Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Tiết 25: Hypebol

Tiết 25. Hypebol Ngày dạy: I Mục tiêu bài dạy * Học sinh phát hiện và nắm vững định nghiã hypebol, phương trình chính tắc của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu, tiệm cận và tâm sai của hypebol. * Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh. II. Chuẫn bị của GV và HS. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, dây, thước và compa. Học sinh: chuẫn bị bài trước ở nhà. III. Tiến trình bài dạy. Bước 1: ổn định lớp. Bước 2: Kiểm tra bài cũ: Bước 3: bài mới. Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1 Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững khái niệm hypebol. Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0. Lấy một vòng dây quấn quanh hai điểm F1F2. Ta căng dây ra rồi quay quanh hai điểm đó để vạch nên một đường. Đường đó gọi là Hypebol. GV đưa ra khái niệm Hypebol. Hoạt động 2. Hướng dẫn học sinh phát hiện phương trình chính tắc của hypebol. Giả sử hypebol (E) gồm những điểm M sao cho: MF1 + MF2 = 2a. Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho F1(-c, 0) và F2(c, 0) M(x, y). Ta có MF12 = ? MF22= ? Suy ra: MF12 - MF22= ? MF12 + MF22 = ? So sánh |MF1 + MF2| và 2a M ẻ(H) Û ? Thay vào và tính ta được PTCT của hypebol là (với b2 = c2 - a2). Từ MF12 - MF22 = 4cx |MF1 - MF2 | = 2a suy ra MF1 , MF2 ? Hoạt động 3 Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững hình dạng của hypebol. Lấy M(x, y) ẻ (H). Nhận xét gì về M’(-x, y) ? Tương tự cho điểm M”(x, -y) ? Từ đó ta có thể kết luận điều gì ? Xác định giao điểm của hypebol với các trục toạ độ ? M(x, y)ẻ(E): , nhận xét gì về x suy ra điều gì ? Hoạt động 4. Hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững tiệm cận của hypebol. * Từ pt của hypebol Tìm y theo x ? Tìm tiệm cận của hàm y = , x ³ a. Hoạt động 5. Hướng dẫn học sinh phát hiện tâm sai của hypebol. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của hypebol gọi là tâm sai của hypebol. e = ? Nhận xét gì về tâm sai của hypebol ? Củng cố: Nắm vững hình dạng và tâm sai của hypebol. Làm hết các bài tập SGK. * MF12 = (x + c)2 + y2, MF22 = (x - c)2 + y2. Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx. MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2) M ẻ(E) Û MF1 + MF2 = 2a * |MF1 + MF2| ³ 2c > 2a. M ẻ(H) Û |MF1 - MF2| = 2a Û (MF1 - MF2 )2 = 4a2 Û (MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = 0 * Khi x > 0, ta có |MF1 - MF2 | = 2a Û MF1 - MF2 = 2a ị MF1 + MF2 = 2 .Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm M là: MF1 = a + và MF2 = - a + M’(-x, y) đối xứng với M qua Ox và M’ẻ (H). M”(-x, y) đối xứng với M qua Oy và M”ẻ (H). Từ đó ta thấy hypebol nhận Ox và Oy làm trục đối xứng, nên nó có tâm đối xứng là O. y = 0 ị ị x=a, x= -a. Hypebol (E) cắt Ox tại (-a, 0) và (a, 0) và không cắt * x2 ³ a2 ị x ³ a hoặc x Ê -a Vậy không có điểm nào thuộc hypebol nằm giữa hai đường thẳng x = a và x = -a. *Û y2 = Û * Tâm sai của hypebol (E): là e = . * Tâm sai của hypebol luôn luôn lớn hơn 1. 1. Định nghĩa. Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0. Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho |MF1 - MF2| = 2a (a là số không đổi nhỏ hơn c) gọi là một hypebol. F1, F2: tiêu điểm của hypebol. Khoảng cách 2c: tiêu cự. M thuộc hypebol thì MF1, MF2 gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M. 2. Phương trình chính tắc của hypebol. Giả sử hypebol (H) gồm những điểm M sao cho: |MF1 - MF2| = 2a. Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho F1(-c, 0) và F2(c, 0). " M, ta có: MF12 = (x + c)2 + y2, MF22 = (x - c)2 + y2. Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx. MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2) Để ý |MF1 + MF2| ³ 2c > 2a nên (MF1 - MF2)2 - 4a2 ≠ 0. M ẻ(H) Û |MF1 - MF2| = 2a Û (MF1 - MF2 )2 = 4a2 Û (MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = 0 Û (MF12 - MF22)2 - 8(MF12 + MF22) + 16a4 = 0 Û 16c2x2 - 16a2(x2 + y2 + c2) + 16a4 = 0 Û x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(c2 - a2) Û Û (với b2 = c2 - a2). Phương trình: (với b2 = c2 - a2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol. Chú ý: a, Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm M là: i, Nếu x > 0 thì MF1 = a + và MF2 = - a + ii, Nếu x < 0 thì MF1 = - a - và MF2 = a - . N M Q P b -a y a x -b b, Nếu chọn F1(0, -c) và F2 (0, c) thì hypebol có phương trình là -. 