Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Sự biến thiên của các hàm số và ứng dụng

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng Mục lục Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số .................................................................2 A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................2 B. Một số ví dụ .......................................................................................................................3 C. Bài tập ............................................................................................................................. 12 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 14 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số ......................................................................... 18 A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 18 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 20 C. Bài tập ............................................................................................................................. 24 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 25 Loại 3. Ứng dụng xét phương trình ........................................................................................... 28 A. Nguyên tắc chung ........................................................................................................... 28 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 29 C. Bài tập ............................................................................................................................. 39 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 41 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Cho  f : a;b   . +) f được gọi là đồng biến trên K nếu: 1x ,  2x a;b , 1 2x x     1 2f x f x . +) f được gọi là nghịch biến trên K nếu: 1x ,  2x a;b , 1 2x x     1 2f x f x . Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số. * Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a;b . Khi đó +)  f ' x 0  x a;b   f đồng biến trên  a;b . +)  f ' x 0  x a;b   f nghịch biến trên  a;b . +)  f ' x 0  x a;b   f không đổi trên  a;b . Để xét tính đơn điệu của hàm số  y f x , ta làm như sau: +) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. +) Bước 2: -) Tính  f ' x . -) Tìm nghiệm của phương trình  f ' x 0 . -) Xét dấu của  f ' x (nếu cần). +) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. +) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2f x x 3x 9x 2    . Giải +)  TXÑ . +)    2 2f ' x 3x 6x 9 3 x 2x 3      ,  f ' x 0  2x 2x 3 0    x 1x 3     . +) Bảng biến thiên: +∞ -∞ f x( ) f ' x( ) ++ _ 00 -25 7 +∞3-1-∞x   x lim f x    ,   x lim f x    . +) Kết luận: f đồng biến trên  ;1 và  3; , nghịch biến trên  1;3 . Chú ý: 1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n   n n 1n n 1 1 0f x a x a x ... a x a     ( *n , na 0 ). Ta có   neáu neáu n x n a 0 lim f x a 0       ,   neáu , chaün neáu , leû neáu , chaün neáu , leû n n x n n a 0 n a 0 n lim f x a 0 n a 0 n            . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 2. Một số quy tắc xét dấu: a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét  g x ax b  ( a 0 ). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của  g x (quy tắc “phải cùng trái khác”): _ _ b a _ +ag x( ) 0 +∞∞x b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét   2g x ax bx c   ( a 0 , 2b 4ac   ). Ta có ba trường hợp sau đây: TH1: 0  :  ag x 0 x . TH2: 0  :  ag x 0 x . Dấu “ ” xảy ra  b2ax   . TH3: 0  :  g x có hai nghiệm phân biệt 1 2x x . Ta có  ag x 0  1 2x x x  ,  ag x 0  1 2 x x x x    . Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của  g x trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”): +0 x2x1_ _+ag x( ) 0 +∞∞x c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa thức có dạng:        k k k1 2 n1 2 nP x a x x x x x x     , trong đó: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 - a 0 là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của  P x . - 1 2 nx x x  là các nghiệm của  P x , - 1k , , nk là các số nguyên dương, ik được gọi là bội của nghiệm ix . Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức  P x : - Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( nx ) thì  P x cùng dấu với a . -  P x không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội chẵn. d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2f x x 3x 3x 1     . Giải +)  TXÑ . +)    22f ' x 3x 6x 3 3 x 1 0        x . Dấu “ ” xảy ra  x 1 . +) Bảng biến thiên: 0 1 +∞ -∞ f x( ) f ' x( ) __ 0 +∞-∞x   x lim f x    ,   x lim f x    . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 +) Kết luận: f nghịch biến trên  . Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy  f ' x 0 x  và  f ' x 0  x 1 , tuy nhiên f vẫn nghịch biến trên  . Tổng quát hơn, ta có: +)  f ' x 0  x a;b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a;b  f đồng biến trên  a;b . +)  f ' x 0  x a;b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a;b  f đồng biến trên  a;b . Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số   4 3 2f x 3x 4x 12x 24x 5     . Giải +)  TXÑ . +)        3 2 3 2 2f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2           . +) Bảng biến thiên: _ -7+16 2 -7-16 2 16 0 2 +∞ f x( ) f ' x( ) ++ _ 00 +∞02∞x   x lim f x    . +) Kết luận: f nghịch biến trên  ; 2  và  1; 2 , đồng biến trên  2;1 và  2; . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số   2x 3f x 1 2x    . Giải +)  TXÑ 12\  . +)      7 21 2x 1 2f x \' x 0      . +) Bảng biến thiên: ∞_ +∞ _ _ 11 __ 1 2 _ f x( ) f ' x( ) +∞∞x   3 x 1x x x x 22x 3lim f x lim lim 1 1 2x 2          ,     1x 2 lim f x     ,     1x 2 lim f x     . * Kết luận: f nghịch biến trên  12; và  12 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định). Chú ý: * Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn: 3 4 72 x 2 3x x 3 3 5x x 2 3x x 3x 4x 7 0lim lim 0 11x 3x 5              (lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là 3x ). * Cách xác định các giới hạn một phía:    x x0 f x lim g x với điều kiện  0f x 0 ,  0g x 0 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 +) 0a x   0x x ;a  :  g x cùng dấu với  0f x     x x0 f x lim g x   . +) 0a x   0x x ;a  :  g x trái dấu với  0f x     x x0 f x lim g x   . +) 0a x   0x a;x  :  g x cùng dấu với  0f x     x x0 f x lim g x   . +) 0a x   0x a;x  :  g x trái dấu với  0f x     x x0 f x lim g x   . Ví dụ 5. Xét chiều biến thiên của hàm số   2x x 1f x x 1     . Giải +)  TXÑ \ 1  . +)     2x 2x 2x 1 f ' x    . +) Bảng biến thiên: 3 -1 +∞+∞ ∞_∞_ ++ __ 210 00 _ f x( ) f ' x( ) +∞∞x   12 x 1x x x x x 1x x 1lim f x lim lim x 1 1            ,   1 x 1x x x x 1 lim f x lim 1        THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9     1x 2 lim f x     ,     1x 2 lim f x     . +) Kết luận: f đồng biến trên  ;0 và  2; , nghịch biến trên  0;1 và  1;2 . Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số   2f x 1 x  . Giải +)  TXÑ -1;1 . +)     2 xf ' x x 1;1 1 x       . +) Bảng biến thiên + _ _0 1 00 101_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x * Kết luận: f đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . Ví dụ 7. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  f x 1 x x 1    . Giải *  TXÑ -1;1 . *     1 x 1 x1 1 x 2 1 x 2 1 x 2 22 1 x 1 x 1 x 1 x f ' x                  x 1;1   . * Bảng biến thiên THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 2 + _ _0 2 2 101_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x * Kết luận: f đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình. Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2y 2x 1 x   Giải +) TXÑx  21 x 0    x 1;1  . Vậy  TXÑ 1;1  . +) 2 2 2 x 2 1 x xy ' 2 1 x 1 x        ,  x 1;1  .  x 1;1   , ta có y ' 0  22 1 x x 0    22 1 x x    2 2 x 0 4 1 x x      2 5 x  . y ' 0  2 5 x  . +) Bảng biến thiên THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 11 5 2 -2 -1 + _0 1 2 5_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x +) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên 2 5 1;     , nghịch biến trên 2 5 ;1     . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 12 C. Bài tập Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây 1) 3 2y 2x 2x x 2     . 2) 3 223y x 2x 16x 31     . 3) 3 2y x 3x 3x 5    . 4) 4 312y x x x 5    . 5) 4 3 2y 3x 22x 51x 36x 1      . 6) 5 345y x x 8    . 7) 2 x1 xy    . 8) 3x 32x 3y    . 9) 2x 2x 4 x 2y      . 10) 1 1x x 2y   . 11) 3x2x 1 y   . 12) x 1 3 x y  . 13) y x 2 3 x    . 14) 2y x 2x 3   . 15) y x 2  . 16) 2y x 2x  . 17) 4 4y x 2 5 x    . 18) [ĐHA08] 4 4y 2x 2x 2 6 x 2 6 x      . 19) 33 44y x 3 3 x 3 4 x 3 1 x 3 1 x 4 1 x            . 20) y 2 1 x x 2 x     . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 13 Bài 2. Chứng minh 1) 2y x 9  đồng biến trên  3; . 2) 4y x x   nghịch biến trên các khoảng  2;0 ,  0;2 . 3) 3 xy 2x 1    nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. 4) 22x 3xy 2x 1    đồng biến trên mỗi khoảng xác định. 5) 2y x x 8    nghịch biến trên  . 6) 2y x cos x  đồng biến trên . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 14 D. Hướng dẫn và đáp số 1) Hàm số nghịch biến trên  . 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 4  và  2; , đồng biến trên  4;2 . 3) Hàm số đồng biến trên  . 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  12 ;2 , đồng biến trên các khoảng  121; và  2; . 5) Hàm số đồng biến trên các khoảng  12; và  3; , nghịch biến trên các khoảng  12 ;2 và  3; . 6) Hàm số đồng biến trên các khoảng 32;       và 32 ;      , nghịch biến trên 3 32 2;      . Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 0 . 7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  1;  ). 8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng  32;  và  32 ; ). 9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và  4; , đồng biến trên các khoảng  0;2 và  2;4 . 10) +)  TXÑ \ 0;2  . +)     4 x 1 2x x 2 y '    . +) Bảng biến thiên: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 15 +∞ +∞ ∞_∞_ 0 00 +_ +_ 0 210_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x x lim y 0   , x 0 lim y    , x 0 lim y    , x 2 lim y    , x 2 lim y    +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và  0;1 , đồng biến trên các khoảng  1;2 và  2; . 11) +) TXÑ   . +)     23 1 x 22x 1 y '    . +) Bảng biến thiên: _ _ 3 2 3 2 00 _ f x( ) f ' x( ) + _00 +∞1-1∞x x lim y 0   . +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  1; , đồng biến trên  1;1 . 12) +)  TXÑ 0;  . +) x 1 6x x y '  . +) Bảng biến thiên: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 16 3 2 +∞+∞ +_ 0 10_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x x 0 lim y    , 1 1 3 xx x lim y lim x           . +) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1; . 13) Hàm số nghịch biến trên  122; , đồng biến trên  12 ;3 . 13) Hàm số nghịch biến trên  ; 1  , đồng biến trên  1;  . 15) Gợi ý:  2y x 2 x 2     x 2x 2y '    . Hàm số nghịch biến trên  ;2 , đồng biến trên  2; . 16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 và  1;2 , đồng biến trên các khoảng  0;1 và  2; . 17) +)  TXÑ 2;5 . +)     1 1 1 4 3 34 4x 2 5 x y '            (  x 2;5 ). y ' 0  x 2 5 x    72x  .  72x 2;          31 24 334 x 2 31 24 334 5 x           y ' 0 , tương tự:  72x ;5  y ' 0 . +) Bảng biến thiên: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 17 244 344 3 5 + _0 7 22 _ f x( ) f ' x( ) +∞∞x +) Hàm số nghịch đồng trên  722; , nghịch biến trên  72 ;5 . Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17) 18) Hàm số đồng biến trên  0;2 , nghịch biến trên  2;6 . 19) Hàm số đồng biến trên  3; 1  , nghịch biến trên  1;1 . 20) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1;2 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 18 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây 1. Bài toán 1. Số khoảng đơn điệu của hàm số * Hàm bậc ba: 3 2y ax bx cx d    ( a 0 ). Ta có: 2y ' 3ax 2bx c   , y ' là tam thức bậc hai có 2' b 3ac   . Ký hiệu 1 2x x là các nghiệm của y ' trong trường hợp y ' có hai nghiệm phân biệt. Ta có bảng sau: a  Sự biến thiên của y    Hai khoảng đồng biến là  1;x và  2x ; .  Một khoảng nghịch biến là  1 2x ;x .  0  Đồng biến trên     Hai khoảng nghịch biến là  1;x và  2x ; .  