Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Tiết thứ 21: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tiết 21: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ngày dạy : I. Mục tiêu bài dạy. 1. Kiến thức : Hướng dẫn hs phát hiện và nắm vững: - Nội dung của định lí Lagrane, ý nghĩa hình học của định lí. - Dấu hiệu đủ về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. - Các điểm tới hạn. 2. Kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. 3. Giáo dục : Giáo dục học sinh tính cẩn thận, có suy luận, khả năng tính toán. 4. Trọng tâm : Các định lí về điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Nhắc lại định nghĩa sự biến thiên của hàm số. Nhắc lại định nghĩa sự biến thiên của hàm số? Nêu một điều kiện đủ để hàm số tăng trên khoảng (a, b) ? Nếu thay x2 bằng x, x1 bằng x0 ta có điều gì ? Tương tự cho hàm số giảm trên klhoảng (a, b) ? Hoạt động 2. Hướng dẫn hs nắm vững định lý Lagrange và ý nghĩa của nó. Xét hàm số y = x2 trên [0, 1]. Nêu tính liên tục và có đạo hàm của hàm số này trên [0, 1]? Tồn tại hay không số c Ỵ (0, 1) sao cho f’(c) = . Định lý này cũng đúng trong trường hợp tổng quát. Hãy phát biểu định lý này trong trường hợp tổng quát? GV đưa ra nội dung định lý. * GV hướng dẫn hs phát hiện ý nghĩa hình học của định lý này. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs nắm vững định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng (a, b). Cho haìm säú y = f (x) cọ âảo haìm (a,b) x1x2 (a, b) , x1 < x2. Ạp dủng âënh lyï Lagràng cho haìm säú y = f(x) trãn [x1, x2] ta cọ âiãưu gç ? Nãúu f '(x) > 0 trãn (a; b) thç f '(c ) > 0, nháûn xẹt gç vãư haìm säú trong trỉåìng håüp naìy ? Nãúu f '(x) < 0 trãn (a; b) thç sao ? * Người ta còn chứng minh được rằng khi Nãúu f '(x) 0 (hồûc f '(x) 0), vaì âàĩng thỉïc chè xaíy ra tải 1 säú hỉỵu hản âiãøm trãn (a,b) thç haìm säú âäưng biãún (nghëch biãún) trãn khoaíng âo.ï Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện và nắm vững khái niệm điểm tới hạn của hàm số trên khoảng (a, b). Xét hàm số y = 3x + + 5. Tìçm y ' ? Tçm nhỉỵng âiãøm thuäüc táûp xạc âënh cuía haìm säú vaì y’ triãût tiãu hồûc khäng xạc âënh ? Tương tự cho hàm số Xẹt haìm säú: y = ? Đ* Điểm x = 1 như trên với điểm x = 0 gọi là điểm tới hạn của hàm số. Cho haìm säú y = f(x) xạc âënh trãn (a,b) vaì x0 (a,b) . Âiãøm xo âỉåüc goüi laì âiãøm tåïi hản cuía haìm säú nãúu tải âọ f '(x) khäng xạc âënh hồûc bàịng 0. Xét hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (a, b). F(x) có hai điểm tới hạn liên tiếp x1, x2. Nhận xét gì về dấu của f’(x) trên (a, b) ? Vì sao ? Vì vậy để xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a, b) ta làm theo các bước: 1. Tçm cạc âiãøm tåïi hản. 2. Xạc âënh dáúu cuía f '(x) trong cạc khoaíng xạc âënh båíi cạc âiãøm tåïi hản. 3. Tỉì âọ suy ra chiãưu biãún thiãn cuía f(x) trong mäùi khoaíng. „. Củng cố : Hoüc thuäüc dáúu hiãûu cuía tênh âån âiãûu. Nàõm vỉỵng PP tçm cạc khoaíng âån âiãûu thäng qua BBT. * Hàm số gọi là tăng trên khoảng (a, b) nếu " x1, x2 Ỵ (a, b), x1 < x2 Þ f x1) < f(x2). * Điều kiện đủ để hàm số tăng trên khoảng (a, b) là:" x1, x2 Ỵ (a, b), x1 ≠ x2 ta có: > 0. * f (x) âäưng biãún trãn (a,b) * f (x) nghëch biãún trãn (a,b) . * Hàm số liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trên (0,1). * Ta có f’(x) = 2x, = 1. f’(x) = Û x = . Hay f’() = . * Nãúu haìm säú y = f(x) liãn tủc trãn [a,b] vaì cọ âảo haìm trãn (a; b) thç täưn tải mäüt âiãøm c (a; b) sao cho: f(b) - f(a) = f '(c) (b - a) hay f '(c) = * c (x1, x2): (x2) - f (x1) = f '(c) (x2 - x1) * x2 - x1 > 0 f(x2) - f(x1) > 0 hay f(x2) > f(x1)0. váûy