Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Về đại số tổ hợp

Đại Số Tổ Hợp Bao gồm: 1. Phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2. Nhị thức Niu Tơn 3. Xác suất Các bài toán về Đại số tổ hợp - Xác suất là những dạng toán mà học sinh thường gặp trong kỳ thi vào các trường Đại học, Cao đẳng. Việc dạy cho học sinh nắm được các khái niệm cũng như các công thức và áp dụng trực tiếp được các công thức này thì không có gì khó khăn. Tuy nhiên chúng ta nhận thấy đây là một vấn đề mà học sinh tỏ ra rất quan tâm bởi tính đa dạng của các bài toán và sự khó định hướng khi giải các bài toán thuộc mảng kiến thức này.Chẳng hạn, đối với các bài toán, học sinh thường có những cách giải khác nhau, cách nào cũng cảm thấy "có lý " nhưng lại cho những kết quả khác nhau. A/ Kiến thức cơ bản : - Hai quy tắc đếm cơ bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân - Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nhớ các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp. - Công thức khai triển nhị thức Niu -tơn - Phép thử, không gian mẫu, các kết quả có thể của một phép thử, các kết quả thuận lợi cho một biến cố. - Quy tắc cộng và nhân xác suất. B/ Kỹ năng cơ bản : - Biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản. - Biết tính bằng số các biểu thức có chứa tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp (sử dụng máy tính bỏ túi) - Biết tính các hệ số của trong khai triển nhị thức Niu -tơn và giải các bài toán liên quan. - Trình bày rõ ràng mạch lạc các lập luận khi giải một số bài toán tổ hợp. - Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển(Biết thiết lập không gian mẫu của một phép thử, biết thiết lập tập hợp mô tả biến cố A liên quan tới phép thử, biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển). - Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản. C/ Các dạng toán cơ bản : Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa Pn , A,Cnk Bài 1.1. Giải bất phương trình: A + 5A (1) Giải: ĐK: (*) (1) + 5 21x x (x2+ 2x - 24) 0 Vì điều kiện (*)nên phương trình có nghiệm làn: x = 3; x = 4. Nhận xét: Sai lầm của học sinh thường là thiếu điều kiện (*)hoặc chỉ có 1 trong 2 điều kiệnh, dẫn đến tập nghiệm của bất phương trình lấy được sẽ là: (-;- 6][0; 4] , hoặc là [3; 4]. Bài 1.2. Giải pt HD : Bài 1.3. Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0 ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3). Bài 1.4. Tính giá trị của nếu . ĐS: Bài 1.5. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử Dạng 2: Tìm hệ số (hoặc tìm số hạng) của khai triển nhị thức Niu tơn - Yêu cầu học sinh phải phân biệt rõ 3 loại câu hỏi: (1) - Tìm hệ số của số hạng thứ k của khai triển . (2) - Tìm hệ số của số hạng chứa xk nào đó trong khai triển . (3) - Tìm số hạng thứ k trong khai triển. - Cơ sở để khai thác dạng bài tập này chính là số hạng tổng quát của (a + b)n : Tk + 1 = c. an-k.bk. Bài 2.1. Cho nhị thức Niu tơn (2x3 + xy)15. a. Tìm hệ số của khai triển trong số hạng chứa x25y10 trong nhị thức trên. b. Tìm hệ số của số hạng chứa x25y10. c. Tìm số hạng chứa x25y10. Giải: Ta có: (2x3 + xy)15 = c . (2x3)15 - k. (xy)k = c. 215 - k.x 45 - 2k. yk Số hạng chứa x25 y10 ứng với k = 10. a. Hệ số của khai triển trong số hạng chứa x25 y10 là c . b. Hệ số của số hạng chứa x25y10 là 25. c. c. Số hạng chứa x25y10 là 25. c. x25 y10. Bài 2.2. 