Giáo án lớp 12 môn đại số - Tiết 49: Giới hạn của dãy số

Ngày soạn: 5/01/2009 Ngày dạy: 8/01/2009 Lớp dạy: D, E, G Ch−ơng iv: giới hạn Tiết 49: giới hạn của dy số 1. Mục tiêu: a) Kiến thức: Biết đ−ợc khái niệm giới hạn của d)y số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. b) Kĩ năng: Biết đ−ợc khái niệm d)y số và vận dụng nó vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn Vận dụng định lí về d)y số để tìm giới hạn c) Thái độ: Tự giác, tích cực học tập T− duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống 2. Chuẩn bị của GV và Hs : a) Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. b) Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi 3. Tiến trình bài dạy : a) Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới b) Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (15’) Cho học sinh xét bài toán 1 cho học sinh phát biểu khái niệm. cho học sinh xét ví dụ 1 Biểu diễn ( nu ) trên trục số. 1 2 3?, ?, ?,u u u= = = Xét bài toán 1 Phát biểu định nghĩa Đọc ví dụ và xét nội dung I, Giới hạn hữu hạn của d)y số: 1, Định nghĩa: Ta nói d)y số ( )nu có giới hạn là 0 khi n dần tới d−ơng vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một số d−ơng bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Kí hiệu : lim 0 n n u →+∞ = hay 0 n u → khi n → +∞ Ví dụ 1: cho d)y số ( n u ) với 2 ( 1)n n u n − = Biểu diễn ( n u ) trên trục số Nhận xét vị trí của các 1 2 3, , ...,u u u với điểm 0 ? Hoạt động 2 (25’) Cho hs phát biểu định nghĩa Xét ví dụ 2: Chứng minh lim 2 n n v →+∞ = Phân tích ví dụ và tìm cách chứng minh? Cho học sinh phát biểu các giới hạn đặc biệt Hoạt động 3 Cho học sinh phát biểu nội dung định lí ? Phát biểu khái niệm 2 Dựa theo khái niệm 2 ta có: ( )lim 2 2 1 1lim 2 lim 0 n n n n v n n n →+∞ →+∞ →+∞ − = +  − = =    Nắm đ−ợc các giới hạn đặc biệt: 1 1lim 0; lim 0kn nn n→+∞ →+∞ = = lim 0n n q →+∞ = lim limn n n u c c →+∞ →+∞ = = Phát biểu nội dung của định lí 1 Ta chứng minh đ−ợc rằng : lim 0 n x u →+∞ = nghĩa là : nu có thể lớn hơn một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn : 2 2 ( 1) 1 0,01 n nu n n − = = < hay 2 1 1 100n u n = < Với mọi n thoả m)n 2 100n > hay 10n > Định nghĩa 2: Ta nói d)y số ( ) n v có giới hạn là số a (hay ( ) n v dần tới a) khi n → +∞ : nếu ( )lim 0n x v a →+∞ − = Kí hiệu : lim n n v a →+∞ = hay nv a→ khi n → +∞ Ví dụ 2: Cho d)y số ( )nv với 2 1 n n v n + = Chứng minh rằng lim 2n n v →+∞ = Giải : Ta có: ( ) 2 1lim 2 lim 2 1lim 0 n n n n n v n n →+∞ →+∞ →+∞ +  − = −    = = Vậy : 2 1lim lim 2n n n n v n→+∞ →+∞ + = = 2.Một vài giới hạn đặc biệt : a, 1 1lim 0; lim 0kn nn n→+∞ →+∞ = = với k nguyên d−ơng; b, lim 0n n q →+∞ = nếu 1d < c, Nếu lim n n u c →+∞ = (c là hằng số) thì lim limn n n u c c →+∞ →+∞ = = 0 1u 1− 02u3u 4u 1 9 − 5u 1 25 − 1 16 1 4 Cho học sinh làm ví dụ củng cố lí thuyết. Cho học sinh đọc ví dụ 3 và h−ớng dẫn giải Ph−ơng pháp: Vận dụng định lí đ−a về các giới hạn đặc biệt tính các giới hạn đặc biệt? Chia tử số và mẫu số cho 2 n , ta đ−ợc 2 2 133 1 11 . 