3. Hình dạng của hypebol Cho hypebol (H): a, Hypebol (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng, nên nó nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. b, Hypebol (E) cắt Ox tại A1(-a, 0) và A2(a, 0) và không cắt Oy. Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol còn trục Ox gọi là trục thực. 2a: độ dài trục thực, 2b: độ dài trục ảo. c, M(x, y) ẻ (E): , ị x2 ³ a2 ị x ³ a hoặc x Ê -a Vậy không có điểm nào thuộc hypebol nằm giữa hai đường thẳng x = a và x = -a. Hypebol gồm hai nhánh, nhánh trái gồm những điểm nằm bên trái đường thẳng x = -a, nhánh phải gồm những điểm nằm bêẩiphỉ đường thẳng x = a. 4. Đường tiệm cận của hypebol. * Xét đường hypebol (H): . Û y2 = Û . Gọi (H1) là một phần của hypebol nằm trong góc phần tư thứ nhất của hàm số y = , x ³ a. Ta có: Vậy phần của hypebol nằm trong góc phần tư thứ nhất nhận đường thẳng y = x làm tiệm cận. Tương tự ba phần còn lại cuae hypebol (H) cũng nhận hai đường thẳng y = x và y = -x làm tiệm cận. Tóm lại hypeol có hai đường tiệm cận là: y = x và y = -x. Chú ý: Từ hai đỉnh của hypebol ta vẽ hai đường thẳng song song cắt hai tiệm cận tạ 4 điểm P, Q, S và S. Đó là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cở sở của hypebol. 4. Tâm sai của hypebol. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hypebol gọi là tâm sai của hypebol, kí hiệu: e. Tâm sai của hypebol (E): là e = . Chú ý. Tâm sai của hypebol luôn luôn lớn hơn 1. Tiết 26. bài tập Hypebol Ngày dạy: I. Mục tiêu bài dạy * Hướng hướng dẫn học sinh vận dụng định nghiã hypebol, phương trình chính tắc của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai của hypebol để giải các bài tập SGK. * Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh. II. Chuẫn bị của GV và HS. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, dây, thước và compa. Học sinh: chuẫn bị bài trước ở nhà. III. Tiến trình bài dạy. Bước 1: ổn định lớp. Bước 2: Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghiã hypebol, phương trình chính tắc của hypebol, CT bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai của hypebol Bước 3: bài mới. Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1 Hướng dẫn học sinh phát lập PTCT của hypebol. * Gọi hs giải bt 1(SGK). Nêu PTCT của hypebol ? GV nhận xứt đsnhs gía và ghi điểm. Nêu hình dạng của hypebol ? Nêu tâm sai của hypebol ? Hoạt động 2. Hướng dẫn học sinh giải bài tập 4 sgk. Gọi I(0, b) là tâm đường tròn. BK đường tròn R = ? Gọi M(x, y) thì M’có toạ độ là gì ? Ta có: x = ? và y = ? Suy ra quỹ tích các điểm M ? Hoạt động 3. Hướng dẫn học sinh giải bài tập 7 sgk. Giả sử hypebol (H) có PTCT: Khi đó hai đường tiệm cận có PTTQ là gì ? D1: bx + ay = 0 và D2: bx – ay = 0. Gọi M(x, y) ẻ (H). Khi đó: . Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là gì ? Hoạt động 4. Hướng dẫn học sinh giải bài tập làm thêm. Củng cố: Nắm vững hình dạng và tâm sai của hypebol. * Phương trình: (với b2 = c2 - a2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol. * Hypebol (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng, nên nó nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. * Tâm sai của hypebol (E): là e = . * Gọi I(0, b) là tâm đường tròn. BK đường tròn là R = . * M’(-x, y) và x = R và y = b Ta có x2 – y2 = R2 – b 2 = a2 . Vậy quỹ tích các điểm M là hypebol x2 – y2 =a2.. * Hai đường tiệm cận có PTTQ là: D1: bx + ay = 0 và D2: bx – ay = 0. Gọi M(x, y) ẻ (H). * Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là: . Giaỷi BTLT: * (E) coự caực tieõu ủieồm F1, 2 (± 3, 0) * Tửứ giaỷ thieỏt suy ra (H) coự tieõu ủieồm vaứ 2 ủổnh (±3, 0), c’ = 5, a’ = 3 ị (H)=1. Bài tập 2. a, ta có: a = 4, c = 5 ị b = 3ị PTCTcủa Hypebol là: . b, a, ta có: c = và c, Giả sử PTCT của Hypebol: , vì nó đi qua M(, 6) nên: , hơn nữa: e = . Từ đó suy ra: a2 = 1 và b2 = 4. Vậy PTCT của hypebol là: . Bài tập 4. Gọi I(0, b) là tâm đường tròn. BK đường tròn là R = . Gọi M(x, y) thì M’(-x, y). Ta có: x = R và y = b ị x2 – y2 = R2 – b 2 = a2 . Vậy quỹ tích các điểm M là hypebol x2 – y2 =a2.. Bài tập 7. Giả sử hypebol (H) có PTCT: , khi đó hai đường tiệm cận có PTTQ là: D1: bx + ay = 0 và D2: bx – ay = 0. Gọi M(x, y) ạ (H). Khi đó: . Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là: (không phụ thuộc vào M) Baứi taọp laứm theõm: Cho (E) : . Vieỏt phửụng trỡnh cuỷa (H) coự ủổnh laứ caực tieõu ủieồm cuỷa (E), coự tieõu ủieồm laứ caực ủổnh cuỷa (E).