất của nguyên hàm. C. làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Tìm hiểu SGK. x’ = ? ị =? (x5)’=? ị (lnx)’=? (ex)’=? (ax)’=? (sinx)’=? (cosx)’=? (tgx)’=? (cotgx)’=? HĐ 3: Vận dụng ị I1 =? Tích phân hàm luỹ thừa? HĐ 4: u = 2x+5 ị du=? t = cosx ị đường thẳng = ?dx d(ex+1)=? HĐ5: Tính du? ị I6 = ? Biến đổi về cosx, cos2x? Tương tự tính I8? 5. Bảng các nguyên hàm. Nguyên hàm các hs sơ cấp Nguyên hàm của hs hợp =x + C = u + C (a≠-1) (a≠-1) (u=u(x)≠0) = ex + C = eu + C (0<a≠1) (0<a≠1) = -cosx + C = -cosu + C = sinx + C = sinu + C = tgx + C = tgu + C = -cotgx + C = -cotgu + C 6. Các ví dụ về tính nguyên hàm. Ví dụ 1. = Ví dụ 2. = Ví dụ 3. Ví dụ 4. Ví dụ 5. Ví dụ 6. , đặt u =2lnx+3 ị Do đó . Hay Ví dụ 7. = Ví dụ 8. . Đặt ị D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: - Nắm vững bảng các nguyên hàm cơ bản. - Xem lại các ví dụ. Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3- SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ngày: 08/12/2005 Tiết PPCT: 50 Đ1. nguyên hàm (Tiết 4: Luyện tập) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh củng cố được định nghĩa, các tính chất và khắc sâu bảng nguyên hàm cơ bản. Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản. • Trọng tâm: Hs khắc sâu bảng các nguyên hàm cơ bản - Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: - Tính các nguyên hàm: C. luyện tập. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Nguyên hàm của tổng các hs? - Nguyên hàm của hs lũy thừa? - Đưa về hs luỹ thừa? - Nhận xét về hs dưới dấu tích phân? HĐ 3: Nguyên hàm của hs mũ? Nguyên hàm của các hs lượng giác? Tương tự tính các nguyên hàm còn lại? HĐ 4: - Xác định du theo dx? ị E1 = ? Đặt u -=? Tính du? Tương tự cho các nguyên hàm còn lại? Bài số 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau: Hướng dẫn giải. a) b) c) d) Bài số 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hướng dẫn giải. a) b) = c) d) Bài số 3. Tính: Hướng dẫn giải. a) Đặt u = ax+b ị du = adx ị b) Đặt c) Đặt u = cosx ị du =-sinxdx ị d) Đặt u = 3cosxị du = -3sinxdx Bài tập ra thêm: Bài số 4. Tính: D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Nắm vững bảng các nguyên hàm cơ bản. - Chú ý nguyên hàm của hàm số hợp. - Xem lại các ví dụ. Bài tập về nhà: Làm bài số 4. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ngày: 14/12/2005 Tiết PPCT: 51 Đ1. nguyên hàm (Tiết 5: Luyện tập) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. Biết cách phân loại và định hình phương pháp tìm nguyên hàm của các hàm số.. • Trọng tâm: Học sinh thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: - Tính các nguyên hàm: C. luyện tập. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Biến số là gì? - Nguyên hàm của tổng các hs? - Khai triển thành nguyên hàm của tổng? =? - Phân tích hs dưới dấu tích phân thành tổng? HĐ 3: - Phương pháp giải? F(2) = 0 ị ? Tính C = ? Tương tự giải câu c)? HĐ 4: - Nhân với lượng liên hợp, khử căn ở mẫu thức? Tương tự, giải câu b)? Bài số 1. Tính: Hướng dẫn giải. a) b) c) Có Do đó = Bài số 2. Tìm nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số f(x) sau đây, biết rằng nguyên hàm đó thoả mãn điều kiện tương ứng đã chỉ ra. Hướng dẫn giải. a) Có Vì F(2) = 0 nên 8 + 16 -10 + C = 0 ị C = -14 Vậy nguyên hàm phải tìm là b) Vì F(-2) = 0 nên ta có: Vậy nguyên hàm cần tìm là: c) Vì F(1) = 0 nên e + C = 0 Û C = -e Vậy nguyên hàm cần tìm là Bài số 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số: Hướng dẫn giải. a) b) Hướng dẫn: Đặt u = x-1. D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Xem lại lời giải các bài toán đã trình bày? - Chú ý nguyên hàm của hàm số hợp. Bài tập về nhà: Làm bài tập 3a, d, h, i - SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ngày: 15/12/2005 Tiết PPCT: 52 Đ2. tích phân (Tiết 1: Diện tích hình thang cong) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong. Nắm được nội dung định lí về diện tích hình thang cong. • Trọng tâm: Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong. B. hướng đích và gợi động cơ. HĐ 1: Chúng ta đã biết cách tính diện tích của các hình đa giác và đã được giới thiệu về cách tính gần đúng diện tích của các hình phẳng giứoi hạn bởi các đường cong, điểm chung của phương pháp này là sử dụng lưới ô vuông. Bài toán hôm nay sẽ giúp chúng ta tính toán chính xác diện tích của các hình như vậy. C. Làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Khái niệm hình thang cong và tam giac cong? - Cách tính diện tích hình đế giày? HĐ 3: - Đưa về bài toán đơn giản hơn? - Có thể giả thiết f(x) đơn điệu không? HĐ 4: Tức S’(x)=? - So sánh diện tích hình thang cong aABb với diện tích các hình chữ nhật MNè và MNPQ? - Từ (1) và (2) ta có? - Giải thích (3)? ị ị Diện tích aABb? HĐ 5: 1. Diện tích của hình thang cong. - Thay cạnh huyền