1 n n n n n n − − = + + Chú ý : Viết lim n n u a →+∞ = ta viết tắt lim nu a= II, Định lí về giới hạn hữu hạn : Định lí 1: a, Nếu lim nu a= và lim nv b= thì : ( )* lim n nu v a b + = + ( )*lim . .n nu v a b= ( )lim n nu v a b∗ − = + lim ( 0)n n u a b v b   ∗ = ≠    b, nếu 0nu ≥ với mọi n và lim nu a= thì 0a ≥ và lim nu a= Ví dụ 3. Tìm 2 2 3lim 1 n n n − + Giải : Chia tử số và mẫu số cho 2n , ta đ−ợc 2 2 133 1 11 . 1 n n n n n n − − = + + Vì 1 1lim 3 lim3 lim 3 0 3 n n   − = − = − =    Và 1 1 1 1lim . 1 lim lim. lim1 0.0 1 1 n n n n   + = +    = + = nên : 2 2 3lim 3 1 n n n − = + c, Củng cố, luyện tập. Biết đ−ợc khái niệm giới hạn của d)y số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. d, H−ớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập 1,3,4,5 Ngày soạn: 12/01/2009 Ngày dạy: 15/01/2009 Lớp dạy: D, E, G Tiết 50: giới hạn của dy số (tiếp theo) 1, Mục tiêu: a, Kiến thức: Biết đ−ợc khái niệm giới hạn của d)y số ở vô cực, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó, b, Kĩ năng: Biết đ−ợc khái niệm d)y số ở vô cực và vận dụng nó vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn Giải tốt một số bài toán tìm giới hạn đơn giản c, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập T− duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống 2, Chuẩn bị của GV và Hs : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi 3, Tiến trình bài dạy : a, Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới b, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (15’) Cho học sinh nắm đ−ợc khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn? Trình bày các b−ớc xây dựng cấp số nhân? 2 3 ... ?n nS u u u u= + + + + = Phát biểu định nghĩa +là cấp số nhân vô hạn + 1q < cho cấp số nhân lùi vô hạn ( )nu có công bội q 1 2 3 1 1 (1 ) ... 1 1 1 n n n n u qS u u u u q u u q q q − = + + + + = − = − − − III,Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa: cấp số nhân vô hạn ( )nu có công bội q , với 1q < đ−ợc gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. ví dụ : 1 1 1 1 , , ,..., ,... 2 4 8 2n với công bội 1 2 q = *cho cấp số nhân lùi vô hạn ( )nu có công bội q.Khi đó : 1 2 3 1 1 (1 ) ... 1 1 1 n n n n u qS u u u u q u u q q q − = + + + + = − = − − − Lấy giới hạn hai vế ta đ−ợc? Kết luận ? Hoạt động 2(15’) Xét bài toán 2 sgk/ 117 cho học sinh nêu định nghĩa và nhận xét xét ví dụ 1 Nêu các giới hạn đặc biệt ? Cho hs phát biểu nội dung định lí H−ớng dẫn học sinh làm các ví dụ : Ph−ơng pháp: Đ−a về các giới hạn đ) biết. Chia cả tử và mẫu cho ta đ−ợc tính các giới hạn? lim3 ?n = ; 5lim 2 2 n   + =    1 1 1lim lim 1 1 1 n n u u q uS q q q   = − =  − − −  Phát biểu đinh nghĩa và nhận xét , lim ( )ka n k + = +∞ ∈ Ζ , lim nb q = +∞ nếu 1q > Học sinh phát biểu và vận dụng định lí vào giải các ví dụ. xét ví dụ : 2 5lim .3n n n + Chia cả tử và mẫu cho n ta đ−ợc 522 5 .3 3n n n n n ++ = Vì 1q < nên lim 0nq = từ đó ta có: 1 1 1lim lim 1 1 1 n n u u q uS q q q   = − =  − − −  Giới hạn này đ−ợc gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( ) n u và đ−ợc kí hiệu là : 1 2 3 ... ...n nS u u u u= + + + + + Nh− vậy : 1 ( 1) 1 uS q q = < − IV, Giới hạn tại vô cực 1, Định