Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Các dạng toán thường gặp ở hàm bậc 3

trường trung học phổ thông quỳ hợp 1 lớp:12A giáo viên:trần bá hải tổ một * lớp 12A Các dạng toán thường gặp ở hàm bậc 3 Bài toán 1:Tìm điều kiện để hàm số đồng biến Phương pháp giải:Tìm điều kiện để Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. giải : Để hàm số đồng biến trên R thì: y’ y’=3x2 -6(2m+1)x+12m+5 36m2-6 0 Kết luận:Vậy là những giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến. giải : Để hàm số đồng biến trên R thì: y’ y’=3mx2 -4(2m-1)x+m-2 vô nghiệm Kết luận:Vậy không tồn tại m thoả mãn ycbt. Ví dụ 3: Cho hàm số y= x3-(sina+cosa)x2+x.sin2a+1 Tìm a để hàm số luôn đồng biến. Đáp số: Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến Phương pháp giải:Tìm điều kiện để Ví dụ : Cho hàm số y= (a2-1) x3+(a-1)x2-2x+1 Tìm a để hàm số nghịch biến trên R. giải : Để hàm số nghịch biến trên R thì: y’ y’=(a2-1)x2 +2(a-1)x-2 Kết luận:Vậy là những giá trị cần tìm . Bài toán 3: a>Tìm điều kiện để hàm số đồng biến b> Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến Phương pháp giải:a>Tìm điều kiện để b> Tìm điều kiện để Ví dụ1: Cho hàm số y=2x3+3mx2-2m+1 Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1;2) Đáp số:m ≤ -2 ví dụ 2: cho hàm số y=x3-3x2+3mx-1 tìm m để hàm số đồng biến trên Đáp số:m ≥ 0 Ví dụ3 : Cho hàm số y=x3-(m+3)x2+mx+m+5 Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2. Đáp số: Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Phương pháp giải:Tìm điều kiện để Ví dụ 1: cho hàm số y= x3-(sina+cosa)x2+x.sin2a+1 Tìm a để hàm số có cực trị. giải : Ta có :y’=x2-(sina +cosa)x+sin2a Để hàm số có cực trị thì y’=0 có 2 nghiệm phân biệt (sina +cosa)2-3sin2a >0 1-2sin2a >0 vậy là những gí trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số y= x3+ ( cosa-3 sina)x2-8(cos2a+1)x +1 CMR: Hàm số luôn có cực tri Hướng dẫn: Tính y’=12cos2a-3sin2a+21 và chứng minh y’>0 Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3-ax2+9 Với giá trị nào của a thì hàm số có cực trị.tìm tập hợp các điểm cực trị của đường cong đã cho khi a biến thiên. Đáp số:Với thì hàm số có cực trị.Tập hợp tất cả các điểm M cần tìm là đồ thị của hàm số y=x3+9. Bài toán 5: Tìm điều kiên để hàm số không có cực trị Phương pháp giải:Tìm điều kiện để Ví dụ : Cho hàm số y=(x+a)3+(x+b)3-x3 Tìm diều kiện của a,b để hàm số không có cực trị giải: Ta có : để hàm số không có cực trị =>y’=0 vô nghiệm koặc có nghiệm kép ab0 Kết luận:với a,b thoả mãn ab0 thì hàm số đã cho không có cực trị. Bài toán 6: Viết phương trình qua 2 điểm cực trị của hàm số Phương pháp giải: Lấy y chia cho y’ =>Y=Y’.g(x)+R(x) và chứng minh :R(x) là đường thẳng qua 2 điểm cực trị. Ví dụ : Cho hàm số y=x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x-m(m-1) Viết phương trình qua 2 điểm cực trị của hàm số Đáp số: Bài toán 7: Tìm điều kiên để hàm số đạt cực trị tại x=x0 Phương pháp giải:Sử dụng phương pháp điều kiện cần và điều kiện đủ B1 :giả sử hàm số đạt cực trị tại x=x0 =>y’(x0)=0 =>đk B2 :kiểm tra lại bằng dấu hiệu=>kết luận ví dụ: cho hàm số y=mx3+3x2+5x+2 tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=2 Đáp số :m= Ví dụ1 : Cho hàm số y=-mx3+2m2x2+5 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=đó là điểm cực đại hay cực tiểu. Đáp số:m=1và x=là điểm cực đại Ví dụ2: Cho hàm số y=x3-3mx2+3(m2-1)x+m Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x=2 Đáp số:m=1 Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3-(3+m)x2+mx+m+5 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x=2 Đáp số:m=0 Bài toán 8: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều trục tung. Phương pháp giải :Tìm điều kiện để : Ví dụ1: Cho hàm số y=x3+3(m-1)x2+2(m2-4m+1)x-4m(m-1) Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục tung. Đáp số :m=-1 Ví dụ 2:Cho hàm số y=2x3+mx2-12x+13 Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục tung. Đáp số:m=0 Bài toán 9: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều trục hoành. Phương pháp giải :Tìm điều kiện để : Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-(2m+1)x2-9x Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục hoành. Đáp số:m= Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3-3ax2-x+4a3 Tìm a để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục hoành. Đáp số:a=0 Bài toán 10: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại một điểm (Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có 1 nghiệm, a≠0 Phương pháp giải : Tìm điều kiện để Ví dụ1:Cho hàm số y=x3-3mx+3m Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm. Đáp số: Ví dụ2:Cho hàm số y=x3-3x2+3(1-m)x+1+3m Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm. Đáp số: m<1 Bài toán 11: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại hai điểm (Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có 2 nghiệm, a ≠0) Phương pháp giải : Tìm điều kiện để Ví dụ:Cho hàm số y=x3-3x2+3(1-m)x+1+3m Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm. Đáp số: m=1 Bài toán 12:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm (Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm ,a ≠0) Phương pháp giải : Tìm điều kiện để Ví dụ:Cho hàm số y=x3+mx2-m Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm. Đáp số: Bài toán 13: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. (cách phát biểu khác:1.Tìm điều kiện để phương trình bậc ba:ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng) 2.Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A,B,C =>AB=BC =>xA , xB , xC lập thành cấp số cộng. Phương pháp giải :Tìm điều kiện để : Ví dụ1: Cho hàm số y=x3-3mx2+4m3 Xác định m để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Đáp số :m=0 hoặc m = Ví dụ2: Cho hàm số y=x3+x2-16x+20 Tìm điều kiện của a,b để đ/t y=ax+b cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho B là trung điểm của AC Đáp số : Bài toán 14:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn cho trước. Phương pháp giải :ĐK: Ví dụ 1: Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m) Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1. Đáp số: Ví dụ 2:Cho hàm số y=x3-x2+18mx-2m Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. Đáp số:không tồn tại m thoả mãn ycbt Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3-(m+2)x2+(4m-1)x-2(2m-1) Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Đáp số: Bài toán 15:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn cho trước. Phương pháp giải :ĐK Ví dụ:Cho hàm số y=mx3-x2-2x+8m Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x<-1. Đáp số: Bài toán 16: Tìm điều kiện để GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn ,hoặc khoảng Alà lớn nhất ,bé nhất hoặc bằng . Phương pháp giải :c1:sử dụng định nghĩa GTLN-GTNN c2:tìm GTLN-GTNN và buộc nó bằng Ví dụ : Cho hàm số y=-x3-m2x+2 Tìm m sao cho hàm số đạt GTNN trên bằng 1. Đáp số : là những giá trị cần tìm. Bài toán 17: Chứng minh rằng:đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hoặc xác định tâm đối xứng của hàm số bậc ba Phương pháp giải :sử dụng phương pháp chuyển hệ trục toạ độ cho trục hoành phải đi qua điểm uốn =>hàm số lẻ và gốc toạ độ mới là điểm uốn. Ví dụ : Cho hàm số y=-x3+3x2+9x+2 Xác định tâm đối xứng của hàm số. Đáp số:Tâm đối xứng là điểm uốn của hàm số U(1,13) Bài toán 18: Chứng minh rằng:hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn của hàm số bậc ba là lớn nhất hoặc bé nhất. Phương pháp giải :Giả sửM(x0,y0) là điểm có hệ số góc lớn nhất hoặc bé nhất và chứng minh được rằng: Ví dụ:Cho hàm số y=x3+3x2-9x trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số .CMR:Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. giải:Ta có :Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=x0 là: k=y’(x0)=3x02+6x0-9=3(x0+1)2-12 =>KMin=-12 tại x0=-1 =>y0=11 Mặt khác:y’’=6x+6 =>điểm uốn là :I(-1,11) =>Tiếp tuyến qua I(-1,11) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Bài toán 19:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và CĐ-CT đối xứng nhau qua đường thẳng y=Ax+B Phương pháp giải : đk: Ví dụ1 : Cho hàm số y=x3-mx2+m3 Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời cực đại –cực tiểu đối xứng nhau qua đ/t y=x Đáp số: là giá trị cần tìm. Ví dụ2 : Cho hàm số y=x3-3ax2+4a3 Tìm a để hàm số có cực trị đồng thời cực đại –cực tiểu đối xứng nhau qua đ/t y=x Đáp số: là giá trị cần tìm. Bài toán 20:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân . (cách phát biểu khác:Tìm điều kiện để phương trình bậc ba:ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân) Phương pháp giải:  Điều kiện cần:Phương trình bậc ba ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân =>x22=x1.x3 => x23=x1.x2.x3 theo định lý viet cho hàm bậc ba ta có : Điều kiện đủ: Thử lại. Ví dụ1 : Cho hàm số y=x3+2x2+(m+1)x+2(m+1) (1) Xác định m để để hàm số có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân. Giải: Điều kiện cần:Giải sử phương trình bậc ba có 3 ngiệm lập thành cấp số nhân . Khi đó : thay vào (1) Ta có: (m+1)(m2+2m-15)=0 Điều kiện đủ: Với m=-1 =>(1) x3+2x2=0 (Loại) Với m=3 =>(1) x3+2x2+4x+8=0 x=-2 =>Loại Với m=-5 =>(1) x3+2x2-4x-8=0 (Loại) Kết luận:Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ2 : Cho hàm số y=2x3+mx2+(m+21)x+(m-1) Xác định m để để hàm số có 3 nghiệm là x1=2,x2=4,x3=a lập thành cấp số nhân. Đáp số : m=-7 Bài toán 21: Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Phương pháp giải :Giả sử A(xA,yA) ;và B(xB,yB) là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ => 0 là trung điểm của AB => => ta có:yA=y(xA)=y(-xB)=-yB=-y(xB) => y(-xB) =-y(xB) =>giải pt này =>ĐK Ví dụ : Cho hàm số y=2x3+3mx2-3m+1 Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Đáp số: Bài toán 22: Tìm điều kiện để đồ thị hàm sốy=ax3+bx2+cx+d cắt ox tại ba điểm phân biệt sao cho: x1<A<x2<x3 x2<x2<A<x3 Phương pháp giải : ĐK : a. b. Ví dụ : Cho hàm số y=x3-x2+18mx-2m Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có hoành độ thoả mãn x1<0<x2<x3 Đáp số:m<0 là giá trị cần tìm. Bài toán 23: Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d Lập phương trình parabol đi qua hai điểm cực trị thoả mãn điều kiện cho trước. Phương pháp giải : Cách 1:Sử dụng được trong trường hợp toạ độ hai điểm cực trị A;B của hàm số là các hàm số hữu tỷ khi đó thực hiện các bước : B1:Giả sử parabol