Giáo án lớp 12 môn Đại số - Trường THPT Tân Bình

– TÍCH PHÂN — §1. NGUYÊN HÀM. Nhắc lại vi phân: Cho hàm số có đạo hàm tại điểm . Khi đó, ta có ¦¢() = . Nếu khá nhỏ thì tỷ số rất gần với ¦¢() nên có thể coi rằng ¦¢() »Þ . Do vậy, ta có khái niệm: Vi phân hàm số tại một điểm: Tích được gọi là vi phân của hàm số ¦(x) tại điểm và ký hiệu , tức là . Vi phân của hàm số: Tích được gọi là vi phân của hàm số ¦(x) và ký hiệu , tức là . Đặc biệt y = x, ta có dx = (x)¢Dx = Dx, do đó hay . Ví dụ: Vi phân của hàm số là . Vi phân của hàm số là . Nguyên hàm: Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của ƒ(x) trên K nếu F¢(x) = ƒ(x), "xÎK. Định lý: Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì: Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K. Ngược lại, nếu G(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C. Họ các nguyên hàm của ƒ(x) trên K, ký hiệu: . Chú ý: ¦(x)dx là vi phân của F(x) vì dF(x) = F¢(x)dx = ¦(x)dx. Theo định nghĩa, ta có: ; . Ví dụ: VD1: vì . VD2: vì VD3: Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số ¦(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bảng nguyên hàm cơ bản: Tính chất: Cho ƒ(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì: . Ví dụ: VD1: VD2: = = VD3: = = Phương pháp tìm nguyên hàm: Đổi biến số: Định lý: Cho , thì Hệ quả: Nếu , thì Bảng nguyên hàm nâng cao: Ví dụ: VD1: VD2: VD3: VD4: . Đặt t = cosx Þ dt = sinxdx Þ VD5: . Đặt Þ = Nguyên hàm từng phần: Định lý: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì hay Chú ý: Dạng 1: , ta đặt Dạng 2: , ta đặt Dạng 3: , ta đặt Dạng 4: , ta đặt Ví dụ: VD1: . Đặt nên = VD2: . Đặt nên VD3: = = = = = BÀI TẬP §1. I. BÀI TẬP SGK CƠ BẢN: Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ? và – b) sin2x và c) và Hướng dẫn: và –là nguyên hàm của nhau; b) = = sin2x ; c) = Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = b) ƒ(x) = c) ƒ(x) = d) ƒ(x) = e) ƒ(x) = g) ƒ(x) = h) ƒ(x) = Hướng dẫn: = = = = = với = = Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: b) c) d) Hướng dẫn: ; b) ; c) ; d) Sử dụng phương pháp từng phần, hãy tính: b) c) d) Hướng dẫn: ; b) ; c) ; d) = = II. BÀI TẬP SGK NÂNG CAO: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = 3+ b) ƒ(x) = 2– 5x + 7 c) ƒ(x) = –– d) ƒ(x) = e) ƒ(x) = Hướng dẫn: b) c) d) e) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: b) c) d) Hướng dẫn: b) c) d) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là: (A) sin + C (B) –xcosx + C (C) –xcosx + sinx + C Hướng dẫn: (C) Khẳng định sau đúng hay sai ? Nếu ƒ(x) = thì = – + C Hướng dẫn: Đúng vì – là một nguyên hàm của ƒ. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = b) ƒ(x) = c) ƒ(x) = d) ƒ(x) = Hướng dẫn: = = = = = = = = Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = b)ƒ(x) = cos(3x + 4) c)ƒ(x) = d)ƒ(x) = Hướng dẫn: = = = = = = = = = Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = b)ƒ(x) = c)ƒ(x) = d)ƒ(x) = Hướng dẫn: = = = = = = = = = = = = = = = = Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = b)ƒ(x) = c)ƒ(x) = d)ƒ(x) = Hướng dẫn: = = = = = = = = Þ 3= Þ = = = = = III. BÀI TẬP LÀM THÊM: = = = = = + C = = = = = §2. TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân: Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ(x) hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số ¦(x), ký hiệu . Tính chất của tích phân: Giả sử hàm số ƒ(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c ÎK. Khi đó = 0 = = – = += = = . . . Ví dụ: VD1: . Ta có hàm số y = không xác định tại x = 1 suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại. VD2: = = = 1 VD3: = = = = VD4:==== 0 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số: Dạng 1: I = Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận: Bước 3: Chuyển tích phân đã cho theo biến t, ta được Ví dụ: VD1: Tính I =. Đặt . Đổi cận: . Do đó I = VD2: Tính I = . Đặt Đổi cận: . Do đó I = VD3: Tính I = . Đặt t = 1+ x Þ dt = (+ x)dx. Đổi cận: . Do đó I = ln(1 + e). VD4: Tính I = . Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx. Đổi cận: . Do đó I =. Phương pháp đổi biến số dạng 2: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận: Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t, ta được Ví dụ: VD1: Tính I = . Đặt x = sint Þ dx = costdt và Đổi cận: . Do đó I = . VD2: Tính I = . Đặt x = sint Þ dx = costdt. Đổi cận: . Do đó I == VD3: Tính I = . Đặt x = tant Þ dx = và Đổi cận: . Do đó I = . Phương pháp tích phân từng phần: Công thức: Cho hai hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có . Vậy hay Dạng đặc biệt: Dạng 1: , ta đặt Dạng 2: , ta đặt Dạng 3: , ta đặt Dạng 4: , ta đặt Ví dụ: VD1: . Đặt . Do đó I = . VD2: . Đặt . Do đó I = . VD3: . Đặt . Do đó I = . Tính J: Đặt Vậy . BÀI TẬP §2. I. BÀI TẬP SGK CƠ BẢN: Tính các tích phân sau: b) c) d) e) f) Hướng dẫn: I == I = = = 0 = = = . Do đó I = = = = 0 Tính các tích phân sau: b) c) d) Hướng dẫn: = = 1 = = = = = = = = 0 Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: b) c) d) Hướng dẫn: I = . Đặt và . Đổi cận . Do đó I = p/4 Đặt u = 1+ x Þ du = (+ x)dx. Do đó ln(1 + e) Đặt x = asint Þ dx = acostdt và = acost với tÎ[0; ]. Do đó Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính: b) c) d) Hướng dẫn: = = 1+ 1 = 2 = = = = 2ln2 – 1 = –1 Tính các tích phân sau: b) c) Hướng dẫn: = = = = = Tính bằng hai phương pháp: Đổi biến số u = 1 – x; b) Tính tích phân từng phần. Hướng dẫn: = = = == II. BÀI TẬP SGK NÂNG CAO: Cho biết = 3, = 7. Hãy tính Hướng dẫn: = –3 + 7 = 4 a) Chứng minh rằng nếu ƒ(x) ³ 0 trên đoạn [a; b] thì ³ 0 b) Chứng minh rằng nếu ƒ(x) ³ g(x) trên đoạn [a; b] thì Hướng dẫn: a) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đố thị hàm số y = ƒ(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b nên ³ 0 b) Đặt h(x) = ƒ(x) – g(x) ³ 0 Þ ³ 0 mà nên Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau: b) c) d) e) f) Hướng dẫn: = = ; b) = = c) = = ; d) = = e) = = 4 f) = = Dùng phương pháp tính tích phân từng phần tính các tích phân sau: b) c) d) Hướng dẫn: = = = ln2 – = = = e = = = = = Þ = = = – 1 Tính a) b) Hướng dẫn: = = 2 = = Tính a) b) I = Hướng dẫn: = = b) Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = trên khoảng (0; +∞). Khi đó là: (A) F(3) – F(1) (B) F(6) – F(2) (C) F(4) – F(2) (D) F(6) – F(4) Hướng dẫn: (B) . Đặt t = 2x Þ I = = F(6) – F(2) Chứng minh rằng b) Hướng dẫn: = = = = = = = = = Cho . Tính trong các trường hợp sau: ƒ là hàm số lẻ b) ƒ là hàm số chẵn. Hướng dẫn: nên = = = = = –3 nên = = = = = 3 Tính các tích phân sau: b) c) d) e) Hướng dẫn: = = = = = = = = = = = = = = = ln2 Tính các tích phân sau: b) c) d) e) Hướng dẫn: = = = = = = = = = = – 2 = = = = = = = III. BÀI TẬP LÀM THÊM: Tính I =. Đặt và Đổi cận: . Do đó I = . Đặt : Do đó ta có hệ : . Vậy : . Đặt . Ta có hệ . Vậy : Tính I = . Đặt t = 1 + x Þ dt = dx và Đổi cận: . Do đó I = . Tính I = . Đặt hay Đổi cận: . Do đó I = Tính I = . Đặt và Đổi cận: . Do đó I = Tính I = . Đặt x + 1 = tant Þ dx = Đổi cận: . Do đó I = . Tính I = . Đặt x = 2sint Þ dx = 2costdt. Đổi cận: . Do đó I = Tính I = . Đặt t = Þ và . Đổi cận: . Do đó I = Đặt t = 4tanx Þ Đổi cận: . I = Tính . Đặt . Đổi cận . Do đó = = Tính I = . Bảng xét dấu: Do đó I = . Tính I =. Bảng xét dấu: Do đó I = Tính I = . Bảng xét dấu: Do đó I = (Có thể sử dụng tích phân của một hiệu). Tính I = . Bảng xét dấu: Do đó I = Tính . Bảng xét dấu: Do đó I = . Tính I = . Đặt t = , dt = 2xdx. Đổi cận: . Do đó I = = = Tính I = . Đặt và Đổi cận: . Do đó I = Tính I = . Đặt . Đổi cận: . Do đó I = . Tính I = = . Đặt Đổi cận: . Do đó I = . Tính I = = = 2 Tính (bậc sin lẻ). Đặt t = cosx Þ dt = –sinxdx và Đổi cận: . Do đó I = Tính I = (bậc cos lẻ). Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx và Đổi cận:. Do đó I = Tính . Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx và Đổi cận: . Do đó I = Tính (bậc sin và cosin chẵn). Ta có Do đó I . Tính . Đặt và . Đổi cận: . Do đó I = Tính. . Đặt Þ Đổi cận: . Do đó I = Tính I = Tính Tính . Đặt và Đổi cận: . Do đó I = Tính I = . Đặt và . Đổi cận: . Do đó I = . Đặt t = tanx Þ . Đổi cận: . Do đó I = Ta có: J = = ; K = . Tính I = . Đặt x = sint Þ dx = costdt và . Đổi cận: . Do đó I = Tính I = . Đặt x = 2sint Þ dx = 2costdt và . Đổi cận: . Do đó I = . Đặt Þ Do đó H = . Đặt Þ H = = Với 3I = . Đặt Þ và 3I = Do đó H = = = . Đặt . Đổi cận: . Do đó I = . Đặt . Đổi cận: . Do đó I = . Đặt . Đổi cận: . Do đó I = = . §3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng: Diện tích hình thang cong: Định nghĩa: Hàm số y = ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ƒ(x) và các đường y = 0 (trục hoành Ox), x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H) có diện tích là: Phương pháp giải toán: Bước 1: Tóm tắc hình Nếu chưa cho biết a, b thì a, b là nghiệm phương trình ¦(x) = 0 Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số ¦(x) trên đoạn [a; b]. Nếu vẽ được đồ thị thì không lập bảng xét dấu. Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân . Nếu vẽ đồ thị thì phần phía trên trục hoành dương nên không đổi dấu, phần đồ thị dưới trục hoành âm nên đổi dấu. Ví dụ: VD1: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành và 2 đường x = –2; x = –1. Giải: Theo công thức tính diện tích, ta có . Theo bảng xét dấu: (đvdt) VD2: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2. Giải: Diện tích . Theo bảng xét dấu: (đvdt) VD3: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành. Giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường y = 0 là . Diện tích. Theo bảng xét dấu: (đvdt) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: Định nghĩa: Hàm số y = ƒ(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b], diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = ƒ(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: Hàm số x = g(y) và x = h(y) liên tục trên đoạn [c; d], diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d là Phương pháp giải toán: Bước 1: Tóm tắc hình . Nếu chưa cho biết a, b thì a, b là nghiệm phương trình . Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số ¦(x) trên [a; b]. Nếu vẽ được 2 đồ thị thì không lập bảng xét dấu. Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân . Nếu vẽ 2 đồ thị thì ¦(x) – g(x) dương khi ¦(x) nằm trên g(x) và ngược lại. Ví dụ: VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và . Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là . Diện tích . Theo bảng xét dấu. (đvdt). VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , và trục hoành (y = 0). Giải: Theo biến y, phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là . Diện tích. Theo bảng xét dấu: (đvdt) Thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và quay quanh trục Ox là . VD1: Tính thể tích hình cầu do hình tròn quay quanh Ox. Giải: Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là . Phương trình Do đó (đvtt). Trường hợp 2: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và quay quanh trục Oy là . VD2: Tính thể tích hình khối do ellipse quay quanh Oy. Giải: Tung độ giao điểm của (E) và Oy là . Phương trình Do đó (đvtt). Trường hợp 3: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quay quanh trục Ox là . VD3: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường , quay quanh Ox. Giải: Hoành độ giao điểm . Do đó . Theo bảng xét dấu (đvtt). BÀI TẬP §3. I. BÀI TẬP SGK CƠ BẢN: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = , y = x + 2 b) y = |lnx|, y = 1 c) y = , y = 6x –. Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai đường là x = –1 và x = 2. Do đó : Hoành độ giao điểm của hai đường là x = và x = e. Do đó : = – 2 Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 3 và x = 6. Do đó Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy. Hướng dẫn: Phương trình tiếp tuyến là y = 4x – 3. Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 0 và x = 2. Do đó Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần. Tìm tỷ số diện tích của chúng. Hướng dẫn: (C): + = 8 , (P): . Hoành độ giao điểm x = –2 và x = 2. Do đó và Vậy Tính thể tích khối nón tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: y = 1 – , y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = Hướng dẫn: = = = = = = = Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt , . Gọi là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox Tính thể tích của theo a và R. Tìm a sao cho thể tích của lớn nhất. Hướng dẫn: MP = x.tana, OP = R.cosa. Do đó Đặt t = cosa Þ tÎ[; 1] vì aÎ[0;], ta có , . Vậy II. BÀI TẬP SGK NÂNG CAO: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx + 1, trục hoành, x = 0 và x = Hướng dẫn: = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π Đồ thị hai hàm số y = và y = Đồ thị hai hàm số y = 2 và y = – 2 trong miền x ³ 0 Hướng dẫn: S = = Hai đường cong x = và x = giao nhau tại y = 0, y = 1. Trên khảng (0; 1) ta có – > 0 nên = = Trong miền x ³ 0, hai đường cong trên giao nhau tại x = 0 và x = 2. Trên khảng (0; 2), ta có – 2– 2< 0 nên Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị các hàm số y = – 4, y = – – 2x và hai đường thẳng x = –3, x = –2 Đồ thị hai hàm số y = – 4, y = – – 2x Đồ thị hàm số y = – 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4. Hướng dẫn: Trên khoảng (–3; –2), ta có (– 4) –( – – 2x) > 0 nên = Hai đường cong y = – 4, y = – – 2x giao nhau tại x = –2, x = 1 Trên khoảng (–2; 1), ta có (– 4) – (– – 2x) < 0 nên = 9 = = 44 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = –1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (–1 £ x £ 1) là một hình vuông cạnh là Hướng dẫn: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ π) là một tam giác đều cạnh là Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = – 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Hướng dẫn: Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường , y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục tung. Hướng dẫn: Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường , x = 0 và y = –1 và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. Hướng dẫn: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và y = trong miền x ³ 0, y £ 1 Đồ thị 2 hàm số y = – 4+ 4, y = , trục tung và đường thẳng x = 1 Đồ thị các hàm số y = , y = 4x – 4 và y = –4x – 4. Hướng dẫn: (Hình) Trong khoảng (0; 1), ta có 1 – x > 0 và trong khoảng (0; 2), ta có 1 –> 0 nên = và = . Ta có = 5/6 Trong khoảng (0; 1), ta có – 4+ 4 – > 0 Do đó S = (Hình) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hai hàm số y = + 1 và y = 3 – x Các đường x = , y = 1 và x = 8 Đồ thị hai hàm số y = , y = 6 – x và trục hoành. Hướng dẫn: Hai đường cong giao nhau tại x = 1 và x = –2. Ta có ; (Hình) Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ π) là một hình vuông cạnh là Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0, x = 0 và x =p/4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Hướng dẫn: Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường , x = 0 và y = 0 và y = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung. Hướng dẫn: III. BÀI TẬP LÀM THÊM: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = – 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4. Đồ thị hàm số y = và trục hoành. Đồ thị hàm số y = và trục hoành. Đồ thị hàm số y = , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 