nghĩa:sgk/118 Nhận xét: ( )lim limn nu u= +∞ ⇔ − = −∞ 2,Một vài giới hạn đặc biệt: , lim ( )ka n k + = +∞ ∈ Ζ , lim nb q = +∞ nếu 1q > 3, Định lí : a,nếu lim n u a= và lim n v = ±∞ thì lim 0n n u v = b, Nếu lim 0 n u a= > , lim 0 n v = và 0 n v > với mọi n thì lim n n u v = +∞ c, nếu lim n u = +∞ và lim 0 n v a= > thì lim . n n u v = +∞ Ví dụ : Tìm 2 5lim .3n n n + Giải : Chia cả tử và mẫu cho n ta đ−ợc 522 5 .3 3n n n n n ++ = tính các giới hạn: 2lim n = +∞ 2 1lim(1 ) ? n n n − − = Theo định lí ta đ−ợc ? xét ví dụ : Tìm lim ( 2 1)nn n − − 2lim n = +∞ 2 1lim(1 ) 1 0 n n n − − = > 2 2 1lim (1 ) n n n n − − = +∞ Vì 5lim 2 2 n   + =    và lim3n = +∞ nên : 2 5lim .3n n n + = 0 Ví dụ : Tìm lim ( 2 1)nn n − − Giải : Ta có: 2 2 2 12 1 (1 )nn n n n n − − = − − Vì 2lim n = +∞ và 2 1lim(1 ) 1 0 n n n − − = > nên: 2 2 1lim (1 ) n n n n − − = +∞ Vậy lim ( 2 1)nn n − − = +∞ c, Củng cố, luyện tập Biết đ−ợc khái niệm giới hạn của d)y số ở vô cực, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó, d, H−ớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập trong sách giáo khoa Ngày soạn: 19/01/2009 Ngày dạy: 21/01/2009 Lớp dạy: D, E, G Tiết 51 : giới hạn của dy số (tiếp theo) 1, Mục tiêu: a, Kiến thức: - ôn tập : - các khái niệm giới hạn của d)y số. - định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. - khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó, b, Kĩ năng: giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản c, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập T− duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống 2, Chuẩn bị : a, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. b, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi 3, Tiến trình bài dạy: a, Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới b, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1(15’) Cho học sinh đọc bài toán và suy nghĩ tìm lời giải? tính 1 2 3?, ?, ?u u u= = = dự đoán 1 2n n u = h)y chứng minh bằng ph−ơng pháp quy nạp Chứng minh n u có giới hạn bằng 0 Hoạt động 2(10’) Cho học sinh đọc bài toán và suy nghĩ tìm lời giải? Gọi n u là khối l−ợng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n 1 2 3 1 1 1 , , 2 4 8 u u u= = = 1lim lim( ) 0 2 n n u = = Theo định nghĩa 3 1lim 0 n = , nên 3 1 n có thể nhỏ hơn một số d−ơng bé tuỳ ý, Mặt khác: Bài 1/121 Gọi n u là khối l−ợng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n a,Ta có : 1 2 3 1 1 1 , , 2 4 8 u u u= = = Dự đoán: 1 2n n u = Chứng minh bằng ph−ơng pháp quy nạp.(học sinh tự chứng minh) b, 1lim lim( ) 0 2 n n u = = (theo tính chất lim 0nq = nếu 1q < ) c, 6 6 3 9 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 10 10 10 10 g kg kg= = vì 0 n u → nên 1 2n n u = có thể nhỏ hơn một số d−ơng bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.Nh− vậy nu nhỏ hơn 9 1 10 kể từ chu kì 0u nào đó .Nghĩa là sau một số năm ứng với chu kì này, khối l−ợng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con ng−ời. Bài 2: Vì 3 1lim 0 n = nên 3 1 n có thể nhỏ hơn một số d−ơng bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.