Giáo án lớp 12 môn Đại số - Tương giao của đồ thị hàm số bậc 3

I - Lý thuyết: 1 - Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai. Nếu phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có hai nghiệm x1; x2 thì 2 - Định lí Vi-et cho phương trình bậc ba. Nếu phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ạ 0) có ba nghiệm x1; x2 ;x3 thì 3 - Tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) và hai số thực a , b. a) x1 < a < x2 Û a.f(a) < 0. b) x1 < x2 < a Û c) a < x1 < x2 Û d) a < x1 < b < x2 Û e) x1 < a < x2 < b Û f) Û f(a).f(b) < 0. g) a < x1 < x2 < b Û 4 - Tính chất của cấp số cộng. a) Cho cấp số cộng (un) với công sai d. Khi đó ta có . b) Cho áx1; x2; x3 khi đó ta có x1 + x3 = 2x2. 5 - Tính chất của cấp số nhân. a) Cho cấp số nhân (un) với công bội q. Khi đó ta có . b) Cho cấp số nhân x1; x2 ; x3 khi đó ta có x1.x3 = x22. 6 - Cực trị của hàm số bậc ba. Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0). a) Hàm số không có cực trị Û Phương trình f’(x) = 0 vô ngiệm hoặc có nghiệm kép. b) Hàm số có cực trị (Gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu) Û Phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. 7 - Tính cực trị của hàm số bậc ba. Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0). a) Nếu phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1 là hoành độ điểm cực đại; x2 là hoành độ điểm cực tiểu) thì yCĐ = f(x1). yCT = f(x2). b) Phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1 là hoành độ điểm cực đại; x2 là hoành độ điểm cực tiểu). Lấy f(x) chia cho f’(x) ta phân tích được như sau. f(x) = q(x).f’(x) + ax + b. Khi đó yCĐ = a.x1 + b. yCT = a.x2 + b. 8) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba. Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 9) Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba. a > 0 a < 0 f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x O y x O y f’(x) = 0 có nghiệm kép x O y x O y f’(x) = 0 vô nghiệm x O y x O y 10 - Tương giao của hai đồ thị: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (C ’). a) Đồ thị (C) tiếp xúc với đồ thị (C ’) khi hệ phương trình sau có nghiệm. b) Số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C ’) bằng số nghiệm của phương trình f(x) = g(x). II - Bài toán: A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Bài toán 1: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Chuyển về giải bài toán phương trình bậc hai. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế). Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt. Bài toán 2: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn a < x1< x2 < x3 . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 thoả mãn a < x1< x2 < x3. Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn a < x1< x2 < x3 . Bài toán 3: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< a < x2 < x3 . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< a < x2 < x3 . Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< a < x2 < x3 . Bài toán 4: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < a < x3 . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < a < x3 . Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < a < x3 . Bài toán 5: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3< a . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3 < a . Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3< a . Bài toán 6: : Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. HD : Cách 1: Bài toán Û Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm: ax3 + bx2 + cx + d = 0. Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 lập thành một cấp số cộng. áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có. ị x2 = ? thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = ? Điều kiện đủ: Với m tìm được thay vào phương trình hoành độ giao điểm . Nếu phương trình có ba nghiệm phân biệt thì giá trị m tìm được thoả mãn bài toán. Kết luận: Bài toán 7: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. HD : Phương trình hoành độ giao điểm: ax3 + bx2 + cx + d = 0. Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 lập thành một cấp số nhân. áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số nhân ta có. ị x2 = ? thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = ? Điều kiện đủ: Với m tìm được thay vào phương trình hoành độ giao điểm . Nếu phương trình có ba nghiệm phân biệt khác 0 thì giá trị m tìm được thoả mãn bài toán. Kết luận: B - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Bài toán 8: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế). Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt. Bài toán 9: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn a < x1< x2 . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm). Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn a < x1< x2 . Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn a < x1< x2 . Bài toán 10: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1< a < x2 . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1< a < x2 . Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1< a < x2 . Bài toán 11: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < a. HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < a. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < a. C - Đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục Ox. Bài toán 12: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) tiếp xúc với trục Ox. HD: (C m) tiếp xúc với trục Ox khi hệ phương trình sau có nghiệm. D - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại một điểm. Bài toán 13: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm. HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm . Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại một điểm. Bài toán 14: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ x1 thoả mãn a < x1 . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm x1 thoả mãn a < x1. Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 thoả mãn a < x1. Bài toán 15: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) . Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ x1 thoả mãn x1 < a . HD: Cách 1: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm) Bài toán Û Phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm x1 thoả mãn x1 < a . Cách 2: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm) Bài toán trở thành tìm m sao cho Cách 3: (Nếu phương trình hoành độ giao điểm chuyển được tham số m sang một vế) Phương trình hoành độ giao điểm tương đương với phương trình: g(x) = h(m). Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đường thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 thoả mãn x1 < a . III - Bài tập: A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Bài tập 1: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. a) (C m): y = f(x) = x3 + (1 - 2m)x2 - (3m - 2)x - m + 2. b) (C m): y = f(x) = x3 +3x2 - 9x + m. c) (C m): y = f(x) = x3 + x2 + mx + 3. d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 7x - 4. Giải: a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm (x2 – 2mx – m + 2)(x + 1) = 0. Bài toán trở thành tìm m sao cho phương trình x2 – 2mx – m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1. Û b) y’ = 3x2 +6x – 9 yCĐ = y(- 3) = m + 27 yCT = y(1) = m – 5 Bài toán trở thành tìm m sao cho yCĐyCT < 0 Û (m + 27)(m - 5) < 0 Û - 27 < m < 5 c) Phương trình hoành độ giao điểm x3 + x2 + mx + 3 = 0 Û - m = Xét hàm số g(x) = ; Ta có g’(x) = g’(x) = 0 Û x = 1 Bảng biến thiên x -Ơ 0 1 +Ơ y’ - - 0 + y +Ơ +Ơ +Ơ -Ơ 5 Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m > 5 Û m < - 5 d) Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3 + mx2 – 7x – 4 = 0 Û - m = Xét hàm số g(x) =; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = - 1 Bảng biến thiên x -Ơ - 1 0 +Ơ y’ + 0 - + y 2 +Ơ -Ơ - Ơ -Ơ Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m - 2 Bài tập 2: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3. a) (C m): y = f(x) = x3 + (2 - 2m)x2 + (3 - 6m)x - 4m + 6 với - 3 < x1 < x2 < x3. b) (C m): y = f(x) = x3 - 3x2 - 24x + m với - 4 < x1 < x2 < x3. c) (C m): y = f(x) = x3 - 3x2 +(m + 2)x + 4 với - 2 < x1 < x2 < x3. d) (C m): y = f(x) = x3 + (m + 1)x2 - 4x - 8 với - 4 < x1 < x2 < x3. Giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm (x2 – 2mx – 2m + 3)(x + 2) = 0 Û Bài toán trở thành tìm m để PT: x2 – 2mx – 2m + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác – 2 thoả mãn - 3 < x1 < x2. b) y’ = 3x2 – 6x – 24 yCĐ = y(- 2) = m + 28 yCT = y(4) = m – 80 af(- 4) = m – 16 Bài toán trở thành tìm m sao cho c) Phương trình hoành độ giao điểm – m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = 2 Bảng biến thiên x -Ơ -2 0 2 +Ơ y’ - - 0 + y +Ơ +Ơ +Ơ 10 -Ơ 2 Từ bảng biến thiên ta có kết quả của m là 2 < - m < 10 Û - 10 < m < -2 d) Phương trình hoành độ giao điểm - m = Xét hàm số g(x) =; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = -2 Ta có bảng biến thiên. x -Ơ - 4 - 1 0 +Ơ y’ + 0 - + y -1 +Ơ - 5/2 -Ơ - Ơ -Ơ Từ bảng biến thiên ta có kết quả - 5/ 2 < - m < - 1 Û 1 < m < 5/2. Bài tập 3: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3. a) (C m): y = f(x) = x3 + (2m - 3)x2 - (5m + 2)x - 3m + 6 với x1 < 1 < x2 < x3. b) (C