và x = 3. Đồ thị hàm số y = , trục Ox, Oy và đường thẳng x = 2. Đồ thị hàm số y = lnx, trục hoành và 2 đường thẳng x = , x = . Đồ thị hàm số y = |lnx|, y = 1. Hướng dẫn: Theo đề ta có . Theo bảng xét dấu: S = = 44 Giao điểm của đồ thị với trục hoành là = 0 Û nên diện tích Theo bảng xét dấu, ta có Giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình = 0 Û . Ta có Theo bảng xét dấu, ta có Theo đề ta có . Theo bảng xét dấu: = = Theo đề ta có Theo bảng xét dấu: = = 0 Û Ta có = = Theo đề ta có . Theo bảng xét dấu: Với . Đặt nên Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là |lnx| – 1 = 0 Û x = nên Theo bảng xét dấu: Ta có: = – 2 Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay khi hình (H) quay quanh trục Ox. Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là x = 2. Do đó = = = (đvtt). BÀI TẬP ÔN HẾT CHƯƠNG: I. BÀI TẬP SGK CƠ BẢN: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ƒ(x) = (x – 1)(1 – 2x)(1 – 3x) b) ƒ(x) = sin4x c) ƒ(x) = d) ƒ(x) = Hướng dẫn: b) c) d) Tính: b) c) d) e) g) Hướng dẫn: (x – 2)cosx – sinx + C b) c) d) e) g) Tính: b) c) d) Hướng dẫn: ; b) ; c) ; d) Tính: b) c) d) e) g) Hướng dẫn: c) d) e) g) Xét hình phẳng D giới hạn bởi y = 2 và y = 2(1 – x) Tính diện tích hình D. Quay hình D quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành. Hướng dẫn: a) – 1 b) . II. BÀI TẬP SGK NÂNG CAO: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 1 đến bài 3) a) y = b) y = c) y = d) y = Hướng dẫn: a) y = b) y = c) y = d) y = Hướng dẫn: a) y = b) y = Hướng dẫn: Tìm hàm số y = ƒ(x) nếu biết và ƒ(1) = 3 Hướng dẫn: Ta có y == . Vì ƒ(1) = 3 Ta có 8 + C = 3 Þ C = –5. Vậy y = Xác định số b dương để có giá trị lớn nhất Hướng dẫn: y = Þ , = 0 Û b = 0, b = 1. Trên khoảng (0 ; +∞), y đạt giá trị lớn nhất khi b = 1. Cho biết = –1, = 5, = 4. Hãy tìm b) c) d) Hướng dẫn: a) –2.–1 = 2 b) 5 + 4 = 9 c) 2.5 – 3.4 = –2 d) –1 –5 = –6 Cho hàm số ƒ liên tục trên [a; b]. Tỷ số được gọi là giá trị trung bình của hàm số ƒ trên [a; b] và được ký hiệu là m(ƒ). Chứng minh rằng tồn tại điểm cÎ[a; b] sao cho m(ƒ) = ƒ(c). Hướng dẫn: Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất, lớn nhất ƒ trên [a; b]. Ta có m £ ƒ(x) £ M "xÎ[a; b]. Do đó theo bài tập 13: Þ m(b – a) £ £ M(b – a) Vì ƒ là hàm số liên tục nên tồn tại cÎ[a; b] để ƒ(c) = Tính các tích phân sau: b) c) Hướng dẫn: = = = Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị các hàm số y = 4 – , y = –x + 2 Các đường cong có phương trình x = 4 – và x = 1 – Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai thị các hàm số y = 4 – , y = –x + 2 là x = –1, x = 2. Trên khoảng (–1, 2), ta có (4 – ) – ( –x + 2) > 0 nên Diện tích nằm trong góc phần tư thứ nhất là . Do đó diện tích S = Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: Parabol y = – 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung. Parabol y = –+ 4x – 3, tiếp tuyến của nó tại điểm A(0; –3) và B(3; 0). Hướng dẫn: Tiếp tuyến tại M(3; 5)Î(P ) có phương trình y = 4x – 7. Do đó diện tích là Tiếp tuyến tại A(0; –3)Î(P ) và tại B(3; 0)Î(P ) có phương trình lần lượt là y = 4x – 3 và y = –2x + 6. Giao điểm hai tiếp tuyến là . Gọi , là diện tích hai tam giác cong ACD và BCD. Ta có: , . Do đó Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ 2) là một nửa hình tròn đường kính Hướng dẫn: Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường hypebol y = và các đường thẳng y = 1 và y = 4, x = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục tung. Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (0 £ x £ ) và hai trục tọa độ. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0 và y = 3. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục tung. Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình x – = 0 và các đường thẳng y = 2, x = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh Trục hoành b) Trục tung Hướng dẫn: a) b) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình y = và các đường thẳng x = 1, x = 2 và y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành. Hướng dẫn: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình = và các đường thẳng y = 0, x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh Trục hoành. b) Trục tung Hướng dẫn: a) b) CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT: (Đề thi TN.THPT năm 2003). Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi đường y = , y = 0. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = và y = 0 là = 0 Û x = –1, x = 6. vì £ 0 "xÎ . Do đó S = = (đvdt) (Đề thi TN.THPT năm 2004). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = 0, x = 3. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = , y = 0 là = 0 Û x = 0, x = 3. Ta có: V = . V = (đvtt) (Đề thi TN.THPT năm 2005). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: I = . Tính J: Đặt nên Tính K: Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx. Đổi cận: . Do đó K = Vậy I = (Đề thi TN.THPT năm 2006 Ban A). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = Þ . Đổi cận: . Do đó I = (Đề thi TN.THPT năm 2006 Ban C). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt . Do đó I = (Đề thi TN.THPT năm 2007 Phân ban). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = Þ . Đổi cận: . Do đó I = (Đề thi TN.THPT năm 2007 Phân ban lần 2). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 Þ x = 0. Do đó V = . (đvtt) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Không phân ban). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = lnx Þ dt = . Đổi cận: . Do đó I = (Đề thi TN.THPT năm 2007 Không phân ban lần 2). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = + 1 Þ dt = 3dx. Đổi cận: . Do đó I = (Đề thi TN.THPT năm 2008 Phân ban). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = 1 – Þ dt = –3dx. Đổi cận: . Do đó I = (Đề thi TN.THPT năm 2008 Không phân ban). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: I = . Đặt Þ I = (Đề thi TN.THPT năm 2009). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: I = . Đặt . Do đó I= (Đề thi TN.THPT năm 2010). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: I = = = CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG : (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối D). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và hai trục tọa độ. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong với trục Ox là = 0 Û x = – Bảng xét dấu Do đó S = (đvdt) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối D). Tính I = Hướng dẫn: I = . Đặt . Đổi cận: . Do đó I = . (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối B). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y = . Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là = Û x = . vì ³ "xÎ . Do đó S = = . Đặt x = 4sint Þ dx = 4costdt. Đổi cận: . Do đó S =(đvdt) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối B). Tính I = Hướng dẫn: Đặt . Đổi cận: . Do đó I = (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối A). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y = x + 3. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = và y = x + 3 là = x + 3 Û . vì x + 3 ³ "xÎ . Do đó S = = = = (đvdt) (Đề dự trữ năm 2002 – Khối A – Đề 1). Tính I = Hướng dẫn: Đặt . Đổi cận: . Do đó I = . (Đề dự trữ năm 2002 – Khối A – Đề 2). Tính I = Hướng dẫn: Tính A: . Do đó A = Tính B: Đặt và . Đổi cận: . Do đó B = . Vậy I = . (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối D). Tính I = . Hướng dẫn: Bảng xét dấu. Do đó I = (Đề dự trữ năm 2003 – Khối D). Tính I = Hướng dẫn: Đặt , nên I = (Đề thi ĐH năm 2003 – Khối B). Tính I = . Hướng dẫn: Ta có I = . (