(1) Mặt khác, ta có Từ (1) và (2) ta suy ra điều gì? Hoạt động 3(15’) Xét bài toán 3: Ph−ơng pháp : - Đ−a về các giới hạn đ) biết. 6 1lim ? 3 2 n n −  = +  2 2 3 5lim ? 2 1 n n n  + − = +  3 3 1 11 ,nu n n n − < = ∀ Từ (1) và (2) suy ra : 1nu − có thể nhỏ hơn một số d−ơng bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim( 1) 0 n u − = . 6 1 , lim 3 2 n a n − + Chia cả tử và mẫu cho n ta đ−ợc 166 1 23 2 3 n n n n − − = + + 166 1lim lim 223 2 3 n n n n   −  −  = =  +   +    b, 2 2 3 5lim 2 1 n n n + − + Chia cả tử và mẫu cho 2 n ta đ−ợc 2 2 2 2 1 533 5 12 1 2 n n n n n n + −+ − = + + 3 3 1 11 ,nu n n n − < = ∀ (2) Từ (1) và (2) suy ra : 1nu − có thể nhỏ hơn một số d−ơng bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim( 1) 0 n u − = .Do đó lim 1 n u = Bài 3: Tìm các giới hạn sau: Giải : Chia cả tử và mẫu cho n ta đ−ợc : 166 1 23 2 3 n n n n − − = + + Vậy 166 1lim lim 223 2 3 n n n n   −  −  = =  +   +    b, 2 2 3 5lim 2 1 n n n + − + Chia cả tử và mẫu cho 2n ta đ−ợc : 2 2 2 2 1 533 5 12 1 2 n n n n n n + −+ − = + + Vậy 2 2 2 2 1 533 5 3lim lim 12 1 22 n n n n n n   + −  + − = =   +   +    c, Củng cố toàn bài: (3 phút) - các khái niệm giới hạn của d)y số. - định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. - khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó, d, H−ớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (2’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập : 2, 3, 4 trong sách giáo khoa Ngày soạn: 19/01/2009 Ngày dạy: 21/01/2009 Lớp dạy: D, E, G Tiết 52 :giới hạn của dy số (tiếp theo) 1, Mục tiêu: a, Kiến thức: - ôn tập : - các khái niệm giới hạn của d)y số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. - khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó, b, Kĩ năng: giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản c, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập T− duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống 2, Chuẩn bị : a, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. b, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi 3, Tiến trình bài dạy : a, Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới b, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1(25’) H−ớng dẫn học sinh làm bài tập : 3 2lim( 2 1) ?n n n+ − + = 3lim ?n = 2 3 2 1 1 lim(1 ) ? n n n + − + = 2lim( 2 5 2)n n− + − =? 2lim ?n = đọc bài toán và suy nghĩ tìm lời giải 3 2 3 2 3 lim( 2 1) 2 1 1 lim (1 ) n n n n n n n + − + = + − + 3lim n = +∞ 2 3 2 1 1 lim(1 ) 1 n n n + − + = 2 2 2 lim( 2 5 2) 5 2 lim ( 2 ) n n n n n − + − = − + − 2lim n = +∞ 2 5 2 lim( 2 ) 2 n n − + − = − Bài 7 Tính các giới hạn sau: 2 2, lim( 2 1)a n n n + − + Giải : 3 2 3 2 1 1, lim( 2 1) lim (1 )a n n n n n n n + − + = + − + ta có : 3lim n = +∞ và 2 3 2 1 1 lim(1 ) 1 n n n + − + = Vậy 2 2lim( 2 1)n n n+ − + = +∞ b, 2lim( 2 5 2)n n− + − giải: 2 2 5 2lim( 2 5 2) lim ( 2 )n n n n n − + − = − + − ta có : 2lim n = +∞ 25 2 lim( 2 ) ? n n − + − = 2lim( ) ?n n n− − = 1 lim( ) ? 1 1 1 n − = − + 2lim( ) ?n n n− + = lim ?n = 1 lim( 1 1) ? n − + = Hoạt động 2 (15’) 3 1 lim ? 1 n n u u − = + 2 2 lim 1 n n v v + − 1 lim ? 