có phương trình: y=a1x2+b1x+c1 (c) B2:sử dụng điều kiện ban đầu và đ/k A,B ta thiết lập được hệ p/t theo ẩn a1,b1,c1 B3:Giải hệ => a1,b1,c1 =>p/t cần lập. Cách 2: B1:Tìm các điểm cực trị thoả mãn hệ phương trình: =>y=Mx+N +m(3ax2+2bx +c) là phương trình parabol đi qua hai điểm cực trị của hàm số. B2:sử dụng đ/k xác định m. B3:Kết luận. Ví dụ : Cho hàm số y=x3-3x2+4 Lập phương trình parabol đi qua hai điểm cực trị và tiếp xúc với đ/t y=-2x+2 Đáp số :Phương trình parabol cần lập :y=2x2-6x+4 Bài toán 24: Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(x0,f(x0)) Phương pháp giải : Sử dụng ý nghĩa hình học ta có phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) Ví dụ : Cho hàm số y=x3-2x2 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(1,-1) Giải: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(1,-1) là: y=f’(1)(x-1)-1 Mà: f’(x)=3x2-4x => f’(1)=-1 =>phương trình:y=-(x-1)-1=-x Bài toán 25: Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng K Phương pháp giải : Bước 1:Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm =>f’(x0)=K Bước 2:Giải phương trình : =>f’(x0)=K =>x0. Bước 3:Quy về (bài toán 1). Ví dụ : Cho hàm số y=x3 a )Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đ/t y=3x+10 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đ/t Giải: a) Do tiếp tuyến song song với đ/t y=3x+10 =>K=3 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm : =>f’(x0)=3 3x02=3 +Với x0=1 => y0=1 =>M0(1,1) =>phương trình tiếp tuyến tại M0(1,1) là: y=f’(1)(x-1)+1=3(x-1)+1=3x-2 + Với x0=-1 => y0=1 =>M1(-1,-1) =>phương trình tiếp tuyến tại M1(-1,-1) là: y=f’(-1)(x+1)-1=3(x+1)-1=3x+2 Kết luận:Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán là :y=3x-2 và y=3x+2 b) Do tiếp tuyến vuông góc với đ/t =>K=12 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm : =>f’(x0)=12 3x02=12 +Với x0=2 => y0=8 =>M0(2,8) =>phương trình tiếp tuyến tại M0(2,8) là: y=f’(2)(x-2)+8=12(x-2)+8=12x-16 + Với x0=-2 => y0=-8 =>M1(-2,-8) =>phương trình tiếp tuyến tại M1(-2,-8) là: y=f’(-2)(x+2)-8=12(x+2)-8=12x+16 Kết luận:Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán là :y=12x-16 và y=12x+16 Bài toán 26: Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1,y1) Phương pháp giải : cách 1: Bước 1:Gọi Mx0,y0) là tiếp điểm . =>p/t tiếp tuyến tại M(x0,y0) là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) Bước 2:Do tiếp tuyến đi qua A(x1,y1) => y1=f’(x0)(x1-x0)+f(x0) (*) Bước 3:Giải (*) tìm x0 quy về bài toán 1. cách 2: B1:GIả sử p/t đ/t đi qua A(x1,y1) và có hệ số góc K là: y=k(x-x1)+y1 (*) B2: Để đường thẳng trên là tiếp tuyến thì hệ sau có nghiệm: Giải phương trình này tìm K và thế vào (*). Ví dụ : Cho hàm số y=x4/4-x2 a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(0,0). Đáp số:Có 3 phương trình Là: Bài toán 27: Cho hàm sốy=ax3+bx2+cx+d Tìm những điểm trên mặt phẳng mà từ đó ta kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị hàm số. Phương pháp giải : Gọi Mx0,y0) là những điểm mà từ đó ta kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị hàm số . B1:GIả sử p/t đ/t đi qua A(x1,y1) và có hệ số góc K là: y=k(x-x1)+y1 (*) B2: Để có n tiếp tuyến thì hệ sau n có nghiệm: Tìm điều kiện để phương trình này có n nghiệm =>DDKBT. Trên đây là những bài toán cơ bản của hàm bậc ba mà Tổ Một đã tìm hiểu được –Trong quá trình biên soạn thì không thể tránh thiếu sót .Mong các bạn và thầy cô hãy góp ý cho thêm. quỳ hợp-Ngày17Tháng12Năm2007