của một tam giác vuông bới một đường cong ta được một tam giác cong. - Thay cạnh bên không vuông góc với đáy của một hình thang vuông bởi một đường cong ta được một hình thang cong. - Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một số hình thang cong (tam giác cong) Bài toán. Tính diện tích của hình thang cong aABb giới hạởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), f(x)≥0, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. a b A B x O y y O b a B A F E Q P x0 x Hình 1 Hình 2 M N Nhận xét: Có thể chia đoạn [a; b] thành các đoạn con mà trên mỗi đoạn đó f(x) là đơn điệu. Do đó chỉ cần giải bài toán trên với giả thiết f(x) đơn điệu trên [a; b]. Chẳng hạn f(x) đồng biến trên [a; b]. - Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song với Oy. Ta chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b]. Thật vậy, giả sử x0 là một điểm tùy ý thuộc [a; b]. ta chứng minh $S’(x0) và S’(x0) = f(x0). 1) Nếu x0< x≤b, khi đó S(x) - S(x0) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi (C), Ox và 2 đường thẳng song song với Oy, đi qua x và x0. Nhận thấy: 2) Nếu a≤x≤ x0 tương tự ta có: Từ (1) và (2) suy ra: Do f(x) liên tục tại x0 nên Do đó từ (3) ị hay $S’(x0) và S’(x0)=f(x0). Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b). Nếu x0=aị S’(a+)=f(a), x0=bịS’(b-)=f(b). Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. ị Diện tích của hình thang cong aABb là S(b). • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì tồn tại hằng số C sao cho S(x) = F(x) +C. Với chú ý S(a) = 0 ta có: S(a) = F(a) +C = 0ị C=-F(a). Vậy S(x) = F(x) - F(a)Vậy diẹn tích hình thang cong aABb là S(b) = F(b) - F(a). Định lí. Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) ≥0 trên đoạn [a; b]. Thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b là S=F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x) trên [a; b]. D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: - Khái niệm tam giác cong, hình thang cong? - Xem lại toàn bộ bài toán tính diện tích hình thang cong. - Nắm vững nội dung định lí. Tìm hiểu sgk mục 2, 3.. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ngày: 15/12/2005 Tiết PPCT: 53 Đ2. tích phân (Tiết 2: Định nghĩa và các tính chất của tích phân) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh nắm vững định nghĩa tích phân, ý nghĩa hình học của tích phân. Nắm được các tính chất của tích phân và biết cách vận dụng để giải toán.. • Trọng tâm: Học sinh thành thạo kỹ năng vận dụng định nghĩa và các tính chất để tính tích phân. B. hướng đích và gợi động cơ. HĐ 1: Phát biểu định lí về cách tính diện tích của hình thang cong? C. Làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: - Khái niệm hình thang cong và tam giac cong? - Cách tính diện tích hình đế giày? HĐ 3: - Đưa về bài toán đơn giản hơn? - Có thể giả thiết f(x) đơn điệu không? HĐ 4: Tức S’(x)=? - So sánh diện tích hình thang cong aABb với diện tích các hình chữ nhật MNè và MNPQ? - Từ (1) và (2) ta có? - Giải thích (3)? ị ị Diện tích aABb? HĐ 5: 2. Định nghĩa tích phân. Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K. Nhận xét: Có thể chia đoạn [a; b] thành các đoạn con mà trên mỗi đoạn đó f(x) là đơn điệu. Do đó chỉ cần giải bài toán trên với giả thiết f(x) đơn điệu trên [a; b]. Chẳng hạn f(x) đồng biến trên [a; b]. - Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song với Oy. Ta chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b]. Thật vậy, giả sử x0 là một điểm tùy ý thuộc [a; b]. ta chứng minh $S’(x0) và S’(x0) = f(x0). 1) Nếu x0< x≤b, khi đó S(x) - S(x0) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi (C), Ox và 2 đường thẳng song song với Oy, đi qua x và x0. Nhận thấy: 2) Nếu a≤x≤ x0 tương tự ta có: Từ (1) và (2) suy ra: Do f(x) liên tục tại x0 nên Do đó từ (3) ị hay $S’(x0) và S’(x0)=f(x0). Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b). Nếu x0=aị S’(a+)=f(a), x0=bịS’(b-)=f(b). Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. ị Diện tích của hình thang cong aABb là S(b). • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì tồn tại hằng số C sao cho S(x) = F(x) +C. Với chú ý S(a) = 0 ta có: S(a) = F(a) +C = 0ị C=-F(a). Vậy S(x) = F(x) - F(a)Vậy diẹn tích hình thang cong aABb là S(b) = F(b) - F(a). Định lí. Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) ≥0 trên đoạn [a; b]. Thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b là S=F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x) trên [a; b]. D. Củng cố – hướng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: - Khái niệm tam giác cong, hình thang cong? - Xem lại toàn bộ bài toán tính diện tích hình thang cong. - Nắm vững nội dung định lí. Tìm hiểu sgk mục 2, 3.. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................