2 lim ? n n v v = = 2 2 2 2 2 2 2 2 , lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) n n n c n n n n n n n n n n n n n n n n − − − − = − + − − − = = − + − + 1 1 lim( ) 21 1 1 n − = − − + 2lim( ) 1 lim ( 1 1) n n n n n − + = − + limn = +∞ 1 lim( 1 1) 2 n − + = 3 1 lim3.lim lim1 , lim 1 lim lim1 n n n n u u a u u − − = + + ( ) ( )2 2 lim1 lim lim 2 1lim 1 lim lim n n n n n v v v v v + + = − − 1 lim 0 2 lim 0 n n v v = = 2 5 2 lim( 2 ) 2 n n − + − = − Vậy 2lim( 2 5 2)n n− + − = −∞ 2 2 2 2 2 2 2 2 , lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) 1 1 lim( ) 21 1 1 n n n c n n n n n n n n n n n n n n n n n − − − − = − + − − − = = − + − + − = = − − + 2 1, lim( ) lim ( 1 1)d n n n n n − + = − + Ta có : limn = +∞ và 1 lim( 1 1) 2 n − + = Vậy 2lim( )n n n − + = +∞ Bài 8 Cho hai d)y số ( nu ) và ( nv ).Biết lim 3, limn nu v= = +∞ Tính các giới hạn sau: 3 1 lim3. lim lim1 , lim 1 lim lim1 3.3 1 2 3 1 n n n n u u a u u − − = + + − = = + b, 2 2 lim 1 n n v v + − = ( ) ( )2 2 lim1 lim lim 2 1lim 1 lim lim n n n n n v v v v v + + = − − ta có : 1 lim 0 2 lim 0 n n v v = = vậy 2 2 lim 0 1 n n v v + = − c, Củng cố luyện tập (3') - các khái niệm giới hạn của d)y số. - định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các d)y số đơn giản. - khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó, d, H−ớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’) Ngày soạn: 01/02/2009 Ngày dạy: 04/02/2009 Lớp dạy: D, E, G Tiết 53 : giới hạn của hàm số 1, Mục tiêu: a, Kiến thức: - biết khái niệm giới hạn của hàm số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. b, Kĩ năng: giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản c, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập T− duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống 2, Chuẩn bị: a, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. b, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi 3, Phần thể hiện khi lên lớp: a, Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới b, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1(20’) Xét bài toán :cho hàm số 22 2 ( ) 1 x x f x x − = − đọc bài toán và suy nghĩ tìm lời giải I, Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 1, Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm 0x và 1, cho biến x những giá trị lập thành d)y số ( nx ), 1nx → . 1 1 2 2 3 3 4 4 2 ( ) ? 3 ( ) ? 2 4 ( ) ? 3 5 ( ) ? 4 x f x x f x x f x x f x = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = Khi đó các giá trị t−ơng ứng của hàm số có lập thành một d)y số không ? Tìm txđ của hàm số : 2 4 ( ) 2 x f x x − = + lim ( ) ?nf x = Nêu nhận xét ? Hoạt động 2 (20’) Cho học sinh phát biểu định lí 0 lim ( ) x x f x L → = 0 lim ( ) x x g x M → = 1 1 2 2 3 3 4 4 2 ( ) 4 3 ( ) 3 2 4 8 ( ) 3 3 5 5 ( ) 4 2 x f x x f x x f x x f x = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = Các giá trị t−ơng ứng của hàm số có lập thành một d)y số { }\ 2R − 2 4 lim ( ) lim 2 n n n x f x x − = + 0 0, lim x x a x x → = 0 , lim x x b c c → = Phát biểu định lí [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ). ( ) . ( ) lim ( 0) ( ) x x x x x x x x f x g x L M f x g x L M f x g x L M f x L M g x M → → → → • + = + • − = − • =   • = ≠    hàm số ( )y f x= xác định trên K hoặc trên { }0\K x Ta nói hàm số ( )y f x= có giới hạn là số L khi 0x x→ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, { }0\nx K x∈ và 0nx x→ , ta có ( )nf x L→ Kí hiệu : 0 lim ( ) x x f x L → = hay 0( )f x L khi x x→ → Ví dụ: cho hàm số 2 4 ( ) 2 x f x x − = + chứng minh rằng 2 lim ( ) 4 x f x →− = − Giải : Hàm số xác định trên { }\ 2R − Giả sử( nx )là d)y số bất kì, thoả m)n 2, 2n nx x khi n≠ − → − → +∞ Ta có : 2 4 lim ( ) lim 2 n n n x f x x − = + ( )( ) ( )2 2lim lim 2 4 2 n n n n x x x x − + = = − = − + Vậy 2 lim ( ) 4 x f x →− = − Nhận xét : 0 0, lim x x a x x → = 0 , lim x x b c c → = (c là hằng số) 2. Định lí về giới hạn hữu hạn: Định lí 1: a, Giả sử: 0 lim ( ) x x f x L → = và 0 lim ( ) x x g x M → = khi đó: [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 lim ( ) ( ) ? lim ( ) ( ) ? lim ( ). ( ) ? ( ) lim ? ( ) x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x → → → → • + = • − = • =   • =    Xét ví dụ : 2 1 ( ) 2 x f x x + = Tìm 3 lim ( ) ? x f x → = 3 lim ? x x → = 3 lim ? x x → = ( )1 ? 1x khi x− → → 2 1 2 lim ? 1x x x x→ + − = − 2 3 3 1 lim ( ) lim 2x x x f x x→ → + = 2 2 3 3 3 3 3 3 lim 1 lim lim1 lim2 lim2 lim x x x x x x x x x x → → → → → → + + = = ( )2 1 ( 2)2 1 1 ( 2) x xx x x x x − ++ − = − − = + 2 1 1 2 lim lim( 2) 1x x x x x x→ → + − = + − [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ). ( ) . ( ) lim ( 0) ( ) x x x x x x x x f x g x L M f x g x L M f x g x L M f x L M g x M → → → → • + = + • − = − • =   • = ≠    b, nếu ( ) 0f x ≥ và 0 lim ( ) x x f x L → = thì 0L ≥ và 0 lim ( ) x x f x L → = (dấu của f(x) đ−ợc xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với 0x x≠ ) Ví dụ : cho hàm số 2 1 ( ) 2 x f x x + = tìm 3 lim ( ) x f x → giải : theo định lí ta có : 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 lim 11 lim ( ) lim 2 lim2 lim lim1 lim lim lim1 lim2 lim lim2 lim 3.3 1 5 2 3 3 x x x x x x x x x x x x x xx f x x x x x x x x → → → → → → → → → → → → → ++ = = + + = = + = = ví dụ 3: Tính 2 1 2 lim 1x x x x→ + − − giải :vì ( )1 0 1x khi x− → → nên ch−a áp dụng đ−ợc định lí . với 1x ≠ ta có ( )2 1 ( 2)2 ( 2) 1 1 x xx x x x x − ++ − = = + − − do dó 2 1 1 2 lim lim( 2) 3 1x x x x x x→ → + − = + = − c, Củng cố toàn bài: (3’) - Giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn - Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản d, H−ớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập :3,4,5 sách giáo khoa Ngày soạn: 01/02/2009 Ngày dạy: 04/02/2009 Lớp dạy: D, E, G Tiết 54: giới hạn của hàm số 1. Mục tiêu: a) Kiến thức: Biết khái niệm giới hạn của hàm số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể. Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. b) Kĩ năng: Giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản c) Thái độ: Tự giác, tích cực học tập T− duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống 2. Chuẩn bị của Gv và Hs: a) Chuẩn bị của Gv - Sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. b) Chuẩn bị của Hs - Sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi 3. Tiến trình bài dạy a) Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới. b) Dạy nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1(20’) Cho học sinh phát biểu định nghĩa. Phát biểu định nghĩa Số L đ−ợc gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( )y f x= khi 0x x→ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, 0 nx x b< < và 0nx x→ , ta có ( )nf x L→ Phát biểu định lí I, Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 3, Giới hạn một bên: Định nghĩa 2: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng 0( ; )x b Số L đ−ợc gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( )y f x= khi 0x x→ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, 0 nx x b< < và 0nx x→ , ta có ( )nf x L→ Kí hiệu : lim ( ) ox x f x L +→ = Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng 0( ; )a x Số L đ−ợc gọi là giới hạn bên trái của hàm số ( )y f x= khi Cho học sinh phát biểu định lí 0 lim ( ) x x f x L → = khi và chỉ khi ? Cho học sinh xét ví dụ Tìm 11 1 lim ( ), lim ( ) , lim ( ) xx x f x f x f x + − →→ → 1 1 lim ( ) ? lim ( ) ? x x f x f x + − → → = = Hoạt động 2 (20’) Cho hs phát biểu định nghĩa? Xét ví dụ: 2 3 ( ) 1 x f x x + = − lim ( ) x f x →−∞ , lim ( ) x f x →+∞ Hàm số đ) cho xác định 0 lim ( ) x x f x L → = ⇔ 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L + −→ → = = Đọc ví dụ và suy nghĩ tìm lời giải 1 1 2 1 1 lim ( ) lim(5 2) lim ( ) lim( 3) x x x x f x x f x x + + − − → → → → = + = − Phát biểu định nghĩa: Hàm số có giới hạn là số L khi x → +∞ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, na x< và nx → +∞ , ta có ( )nf x L→ Hàm số có giới hạn là số L khi x → −∞ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, nx a< và nx → −∞ , ta có ( )nf x L→ Hàm số đ) cho xác định trên ( ;1)−∞ và trên (1; )+∞ 0x x→ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, 0na x x< < và 0nx x→ , ta có ( )nf x L→ Kí hiệu : lim ( ) ox x f x L −→ = Định lí 2: 0 lim ( ) x x f x L → = khi và chỉ khi 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L + −→ → = = Ví dụ 4 : số cho hàm 2 5 2nếu x 1 (1) ( ) x 3nếu x<1 (2) x f x + ≥  =  −  Tìm 11 1 lim ( ), lim ( ) , lim ( ) xx x f x f x f x + − →→ → (nếu có ) Giải: ta có : 1 1 2 2 1 1 lim ( ) lim(5 2) 5.1 2 7 lim ( ) lim( 3) 1 3 2 x x x x f x x f x x + + − − → → → → = + = + = = − = − = − Vậy khi 1x → thì hàm số có giới hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7.nh−ng không tồn tại 1 lim ( ) x f x → vì 1 1 lim ( ) , lim ( ) x x f x f x + −→ → ≠ II, Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 3: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng ( ; )a +∞ Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi x → +∞ .Nếu với d)y số ( )nx bất kì, na x< và nx → +∞ , ta có ( )nf x L→ Kí hiệu : lim ( ) x f x L →+∞ = hay ( )nf x L→ khi nx → +∞ Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng ( ; )a−∞ Ta nói hàm số có giới hạn là trên khoảng nào? lim ( ) ?n x f x →−∞ = lim (