Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể A. Tóm tắt lý thuyết * Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi B là vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại các điểm A và B . Gọi  S x là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (a x b  ). Thể tích V của B là   b a V S x dx  . * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y 0 x a, x b (a b)       xung quanh Ox là b 2 a V f (x)dx  . * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường           y f x , y g x f x g x 0 x a;b x a, x b (a b)            xung quanh Ox là     b 2 2 a V f x g x dx     . * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  x f y , x 0 y a, y b (a b)        xung quanh Oy là   b 2 a V f y dx  . * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường           x f y , x g y f y g y 0 y a;b y a, y b (a b)            xung quanh Oy là     b 2 2 a V f y g y dy     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [SGKNC] Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 1  và x 1 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 x 1   ) là một hình vuông có cạnh là 22 1 x . Giải Diện tích thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 x 1   ) là     2 2 2S x 2 1 x 4 1 x        .  thể tích của vật thể là     1 1 2 3 1 1 1 1 1 16V S x dx 4 1 x dx 4 x x 3 3 1 1                  . Ví dụ 2. [ĐHB07] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ln x , y 0 và x e . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . Giải Ta thấy x ln x 0  x 1 . Suy ra thể tích của vật thể đã cho là V   e 2 1 x ln x dx  e 2 2 1 x ln xdx  e 2 3 1 ln xdx 3    e 3 2 3 2 1 e x ln x x d ln x 3 1            e 3 3 1 1e x 2ln x. dx 3 x              BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 e 3 2 1 e 2 x ln xdx 3          . Xét e 2 1 I x ln xdx  . Ta có I e 3 1 1 ln xdx 3   e 3 3 1 e 1 x ln x x d ln x 3 1           e 3 3 1 1 1e x dx 3 x             e 3 2 1 1 e x dx 3          3 3 e 1 1e x 3 3 1          32 1e 9 9   . Vậy  33 3 5e 22 1V e 2 e 3 9 9 27               . Ví dụ 3. Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi elip   2 2 2 2 x yE : 1 a b   (a b 0  ) quanh Ox (vật thể nhận được gọi là elipsoid). Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 Ta có 2 2 2 2 x y 1 a b    2 2by a x a    . Do đó elip đã cho thực chất là hợp của hai ĐTHS 2 2 by a x a   và 2 2by a x a    . Như vậy nếu gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường x a  , x a , y 0 , 2 2by a x a   thì vật thể đang xét nhận được bằng cách quay  H quanh Ox . y= - b a a 2-x2 -b b y x O -a a Thể tích của vật thể là V a 2 2 2 a b a x dx a          .   a2 2 2 2 a b a x dt a     2 2 3 2 a a b 1a x x 3a a a             24 ab 3   . Ví dụ 4. Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường 2y x và y x . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho  H quay quanh Ox . Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường 2y x và y x 2x x  4x x  x 0 x 1    . Với mọi  x 0;1 ta có 2x x x  . Từ đây suy ra thể tích của vật thể đang xét là BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 V     1 22 2 0 x x dx            1 4 0 x x dx   2 5 1 1 1 1x x 2 5 0 0             3 10   . Ví dụ 5. Cho 0 r a  . Tính thể tích vật thể nhận được khi quay hình tròn tâm  0;a , bán kính r quanh Ox (vật thể nhận được được gọi là hình xuyến). Giải Xét phương trình đường tròn tâm  0;a , bán kính r  22 2x y A r     2 2 2y A r x    2 2y A r x     2 2y A r x   . Như vậy đường tròn  0;a , bán kính r là hợp của hai ĐTHS 2 2y A r x   và 2 2y A r x   . y=A- r2-x2 y=A+ r2-x2 r -r y x A O r  Thể tích vật thể đang xét là V r 2 2 2 2 2 2 r A r x A r x dx                        r 2 2 r 4A r x dx     . Đổi biến x r sin t , t ; 2 2         2 2r x r cos t dx r cos tdt      . Đổi cận x r   t 2    , x r  t 2   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6  V     2 2 4A r cos t r cos tdt      2 2 2 2 4A r cos tdt        2 2 2 2A r 1 cos 2t dt      2 2 2 2 2 12A r t sin 2t 2                    2 22A r  . Ví dụ 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x  1C , 2xy 27   2C và 27y x   3C . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . Giải Trước hết ta tìm giao điểm giữa từng cặp hai trong ba đường cong đã cho. 2 2 xx 27   x 0   1C cắt  2C tại gốc tọa độ. 2 27x x   x 3   1C cắt  3C tại điểm A có hoành độ bằng 3 . 2x 27 27 x   x 9   2C cắt  3C tại điểm B có hoành độ bằng 9 . y= 27 x y= x2 27 y=x2 C 3 A 9 B O y x BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Giả sử V là thể tích vật thể đang xét; 1V , 2V là thể tích vật thể nhận được khi quay tam giác cong OAC , ABC quanh Ox . Ta có V 1 2V V  .   2 23 9 22 222 0 3 x 27 xx dx dx 27 x 27                                         2 23 9 22 222 0 3 x 27 xx dx dx 27 x 27                                       3 9 4 4 2 0 3 728 729 xx dx dx 729 729x              5 5 3 9 9 728 1 729 1x x 729 5 x 3645 0 3 3                728 242162 15 15           792 5   . Ví dụ 7. Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường 2y 2x x  và y 0 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên 1) quay quanh Ox . 2) quay quanh Oy . Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 1) Ta có 22x x 0   x 0 x 2    . Do đó, thể tích vật thể nhận được khi quay hình phẳng  H quanh Ox là     1 222 4 3 2 5 4 3 1 0 0 2 2 2 1 4 16V 2x x dx x 4x 4x dx x x x 5 3 15 0 0 0                         . 2) Ta có 2y 2x x   2x 2x y 0   ( ' 1 y   )  x 1 1 y   . Do đó  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1 1 y   , x 1 1 y   , y 0 , y 1 . 1- 1-y 1+ 1-y 1 O 2 x y Vậy thể tích vật thể nhận được khi quay  H quanh Oy là       1 12 2 2 0 0 1 8 8V 1 1 y 1 1 y dy 4 1 ydy 1 y 1 y 3 3 0                       . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 C. Bài tập Bài 1. [SGKNC] Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 x 3  ) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 22 9 x . (ĐS: 18 ) Bài 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x , y 0 và x 2 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS:  22 ln 2 1  ) Bài 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  2y x x 1  và y 0 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS: 105  ) Bài 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường xy xe , y 0 và x 1 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS:  2e 1 4   ) Bài 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường  3y x ln 1 x  , y 0 và x 1 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS:  2 ln 2 1 3   ) Bài 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 4y sin x cos x  , y 0 , x 2   và x   . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS: 23 8  ) Bài 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y 2 x  và y 0 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Oy . ( ĐS: 32 15  ) Bài 8. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x 4x 6   và 2y x 2x 6    . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS: 3 ) Bài 9. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường xy e , y 2 x  , x 0 và x 2 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh Ox . (ĐS:  2e 1  ) BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Bài 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y 8x và x 2 . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên 1) quay quanh Ox . 2) quay quanh Oy . (ĐS: 1) 16 , 2) 899 32  )