Một khoảng đồng biến là  1 2x ;x .  0  Nghịch biến trên  * Hàm bậc bốn trùng phương: 4 2y ax bx c   (a 0 ). Ta có:  3 2 b2ay ' 4ax 2bx 4ax x    . a b Sự biến thiên của y  0  y nghịch biến trên  ;0 , đồng biến trên  ;0 .    Hai khoảng nghịch biến là  b2a;   và  b2a0;  .  Hai khoảng đồng biến là  b2a ;0  và  b2a ;  .    Hai khoảng đồng biến là  b2a;   và  b2a0;  .  Hai khoảng nghịch biến là  b2a ;0  và  b2a ;  .  0  y đồng biến trên  ;0 , nghịch biến trên  ;0 . * Hàm “ baäc nhaát baäc nhaát ”: ax by cx d    (a , c , ad bc 0  ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 19 Ta có    2 2 a b c d ad bcy ' cx d cx d      không đổi dấu trên tập xác định. Do đó: +) ad bc 0   y đồng biến trên từng khoảng xác định +) ad bc 0   y nghịch biến trên từng khoảng xác định 2. Bài toán 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. * Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên  a;b  f có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và  a;b là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó. * Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng nhất bằng 0 trên  a;b . Khi đó +) f đồng biến trên  a;b   f ' x 0  x a;b  . +) f nghịch biến trên  a;b   f ' x 0  x a;b  . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 20 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số 3y 4x mx  . Giải +) TXÑ   . +) 2y ' 12x m  . * TH1: m 0  y ' 0 x   hàm số đồng biến trên  . * TH2: m 0  y ' có hai nghiệm phân biệt m1 12x    , m 2 12x   . +) Bảng biến thiên x2x1 +∞ -∞ y y' ++ _ 00 y x2  y x1( ) +∞-∞x x lim y    , x lim y    . +) Kết luận: hàm số đồng biến trên  m12;   và  m12 ;  , nghịch biến trên  m m12 12;   . Ví dụ 2. Tìm m để hàm số  3 213y x 2x 2m 1 x 3m 2       nghịch biến trên  . Giải +) TXÑ   . +) 2y ' x 4x 2m 1     . y ' là tam thức bậc hai có hệ số của 2x là 1 0  , ' 2m 5   . Do đó: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 21 y nghịch biến trên   y ' 0 x   ' 0   52m   . Chú ý: Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi. Xét tam thức bậc hai   2t x ax bx c   (a 0 , 2b 4ac   ). Ta có +)  t x 0 x   a 0 0     . +)  t x 0 x   a 0 0     . Ví dụ 3. Tìm m để hàm số    3 2y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 7      đồng biến trên  1;2 . Giải +) TXÑ   . +)    2y ' 6x 6 2m 1 x 6m m 1     . y ' 0  x m x m 1     . +) Bảng biến thiên: m+1m +∞ -∞ y y' ++ _ 00 y m+1( ) y m( ) +∞-∞x x lim y    , x lim y    . +) Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số đồng biến trên  ;m và  m 1;  . Do đó hàm số đồng biến trên  1;2 khi và chỉ khi THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 22         1;2 ;m 1;2 m 1;         m 2 m 0    . Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số 4 2y x mx 4   . Giải +) TXÑ   . +)  3 2y ' 4x 2mx 2x 2x m    . TH1: m 0  , y ' có nghiệm duy nhất x 0 , y ' đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0 . +) Bảng biến thiên: 4 +∞ +_ f x( ) f ' x( ) 0 +∞0∞x x lim y    . +) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên  ;0 đồng biến trên  0; . TH2: m 0  , y ' có ba nghiệm phân biệt là 0 và m2  , y ' đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. +) Bảng biến thiên: THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 23 m2 4 4 -4 - m2 4 4 +∞ +∞ -m/2- -m/2 _ 0 f x( ) f ' x( ) ++ _ 00 +∞0∞x x lim y    . +) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên  m2;   và  m24;  , đồng biến trên  m2 ;0 và  m2 ;  . Ví dụ 5. Tìm m để hàm số mx 14x my    đồng biến trên từng khoảng xác định. Giải +)  TXÑ m4\  . +)   2m 4 24x m y '    . +) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi  y ' 0 TXÑx   2m 4 0   m 2 m 2     . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 24 C. Bài tập Tìm m để 1)    3 2 2y x m 1 x m 4 x 9      đồng biến trên  . 2) 3 2y x 3x 3mx 3m 4     đồng biến trên  . 3)    3 21 13 3y mx m 1 x 3 m 2 x      đồng biến trến  2; . ( 2 3m  ). 4)    3 213y x m 1 x m 3 x 4       đồng biến trên  0;3 . 5)  4 2y mx 1 m x 4    đồng biến trên  1;3 . 6) 2x 3x my    đồng biến trên từng khoảng xác định. 7) 2mx 32x my    nghịch biến trên từng khoảng xác định. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 25 D. Hướng dẫn và đáp số 1) Hàm số đồng biến trên   y ' 0 x   m 3  hoặc m 2 . 2) Tương tự câu 1) ta có: m 1  hoặc m 1 . 3) TH1: m 0  2 13y x 6x    y nghịch biến trên  ;3 , đồng biến trên  3;  m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: m 0  y là hàm bậc ba có    2y ' mx 2 m 1 x 3 m 2     ( 2' 2m 4m 1     ). +) m 0 ' 0      2 62m  : y ' 0 x   y đồng biến trên  (thỏa mãn). +) m 0 ' 0     : y ' 0 x   y nghịch biến trên  (loại). +) m 0 ' 0      2 620 m    * : y đồng biến trên  1;x ,  2x ; với m 1 '1,2 mx    . Do đó: y đồng biến trên  2;     22; x ;    2x 2  2m 1 2m 4m 1 m 2        22m 4m 1 m 1      23m 2m 0   2 3 m 0 m    , kết hợp với  * ta có 2 623 2m   . +) m 0 ' 0     : y đồng biến trên  1 2x ;x với 1 2x x là các nghiệm của y ' (loại). Kết hợp những giá trị m tìm được ta có 23m  . 4) +) TXÑ   . +)  2y ' x 2 m 1 x m 3      (  22 1512 4' m m 4 m 0 m         ). y ' có hai nghiệm phân biệt 1 'x m 1   , 2 'x m 1   . +) Bảng biến thiên THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 26 _ y x2  y x1  _ x2x1 +∞ -∞ y y' + _00 +∞∞x x lim y    , x lim y    . +) y có một khoảng đồng biến là  1 2x ;x nên: y đồng biến trên  0;3     1 20;3 x ;x  1 2 x 0 x 3     2 2 m 1 m m 4 0 m 1 m m 4 3               2 2 m m 4 m 1 m m 4 4 m             2 2 2 2 m 1 0 m 1 0 m m 4 m 2m 1 4 m 0 4 m 0 m m 4 m 8m 16                          12 7 m 1 m 1 m 3 m 4 m 4 m              127m  . 5)  4 2y mx 1 m x 4    đồng biến trên  1;3 . TH1: m 0  2y x 4   y đồng biến trên  0; (thỏa mãn). TH2: m 0  y là hàm bậc bốn có    3 2 1 m2my ' 4mx 2 1 m x 4mx x      . +)   4m 0 2 1 m 0      0 m 1  : y đồng biến trên  0; (thỏa mãn). +)   4m 0 2 1 m 0      m (không xảy ra). +)   4m 0 2 1 m 0      m 1 : y có các khoảng đồng biến là  m 12m ;0 ,  m 12m ;  . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 27 Trong trường hợp này: y đồng biến trên  1;3  m 12m 1    m 12m 1    m 1  .  m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. +)   4m 0 2 1 m 0      m 0 : y có các khoảng đồng biến là  m 12m;   ,  m 12m0;  . Trong trường hợp này: y đồng biến trên  1;3  m 12m 3    m 12m 9    117m   (thỏa mãn m 0 ). Kết hợp những giá trị m tìm được ta có 117m   hoặc 0 m 1  . 6) 32m   . 7) 3 m 3   . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 28 Loại 3. Ứng dụng xét phương trình A. Nguyên tắc chung * Nguyên tắc: Để xét phương trình    g x;m 0 * , ta biến đổi tương đương phương trình về dạng  f x m (cô lập tham số). Do đó, việc xét phương trình  * được đưa về xét sự tương giao của đường thẳng d : y m với ĐTHS    y f x C . m d O y x C( ) * Chú ý: +) d là đường thẳng đi qua điểm  M 0;m ( M Oy ) và vuông góc với Oy . +) Thay vì sử dụng ĐTHS ta có thể dùng bảng biến thiên (bảng biến thiên cho ta hình ảnh về ĐTHS). * Kết luận hay sử dụng: +) Phương trình  * có nghiệm  d có điểm chung với  C . +) Số nghiệm của phương trình  * bằng số điểm chung của đường thẳng d với  C . +) Nghiệm của  * là hoành độ điểm chung của d và  C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 29 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho phương trình x 1 x m   .  1 1) Tìm m để  1 có nghiệm. 2) Tìm m để  1 có hai nghiệm phân biệt. Giải ĐK: 1 x 0   x 1 . Xét  f x x 1 x   , x 1 . Ta có     2 1 x 1 3 4x1 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 f ' x 1             , x 1 . ∞_ 1 5 4 3 4 + _0 1_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x   1 1x2 x 2x x 1 x x 1 x 1 1x x x 1 2 xx lim f x lim lim               . Suy ra: 1)  1 có nghiệm  đường thẳng y m có điểm chung với ĐTHS  y f x  54m  . 2)  1 có 2 nghiệm phân biệt  đường thẳng y m có 2 điểm chung với ĐTHS  y f x  541 m  . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 30 Ví dụ 2. Tìm m để phương trình 2x mx m 0    1 có nghiệm  x 1;2 . Giải Ta có  1   2x m x 1  ( x 1 )  2xm x 1   . Xét hàm   2x x 1f x  với  x 1;2 , ta có         2 22x x 1 x x 2x 2 2x 1 x 1 f ' x        . +∞ +_0 0 2 + 4 _ 0 1_ f x( ) f ' x( ) +∞∞x   x 1 lim f x    .  1 có nghiệm  đường thẳng y m có điểm chung với ĐTHS  y f x ,  x 1;2  m 4 . Ví