1/ Xác định số hạng không phụ thuộc x trong khai triển của (2x3 - )20. 2/ Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức (x2+ 1)n bằng 1024. Tìm hệ số a của số hạng a.x12 trong khai triển đó. HD: Tổng các hệ số ở một khai triển dạng (a+b) n chính là: = c+ c+ ...+ c = (1+ 1)n = 2n. (n = 10) Ngoài ra, một số học sinh thường vấp phải sai lầm khi nghĩ rằng thứ tự các số hạng trong khai triển của (a + b)n và (b + a)n là như nhau, vì thực ra ta có: (a + b)n = (b + a)n nên an -k. bk =bn -k. ak. số hạng thứ k +1 của (a+b)n là c an - kbk sẽ khác với số hạng thứ k +1 của (b+a)n là c bn - kak. ví dụ : Số hạng thứ 5 của khai triển (2+x) 12 là chứ không phải là Nhưng các em đã đổi chỗ cho 2 số hạng này, dẫn đến kết quả sai nhưng các em vẫn nghĩ là mình đúng. Vì vậy trong khi giảng dạy bài “Công thức nhị thức Niu tơn’’, giáo viên cần nhấn mạnh điều này. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức hoặc tính tổng chứa các số C . Dạng toán này thường sử dụng công thức , khai triển của một hoặc hai nhị thức . Bài 3.1/ Chứng minh rằng: ta có: C/m: VT = () + 2 () + = = ()+ () = = VP Bài 3.2/ Chứng minh rằng HD: Dùng các khai triển rồi cộng, trừ vế theo vế Bài 3.3/ Tính tổng HD: Tổng bằng Sau khi học sinh được học Đạo hàm, Tích phân , giáo viên nên áp dụng kiến thức mới học vào một số bài toán về nhị thức Niutơn ở dạng đơn giản Bài 3.4/ Chứng minh rằng , ta có: Hướng dẫn: áp dụng với f (x)= (3 + x)n lấy đạo hàm 2 vế và chọn x =1 Bài 3.5/ Chứng minh rằng Hướng dẫn áp dụng với f (x)= (1 + x)n lấy tích phân 2 vế từ 0 đến 1 Dạng 4: Bài toán về phép đếm (Lập số tự nhiên, phân công công việc, sắp xếp, ). Bài 4.1/ Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người Pháp, 2 người Nga ngồi trên một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau. Giải: Có 2! cách xếp đặt theo quốc tịch, sau đó có 3! cách xếp đặt chỗ cho 3 người Pháp và có 2! cách xếp đặt chỗ cho 2 người Nga. Vậy có tất cả: 2.6.2 = 24 cách xếp đặt. Bài 4.2/ a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập từ các chữ số 0,2,4,6,8 ? b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0,2,4,6,8 ? HD : a/ 4.5.5 = 100 b/ 4. = 24 Dạng này cần yêu cầu HS nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân, đồng thời phân biệt được tính có lặp hay không, có thể hoán đổi vị trí hay không. Dạng 5 : Tính xác suất : - Sử dụng định nghĩa cổ điển Sử dụng phép toán xác suất Ngoài các dạng toán đơn giản trong SGK, ta xét thêm 2 bài sau Bài 5.1/ Chọn ngẫu nhiên 2 em từ một nhóm học sinh gồm 10 nữ và 20 nam . Tính xác suất để chọn được 2 em đều là nam . C1: Gọi A là biến cố chọn được 1 nam lần thứ nhất Gọi B là biến cố chọn được 1 nam lần thứ hai P(A) = P(B) = C2 : ; Số kết quả thuận cho biến cố lấy 2 em đều nam là Vậy P = = . Bài 5.2/ Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi. Biết khả năng đỗ của mỗi người tương ứng là 90% và 70%. Tìm xác suất của các biến cố sau: Cả hai đều đỗ. 2) Có ít nhất một người đỗ. Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt. ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%. Giáo viên có thể chế biến các bài toán đếm của tổ hợp thành bài toán của xác suất. D/ Các dạng toán nâng cao : Dạng 1: Tìm hệ số (hoặc tìm số hạng) của khai triển nhị thức Niu tơn: Bài 1.1/ Sau khi khai triển và rút gọn thì A = có bao nhiêu số hạng ? HD : Số số hạng bằng 21+11- m với m là số số hạng đồng dạng của 2 khai triển. Đs: 29 (m=3) Bài 1.2/ Khai triển f(x) = và viết lại dưới dạng : f(x) = Tính a9 HD: Giải k+3l = 9 tìm được (k,l) là (3,2) hoặc (3,0) => a9 = ở dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm các số hạng không chứa x Tính số hạng ,hệ số nào đó Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (hoặc của đa thức khai triển) Bài 1.3/ (ĐH KB - 2007) Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng ĐS: n = 11, hsố = 22 Bài 1.4/ (ĐH KD - 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 Bài 1.5/ (ĐH KA - 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng . ĐS: n =10 , hsố = 210. Bài 1.6/ (ĐH KA - 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = ĐS: 238. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức hoặc tính tổng chứa các số C . Cần chú ý : + Kỹ năng sử dụng tổng, tích của khai triển 2 nhị thức + Cách xử lý đối với khai triển của tam thức + Nhận dạng loại toán có sử dụng đạo hàm, tích phân . Bài 2.1/:Chứng minh đẳng thức: Giải: Ta có: = => (1) Mặt khác ta có: = = = (2) Từ (1) và (2) ta suy ra kết quả. Bài 2.2/Chứng minh rằng: ta có: 12+ 22+...+ n2 = . Giải: VT = 12+22+ ...+ n2 = (quy nạp). Do: ta có: ; ; ... ; ; => VP = VT Bài 2.3/ Cho n là số tự nhiên, Chứng minh đẳng thức sau: ( Đề thi HSG 12 Nghệ An 2008 2009) Giai: Ta có với , Đạo hàm hai vế của (1) ta được Suy ra Đạo hàm hai vế của (2) ta được Thay vào (3) ta được đpcm. +/ Dạng tổng liên quan đến tích của hai khai triển .c. Bài 2.4/ Chứng minh rằng với m,n,k là các số tự nhiên, m , ta có: a/ b/ ()2+()2+ ... + ()2= c/ ()2-()2+(c22n )2-... + ()2= (-1)n . Giải: a/ Xét tích (1 + x)m . (1+x)n = (1 + x)m+n. VT = (.xm).( ) Do giả thiết m nên hệ số của xk trong VT này là VP = ( ). Hệ số của xk trong khai triển của VP là => đfcm. b/ Đẳng thức đã cho chính là: . ( Do ). Bài toán hoàn toàn giống câu a/ với m = n. c/ Để ý dấu của vế trái trong đẳng thức đã cho, xét đẳng thức: (1+x)2n(1-x)2n= (1-x2)2n (*). Tổng các chỉ số trên trong mỗi số hạng bằng 2n. Vậy ta chỉ cần xác định hệ số của x2n trong khai triển của đẳng thức (*)của 2 vế và đồng nhất hệ số đó ở 2 vếc, ta sẽ được đẳng thức cần c /m. +/ Tổng có liên quan đến công cụ đạo hàm Bài 2.5/ Chứng minh đẳng thức: n.4n-1. Xét khai triển: Lấy đạo hàm 2 vế ta được: 2n(2x - 1)n-1 = 2n.(2x)n-1 - 2(n-1). Cho x = 2 , ta được đfcm. Nếu cần chứng minh có liên quan đến tổngk(k-1)an-k.bk-2 ta phải dùng đến đạo hàm cấp 2 . +/ Tính tổng nhờ sử dụng tích phân : Bài 2.6/ Chứng minh rằng: 2 Giải: Ta có: (1 - x)2 = Lấy tích phân 2 vế (từ 0 đến 2) ta có: = 2 (1) Mặt khác ta có: Đặt 1 - x = u => du = -dx. Đổi cận: = (2) So sánh (1) và (2) ta có đpcm. Dạng 3: Bài toán về phép đếm (Lập số tự nhiên, phân công công việc, sắp xếp, ). Bài 3.1/ Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu ? Giải : Số cách chọn 4 bi trong 15 bi là = 1365 Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là : 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng có = 180 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng có = 240 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng có = 300 Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là : 180+240+300= 720 Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ cả 3 màu là 1365-720=645 (cách chon). * Có thể giải bài toán trên bằng cách tính trực tiếp bằng cách xét hết tất cả các trường hợp: 4 đỏ + 1đỏ, 3 trắng + 2 đỏ, 2 trắng + 1đỏ 3 trắng + Bài 3.2/ Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. a/ Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ? b/ Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành 2 nhóm chẵn lẻ riêng biệt ? Giải : a/ Xếp các phiếu số 1,2,3,5 có 4! = 24 cách Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh số 2 có 2 cách => có cả thảy 2.24 = 48 cách xếp thỏa mãn yc b/ Có 2 cách xếp vị trí cho nhóm chẵn và nhóm lẻ Với mỗi cách xếp trên, có 2! cách xếp 2 số chẵn và 3! cách xếp 3 số lẻ Vậy có cả thảy 2.2!3! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu. Bài 3.3/ Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách toán, 4 cuốn sách lý và 3 cuốn sách hóa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A,B,C,D,E,F mỗi em 1 cuốn. a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại toán và lý. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ? b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại sách trên đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải : a/ Có cách lấy 6 từ 9 cuốn toán và lý ; Với mỗi cách lấy đó có 6! cách trao 6 cuốn sách cho 6 học sinh khác nhau. Vậy có cả thảy .6! = 60480 cách tặng b/ Lời giải sai: Thầy giữ lại mỗi thể loại 1 cuốn, 6 học sinh nhận được 6 cuốn từ 9 cuốn. vậy có cả thảy + 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách ??? - ( TS Bùi Quang Trường) + Số cách giữ lại 3 cuốn là = 60 cách Số cách chọn 6 từ 9 cuốn còn lại là cách Sau đó trao cho 6 học sinh nên có cả thảy 60..6! = 3628800 cách !!! ( Trong khi đó chỉ có.6! = 665280 cách lấy tùy ý 6 cuốn để tặng 6 em ) Lời giải đúng : Để ý thầy giáo không thể chọn để tặng cùng hết cả 2 loại sách bất kỳ. Ta tính xem có bao nhiêu cách chọn sách mà hết tất cả 1 thể loại nào đó . Số cách chọn 6 từ 12 cuốn sách là cách Số cách chọn sao cho không còn sách toán là Số cách chọn sao cho không còn sách lý là Số cách chọn sao cho không còn sách hóa là Số cách chọn ra 6 cuốn thỏa mãn yêu cầu là : - (++) = 805 Đem 6 cuốn đó tặng cho 6 học sinh có 6! cách Vậy có cả thảy 6!805 = 579600 cách tặng thỏa mãn yêu cầu . Bài 3.4/ Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ 4 nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau ? Lời giải : Chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm 5 người trong đó có 3 nữ 2 nam. Suy ra số cách chia là .1 = 120 cách Lời giải sai ở đâu ? Bài 3.5/ Có 8 người Việt gồm 5 nam 3 nữ và 4 người Lào đều là nam. Cần lập 1 nhóm gồm 3 người mà có cả nam và nữ, có cả Việt và Lào. Hỏi có mấy cách lập ? Đề nghị các thầy cô xem xét hộ 2 lời giải sau đây và tìm lời giải đúng Lời giải 1: + Có cách chọn 1 người Lào từ 4 người Lào => có giới tính nam, có Lào + Có cách chọn 1 nữ từ 4 nữ Việt => có giới tính nữ, có Việt + Có cách chọn 1 người tùy ý từ 10 người còn lại Vậy có cả thảy 4.3.10 = 120 cách lập nhóm thỏa mãn yêu cầu. Lời giải 2: + Có cách chọn 2 nữ Việt và 1 nam Lào + Có cách chọn 1 nữ Việt và 2 nam Lào + Có cách chọn 1 nữ Việt , 1 nam Lào và 1 nam Việt Vậy có cả thảy 12 + 18 + 60 = 90 cách lập nhóm thỏa mãn yêu cầu. BàI TậP THÊM: 3.6/ Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4 ? 