m): y = f(x) = x3 + (3 - 2m)x2 - (5m -2)x + 3m +6 với x1 < - 2 < x2 < x3. c) (C m): y = f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + m với x1 < 1 < x2 < x3. d) (C m): y = f(x) = x3 - 2x2 + mx - 4 với x1 < - 3 < x2 < x3. e) (C m): y = f(x) = x3 + (m + 1)x2 - 3x - 2 với x1 < - 2 < x2 < x3. f) (C m): y = f(x) = x3 + 2x2 + mx - 8 với x1 < - 1 < x2 < x3. Giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm (x – 3)(x2 + 2mx + m - 2) = 0 Bài toán trở thành tìm m sao cho pt x2 + 2mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác 3 thoả mãn x1 < 1 < x2 . Û b) Phương trình hoành độ giao điểm (x + 3)(x2 – 2mx +m + 2) = 0 Bài toán thành tìm m sao cho PT: x2 – 2mx +m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho – 2 <x1 < x2. Û c) y’ = 6x2 – 6x – 12 yCĐ = y(-1) = m + 7 yCT = y(2) = m – 20 af(1) = m – 13 Bài toán trở thành tìm m sao cho d) Phương trình hoành đọ giao điểm – m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = -1 Bảng biến thiên x -Ơ -3 - 1 0 +Ơ y’ - 0 + + y +Ơ +Ơ +Ơ 49/3 7 - Ơ Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 49/3 Û m < - 49/3 e) Phương trình hoành độ giao điểm - m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = - 1 Bảng biến thiên x -Ơ - 2 - 1 0 +Ơ y’ + 0 - + y 1 +Ơ 0 -Ơ - Ơ -Ơ Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m 0. f) Phương trình hoành độ giao điểm - m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = - 2 Bảng biến thiên x -Ơ - 2 -1 0 +Ơ y’ - 0 + + y +Ơ +Ơ +Ơ 7 4 - Ơ Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 7 Û m < - 7 Bài tập 4: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3. a) (C m): y = f(x) = x3 - (2m + 3)x2 + (8m + 3)x - 6m - 9 với x1 < x2 < 2 < x3. b) (C m): y = f(x) = x3 + (2m + 2)x2 + (7m + 4)x + 6m + 8 với x1 < x2 < 1 < x3. c) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 - 15x + m với x1 < x2 < 3 < x3. d) (C m): y = f(x) = x3 + 2x2 + mx + 4 với x1 < x2 < 2 < x3. e) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 3x + 18 với x1 < x2 < 1 < x3. Giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm (x - 3)(x2 – 2mx + 2m + 3) = 0 Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 – 2mx + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 < x2 < 2. Û b) Phương trình hoành độ giao điểm (x + 2)(x2 + 2mx + 3m + 4) = 0 Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 + 2mx + 3m + 4 = 0 có hai nghiẹm phân biệt x1, x2 khác - 2thoả mãn x1 < 1 < x2 . Û c) y’ = 3x2 -12x – 15 yCĐ = y(- 1) = m + 8 yCT = y(5) = m – 100 af(3) = m – 72 Bài toán trở thành tìm m sao cho d) Phương trình hoành độ giao điểm - m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = 1 Bảng biến thiên x -Ơ 0 1 2 +Ơ y’ - - 0 + y +Ơ +Ơ +Ơ 10 -Ơ 7 Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 10 Û m < - 10 e) Phương trình hoành độ giao điểm: - m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = 3 Bảng biến thiên x -Ơ 0 1 3 +Ơ y’ - - 0 + y +Ơ +Ơ +Ơ 16 -Ơ 4 Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 16 Û m < - 16 Bài tập 5: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3. a) (C m): y = f(x) = x3 + (2m - 2)x2 - (6m - 8)x + 4m - 16 với x1 < x2 < x3 < 3 . b) (C m): y = f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x + m với x1 < x2 < x3 < 5 . c) (C m): y = f(x) = x3 - 3x2 + mx + 27 với x1 < x2 < x3 < 4 . d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - 8x - 12 với x1 < x2 < x3 < 2 . Giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm (x – 2)(x2 + 2mx – 2m + 8) = 0 Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 + 2mx – 2m + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 2 thoả mãn x1 < x2 < 3. Û b) Ta có y’ = 6x2 – 6x – 36 yCĐ = y(- 2) = m + 44 yCT = y(3) = m – 81 af(5) = m – 5 Bài toán trở thành tìm m sao cho c) Phương trình hoành độ giao điểm - m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = 3 Bảng biến thiên x -Ơ 0 3 4 +Ơ y’ - - 0 + y +Ơ +Ơ +Ơ 43/4 -Ơ 9 Từ bảng biến thiên ta có kết quả 9 < - m < 43/4 Û - 43/4 < m < - 9 d) Phương trình hoành độ giao điểm - m = Xét hàm số g(x) = ; g’(x) = g’(x) = 0 Û x = - 2 Bảng biến thiên x -Ơ - 2 0 2 +Ơ y’ + 0 - + y -1 +Ơ -5 -Ơ - Ơ -Ơ Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m 5 Bài tập 6: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. a) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 + 11x + m. b) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 + (m + 6)x - 6. c) (C m): y = f(x) = x3 - 6x2 + (m2 + m + 5)x - 3m. d) (C m): y = f(x) = x3 + mx2 - (3m + 7)x - 6. e) (C m): y = f(x) = x3 - 9x2 + 23x + m. f) (C m): y = f(x) = x3 - 9x2 + (m + 20)x - 4m - 3. g) (C m): y = f(x) = x3 - 9x2 + (m2 + m + 3)x - 5m + 5. h) (C m): y = f(x) = x3 - 3mx2 + (3m + 14)x - 2m - 9. Giải: a) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + 11x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng. áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có. ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = - 6 Điều kiện đủ: Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán. Kết luận : m = - 6. b) Điều kiện cần : Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m + 6)x - 6 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng. áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có. ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 5 Điều kiện đủ: Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán. Kết luận : m = 5. c) Điều kiện cần :Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m 2 + m + 5)x – 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng. áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có. ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 2 v m = - 3/2 Điều kiện đủ: Khi m = 2 Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi m = - 3/ 2 Ta có phương trình x3 - 6x2 + x + = 0 Û x = v x = 2 v x = Thoả mãn yêu cầu bài toán. Kết luận : m = 2 và m = - 3/2. d) Điều kiện cần : Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m 2 + m + 5)x – 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng. áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có. ị x2 = - thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = - 6 v m = - 9 v m = 3/ 2. Điều kiện đủ: Khi m = - 6 Ta có phương trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 Û x = 1 v x = 2 v x = 3 Thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi m = - 9 Ta có phương trình x3 – 9x2 + 20x – 6 = 0 Û x = 3 v x = 3 ± Thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi m = 3/2 Ta có phương trình x3 + x2 - x - 6 = 0 Û x = - 4 v x = 3 v x = - Thoả mãn yêu cầu bài toán. Kết luận : m = - 6 , m = - 9 và m = 3/ 2 e) Ta có y’ = 3x2 – 18x + 23 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. y’’ = 6x – 18; y’’ = 0 Û x = 3 Ta có điểm uốn I(3; m + 15) Bài toán Û Û m = - 15 f) Ta có y’ = 3x2 – 18x + m + 20 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’> 0 Û 21 – 3m > 0 Û m < 7 Ta có y’’ = 6x – 18; y’’ = 0 Û x = 3 Điểm uốn I(3; - m + 3) Bài toán Û Û m = 3 g) Ta có y’ = 3x2 – 18x + m2 + m + 3 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’ > 0 Û m2 + m – 24 < 0 y’’ = 6x – 18 ; y’’ = 0 Û x = 3 Điểm uốn I (3; 3m2 – 2m - 40) Bài toán Û Û m = 4 v m = - h) Ta có y’ = 3x2 – 6mx + 3m + 14 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D’ > 0 Û 3m2 - 3m – 14 > 0 Ta có y’’ = 6x - 6m ; y’’ = 0 Û x = m Điểm uốn I(m ;- 2m3 + 3m2 + 12m - 9 ) Bài toán Û Û m = 3 v m = Bài tập 7: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. a) (C m): y = f(x) = x3 - 7x2 + mx - 8. b) (C m): y = f(x) = x3 - (3m + 1)x2 + (8m - 2)x - 8. c) (C m): y = f(x) = x3 - (m2 - m + 1)x2 + (m2 + m + 2)x - 8. d) (C m): y = f(x) = x3 - (3m + 1)x2 + (m + 12)x - m3. e) (C m): y = f(x) = x3 - 7x2 + mx + 27. f) (C m): y = f(x) = x3 + (3m - 1)x2 + (8m - 5)x + 27. g) (C m): y = f(x) = x3 - (m + 3)x2 - (m2 + m +1)x + 27. h) (C m): y = f(x) = x3 - (m + 4)x2 - (5m + 6)x + m3. Giải: a) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – 7x2 + mx - 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân. áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 14 Điều kiện đủ: Khi m = 14 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4v x = 2 thoả mãn Kết luận: m = 14 b) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – (3m + 1)x2 + (8m - 2)x -8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân. áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 2 Điều kiện đủ: Khi m = 2 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mãn Kết luận: m = 2 c) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – (m2 – m + 1)x2 + (m2 + m + 2)x - 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân. áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình ị x2 = 2 thay vào phương trình hoành độ giao điểm ta được m = 3 v m = 0 Điều kiện đủ: Khi m = 3 ta có phương trình x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 Û x = 1 v x = 4 v x = 2 thoả mãn Khi m = 0 ta có phương trình x3 – x2 + 2x – 8 = 0 Û x = 2 không thoả mãn Kết luận: m = 3 d) Điều kiện cần: Giả sử phương trình hoành độ giao điểm x3 – (3m + 1)x2 + ( m + 12)x – m3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số nhân. áp dụng định lí Viét và tính chất của cấp số nhân ta có hệ phương trình ị x2 = m thay vào phương trình hoành độ giao điểm