Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

CHƯƠNG I:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x3 -3x2+1. b) y = f(x) = 2x2 -x4. c) y = f(x) = . d) y = f(x) = . e) y = f(x) = x+2sinx trên ( -p ; p). f) y = f(x) = xlnx. g) . h) y= f(x) = x4-2x2. i) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2p]. 2) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+. 3) Cho hàm số y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1.Định m để hàm số: a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 £ m £ 0 b) Nghịch biến trên khoảng ( -1;0). Kq: m £ c) Đồng biến trên khoảng (2;+¥ ). Kq: m £ 4) Định mỴZ để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0 5) Định m để hàm số y = f(x) = nghịch biến trên nửa khoảng [1;+¥). Kq: m £ 6) Chứng minh rằng : , "x > 0. 7) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định của nó : a) y = x3-3x2+3x+2. b) . c) . 8) Tìm m để hàm số : a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+¥) c) Luôn nghịch biến trên khoảng (1;+ ¥). 9)Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 10) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên khoảng (1;+¥). Kq: 11) Tìm m để hàm số y = x2.(m -x) -m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m³3 12) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) 0. b) cosx >1 -, với x > 0 . 2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 1) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: a) y = x3. b) y = 3x + + 5. c) y = x.e-x. d) y = . 2) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: a) y = sin2x với xỴ[0; p ] b) y = x2lnx. c) y = . 3) Xác định tham số m để hàm số y=x3-3mx2+(m2-1)x+2 đạt cực đại tại x=2. Kq: m=11 4) Định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4 a.Không có cực trị. Kq: m ³1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kq: m <1 c. Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị . Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi: Kq: m=0 d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m-1)x+4m+4 và m= -1 5) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = luôn có cực trị. 6) Định m để hàm số y = f(x) = a. Có cực đại và cực tiểu. Kq: m>3 b.Đạt cực trị tại x = 2. Kq: m = 4 c.Đạt cực tiểu khi x = -1 Kq: m = 7 7) Cho hàm số y = f(x) =x3-mx2+(m2-m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? kq : Không 8) Cho hàm số y = f(x) =x3-mx2+(m+2)x-1. Xác định m để hàm số: a) Có cực trị. Kq : m 2 b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+¥). Kq: m > 2 c) Có cực trị trong khoảng (0;+¥). Kq: m 2 9) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x4+2mx2-2m+1. Hd và kq : y’=-4x(x2-m) m £ 0: 1 cực đại x = 0 m > 0: 2 cực đại x=và 1 cực tiểu x = 0 10) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = có hai điểm cực trị nằm khác phía so với Ox. Kq: m > 11) Định m để hàm số y = f(x) = x3-6x2+3(m+2)x-m-6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu. Kq: < m < 2 12) Chứùng minh với mọi m hàm số y =2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với x2-x1 là một hằng số. 13) Tìm cực trị của các hàm số : a) b) c) y = 14) Định m để hàm số y = f(x) = -mx2+(m+3)x-5m+1 đạt cực đại tại x=1. Kq: m = 4 15) Định m để hàm số có cực trị : a) . Kq: m<3 b) . Kq: m1 16) Cho hàm số : f(x)=x3-mx2+(m-2) x-1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x2, cực tiểu tại x1 mà x1 -1 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2-2x+3. 2) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3 trên [0;3]. Kq: f(x)=f(1)=2 và f(x)=f(3)=6. 3) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = với x<1. Kq: f(x) = f(0) = -4 4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m3, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kq: Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 5) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = . Kq: y = f(±1) = 6) Định m để hàm số y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghịch biến trên khoảng( -1;0). Kq: m £ 7) Tìm trên (C): y = điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kq:M(0;) 8) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. 9) Tìm GTLN: y=-x2+2x+3. Kq: y=f(1)= 4 10) Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0. Kq: y=f(1)= -3 11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + . kq: ; 12) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2-1 trên đoạn kq: ; 13) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a) y = x4-2x2+3. Kq: y=f(±1)=2; Không có y b) y = x4+4x2+5. Kq: y=f(0)=5; Không có y c). Kq: y=; y=1 d). Kq: y=; y=3 14) Cho hàm số . Chứng minh rằng : 15) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất : y =f(x)= lg2x + Hướng dẫn và kq: Txđ: (0; +¥ ) . Đặt t= lg2x, t³0, Þ hàm số y=g(t)=t+xác định trên [0; +¥), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 Û t=-3 Ï[0; +¥ ) V t=-1 Ï[0; +¥ ) Þ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+¥ ) Þ g(t) = g(0) = Þ f(x) = f(1) = 16) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=2sinx- trên đoạn [0;p] Kq:f(x)=f(p /4)= f(3p /4)=; f(x)=f(0)=f(p )=0 17) Tìm GTLN và GTNN của hàm số : a) y=x2+ kq: Minf(x)=f(0)=1, Không có GTLN b) y=-x6+6x3-3 kq : Maxf(x)=f()=6, Không có GTNN 4.TÍNH LỒI, LÕM - ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số : a) y = f(x) = x4-6x2+1 b) y = f(x) = 2) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3-3(m-1)x2+m2x-3 nhận I(1;-1) làm điểm uốn. Kq: m = 2 . 3) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x4-6mx2+ 3 a) Có hai điểm uốn. Kq: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kq: m £ 0 4) Chứng minh rằng đồ thị (C): có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kq: (C) có 3 điểm uốn A(-2;-1), B(-;0), C(1;1). Þ A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc nên có d: y = k(x-xC)+yC = (x-1)+1Û y=x +. 5) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = ½x2-3x+2½ Kq: Lõm trên các khoảng (-¥;1) và (2; +¥). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0) 6) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m-2 . 7) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a¹0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (Cm):y = x3-3mx2+2m(m-4)x+9m2-m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng). Hd và kq: a) Cho y = 0Û ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng Þ 2x2= x1+x3 Þ 3x2 = x1+x2+x3 = Þ x2 = . Vậy điểm uốn I(x2;0)ỴOx. b)Tìm điểm uốn I(m;m2-m). Điều kiện cần : IỴOx Þ m2-m = 0 Þ m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 8) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : a) y=x3-3x2+2. b) . 9) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: a). b) y = x + . 10) Tìm tham số để: a) (Cm) : y=x3-3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;-2) làm điểm uốn. 11) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3-3x2-9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng. Kq: m = 11. 12) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) : y=x3-3x2-9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hd và kq: Lập phương trình hoành độ giao điểm : ax+b = x3-3x2-9x+1Û f(x) = x3-3x2-(a+9)x+1-b = 0.(1) Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là I(1;-a-b-10)ỴOx Þ -a-b-10 = 0 Þ a+b = -10. Điều kiện đủ : a+b = -10 Þ f(x) = (x-1).g(x) = 0 với g(x) = x2-2x+b-1. YCBT ÛÛ b<2 Kết luận : 13) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y=. Kq:y = 14) Tìm m để (Cm):y = x3-3mx2+2m(m-4)x+9m2-m có điểm uốn : a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kq: m = 0 V m = 2 . b) Đối xứng với M(-3;-6) qua gốc tọa độ O. Kq: m= 3 . c) Đối xứng với N(5;-20) qua Ox. Kq: m= 5 . d) Đối xứng với P(-7;42) qua Oy. Kq: m= 7 . 5. TIỆM CẬN 1)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : a) y = . Kq: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = . Kq: x = -2 và y = x-3 2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : a) y = 1+. Kq: y = 1 b) y = . Kq: y = ±1 3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = . Kq: y = ±x 4) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = . Kq: y = -x+1. 5) Cho (Cm ) : . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). 6)Tìm trên đồ thị (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 7) Lấy một điểm bất kỳ MỴ(C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2=. 8) Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. 9) Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2;0). 10) Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận. 11) Cho hàm số .Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận luôn không đổi. 12) Cho hàm số . a.Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận luôn không đổi. b.Tìm M thuộc đồ thị hàm số để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt GTNN. 13) Cho hàm số .Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao hai đường tiệm cận đạt GTNN. 14) Cho hàm số và. CMR tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3-3x+1 b) y = 3x2-x3 c) y = x3+3x-4 d) y = (1-x)3 e) y = f) y = x4+x2-2. g) y=2x2-x4-1 h) y=x4-1 i) y = j) y = k) y = l) y = m) y = n) y = 7. BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: a) (C): y = và d: y = x-m. Hd: Lý luận x= b) (H): và d: y= -2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm. 2) Cho (C) : y = x3+3x2-2 a. Vẽ đồ thị (C). b. Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2-(m-2) = 0 3) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2. 4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 5) Dùng đồ thị (C): y = x3-3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3-3x2 - 9x+1-m = 0. 6) Cho parabol (P): y=x2-2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. Hd : c) Lập pthđgđ – sử dụng công thức trung điểm M của AB và đlí Viet với hoành độ A, B là nghiệm pthđgđ. 7) Cho hàm số , có đồ thi (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b) Cho đường thẳng d: y= -2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 8) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3-3x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 9) Cho hàm số y = x4-4x3-2x2+12x-1. a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hd và kq: a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3)=0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho y= 0, tìm được x= Þ y=0 và x =1. 10) Chứng minh rằng (C): y = có hai trục đối xứng. Hd và kq: Tâm đối xứng là I(-1;1). Suy luận có hai đường phân giác y=-x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). 11) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = . Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) (C1): y = f1(x) = b) (C2): y = f2(x) = c) (C3): y = f3(x) = d) (C4): |y| = f4(x) = e) (C5): y = f5(x) = f) (C6): |y| = f6(x) = 12) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3-3x2+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3-3x2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3-3x2 +1 - m = 0. 13) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2-1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đoán đường thẳng cố định: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x-1-y=0, phương trình này có D= (x)2-1.(x2+x-1-y)=0 Û -x+1+y=0 Û y= x-1 là đường thẳng cố định. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=-x2-x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 Û m=-x, thay trở lại (2):y=x-1 là đường thẳng cố định. 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: (Sử dụng điều kiện hai đồ thị tiếp xúc) 14) Chứng tỏ rằng (Cm): y= (1), m ¹ 0 luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó. 1. Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m: m2+(y-1-3x)m+(y-1)x=0 (2), đặt t=y-1 ta có phương trình: m2+(t-3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có D=0 Û (t-3x)2-4tx=0 Û t2-10xt+9x2=0Û t=9xV t=x. Thay t=y-1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm) 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: + d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: Û (3x+m)2=0 Û x= - Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= - +Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m 15) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3-3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;-23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định. 16) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2-m luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P): y= là parabol cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1-2m.