3.7/ Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn ? 3.8/ Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ? 3.9/ Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5 người sao cho trong đó có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ ? 3.10/ Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn ? Dạng 4 : Tính xác suất : - Sử dụng định nghĩa cổ điển - Sử dụng phép toán xác suất Bài 4.1/ Gieo một đồng xu 3 lần . Xét các biến cố : A : mặt sấp hay mặt ngửa xuất hiện 3 lần B : mặt ngửa xuát hiện ít nhất 2 lần Tính xác suất của các biến cố trên. Xét tính độc lập của A và B . Giải : Xét không gian mẫu Vậy Do => A, B độc lập . Ví dụ này minh chứng rằng A, B độc lập không nhất thiết phải có Bài 4.2 / Môt hôp co 16 viên bi gôm 7 bi xanhbi đo, 4 bi đen . Sau khi đa trôn đêuây ngâu nhiên cung môt luc 7 viên bi . Tinh xac suât đê cac bi đươc lây ra co đu ca ba mau . cach lây tuy y 7 bi tư 16 bi la cách lấy tùy ý 7 bi từ 16 bi là = 11440 Goi la biên cô đươc 7 bi co đu ca 3 mau la biên cô đươc 7 bi không co đu ca 3 mau sô kêt qua thuân lơi cho biên cô ố kết quả thuận lợi cho biến cố + Ca 7 bi chi 1 mauco 1 cach lây 7 bi toan mau xanh đung 2 mau xanh va đo cach lây la ách lấy là (không tinh lây 7 bi xanh) + Co đung 2 mau xanh va đen cach lây la cách lấy là (không tinh lây 7 bi xanh) + Co đung 2 mau đen va đo cach lây la ách lấy là Vây sô kêt qua thuân lơi cho y số kết quả thuận lợi cho la: 1 + + + = 1157 Suy ra sô kêt qua thuân lơi cho biên cô: 11440 1157 = 10283 Vây xac suât đê cac bi đươc lây ra co đu ca 3 mau băng y xác suất để các bi được lấy ra có đủ cả 3 màu bằng Bài 4.3/ Có 2 hộp, mỗi hộp đựng các quả cầu trắng và đen giống hệt nhau về kích thước và hình dạng. Tổng số quả cầu ở hai hộp là 25. Từ mỗi hộp lấy ra 1 quả cầu. Biết xác suất lấy được 2 quả trắng là 0,54 , hãy tính xác suất để lấy được 2 quả cầu đen . Giải : Gọi m1, m2 lần lượt là số quả cầu trong hộp I và hộp II. (m1 m2 ) => m1+ m2 = 25 (1) k1, k2 lần lượt là số quả cầu trắng trong hộp I và hộp II Điều kiện là: m1, m2, k1, k2 ; Xác suất để lấy được 2 quả cầu trắng là => 50k1k2 = 27m1m2 (2) Từ (2) ; từ (1) Vậy phải có và TH1. m1= 5 , m2 = 20 từ (2) => k1k2 = 54 . Do ĐK nên suy ra k1 = 3 , k2 = 18 số quả cầu đen trong 2 hộp đều là 2 => XS lấy được 2 quả đen là TH1. m1= 10 , m2 = 15 từ (2) => k1k2 = 81. Suy ra k1 = k2 = 9 =>: số quả cầu đen tương ứng trong hộp I và II là 1 và 6 => XS lấy được 2 quả đen là KL: Xác suất để lấy được 2 quả cầu đen là 0,04 Bài 4.4/ Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném 1 quả với xác suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7 và 0,8 . Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom ? Giải : Gọi A là biến cố máy bay 1 ném trúng mục tiêu B là biến cố máy bay 2 ném trúng mục tiêu =>là biến cố mục tiêu bị trúng bom Do hai máy bay ném bom độc lập nên = 0,7.0,8 = 0,56 Vậy = 0,94 Đề thu hoạch: 1/ Khai triển và rút gọn biểu thức ta thu được đa thức Hãy tính a8 biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 2/ Có 2 xạ thủ loại 1 và tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ theo thứ tự là 0, 9 và 0,8. Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất viên đạn đó trúng đích.