y = f(x) âäưng biãún trãn (a, b). * y = f(x) nghëch biãún trãn (a, b). * y ' = , y’ = 0 Û x = 1. * y’ triãût tiãu khi x = 1 vaì khäng xạc âënh tải x = 0. * TXĐ D = [0, +). y' = y ' = khäng xạc âënh tải x = 0 D. * F’(x) luôn giữ nguyên một dấu trên khoảng (a, b). Thật vậy giả sử f(x1) > 0, f(x2) < 0.Vì f’(x) liên tục trên [x1, x2] nên tòn tại c Ỵ [x1, x2] sao cho f’(c) = 0. Vậy c là một điểm tới hạn của hàm số f(x). điều này là vô lý. Do âọ âãø tçm khoaíng âån âiãûu thäng qua BBT ta laìm nhỉ sau: * Phỉång phạp tçm cạc khoaíng âån âiãûu 1. Tçm cạc âiãøm tåïi hản. 2. Xạc âënh dáúu cuía f '(x) trong cạc khoaíng xạc âënh båíi cạc âiãøm tåïi hản. 3. Tỉì âọ suy ra chiãưu biãún thiãn cuía f(x) trong mäùi khoaíng. 1.Nhàõc lải âënh nghéa haìm säú âäưng biãún, nghëch biãún f (x) âäưng biãún trãn (a,b) trãn (a,b). f (x) nghëch biãún trãn (a,b) trãn (a,b). 2. Âiãưu kiãûn âuí cuía tênh âån âiãûu a. ÂënhLyï Lagràng (Lagrange) Nãúu haìm säú y = f(x) liãn tủc trãn [a,b] vaì cọ âảo haìm trãn (a; b) thç täưn tải mäüt âiãøm c (a; b) sao cho: f(b) - f(a) = f '(c) (b - a) hay f '(c) = YÏ nghéa hçnh hoüc cuía âënh lyï Lagràng: Xẹt cung AB cuía âäư thë haìm säú y = f(x) trong âọ A (a, f(a)) , B (b, f(b)) Hãû säú gọc cuía cạc tuyãún AB laì Vì f '(c) = nãn nãúu giaí thiãút cuía ÂL âỉåüc thoaí maỵn thç trãn âäư thë hs y = f(x) täưn tải êt nháút mäüt âiãøm C thuäüc cung AB sao cho tiãúp tuyãún tải âọ song song våïi dáy AB. b. Âënh Lyï 2: Cho haìm säú y = f (x) cọ âảo haìm (a,b) f '(x) > 0,x (a,b) f(x) âäưng biãún trãn (a,b). f '(x) < 0,x (a,b)f(x) nghëch biãún trãn(a,b). C/m: x1x2 (a, b) , x1 < x2. Ạp dủng âënh lyï Lagràng cho haìm säú y = f(x) trãn [x1, x2] khi âọ c (x1, x2): f (x2) - f (x1) = f '(c) (x2 - x1) a) Nãúu f '(x) > 0 trãn (a; b) thç f '(c ) > 0, màût khạc x2 - x1 > 0 f(x2) - f(x1) > 0 hay f(x2) > f(x1)0. váûy y = f(x) âäưng biãún trãn (a, b). b) Nãúu f '(x) < 0 ta C/m tỉång tỉû. c. Âënh Lyï 3: Cho haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm trãn (a, b). Nãúu f '(x) 0 (hồûc f '(x) 0), vaì âàĩng thỉïc chè xaíy ra tải 1 säú hỉỵu hản âiãøm trãn (a,b) thç haìm säú âäưng biãún (nghëch biãún) trãn khoaíng âo.ï Vê dủ 1: Tçm cạc khoaíng âäưng biãún, nghëch biãún cuía haìm säú y = x2 - 2x + 3 Giaíi: TXÂ: D = R. y ' = 2x - 2. Chiãưu biãún thiãn cuía haìm säú âỉåüc cho trong baíng sau âáy, goüi laì baíng biãún thiãn cuía haìm säú: x - 1 + y ' - 0 + y 2 Vê dủ 2: Tçm cạc khoaíng âäưng biãún, nghëch biãún cuía haìm säú y = 3x + + 5 3. Âiãøm tåïi hản a. Âënh nghéa: Cho haìm säú y = f(x) xạc âënh trãn (a,b) vaì x0 (a,b) . Âiãøm xo âỉåüc goüi laì âiãøm tåïi hản cuía haìm säú nãúu tải âọ f '(x) khäng xạc âënh hồûc bàịng 0. Vê dủ: Xẹt haìm säú: y = 3x + + 5. TXÂ: D = R\ {0}. y ' = triãût tiãu khi x = 1 vaì khäng xạc âënh tải x = 0.Nhỉng âiãøm 0 khäng thuäüc táûp xạc âënh cuía haìm säú. Váûy haìm säú chè cọ 2 âiãøm tåïi hản laì x = 1. Vê dủ 2: Xẹt haìm säú: y = TXÂ: D = [0, +) y ' = khäng xạc âënh tải x = 0 D x = 0 laì âiãøm tåïi hản Chụ yï: Âäúi våïi cạc haìm säú f(x) thỉåìng gàûp, f '(x) laì liãn tủc trãn khoaíng xạc âënh cuía nọ. Khi âọ giỉỵa 2 âiãøm tåïi hản kãư nhau x1,x2 thç f '(x) giỉỵ nguyãn mäüt dáúu. Vê dủ: Tçm cạc khoaíng âån âiãûu cuía haìm säú: y = . Tiết 22: BÀI TẬP SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ngày dạy : I. Mục tiêu bài dạy. * Hướng dẫn hs vận dụng điều kiện đủ để hàm số có giới hạn tìm điểm tới hạn của hầm số. * Rèn luyện và phát triển kĩ năng tính toán, tư duy trừu tượng cho hs. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Hướng dẫn hs làm bài tập 1 sgk. Gọi hs giải bài tập 1. Nêu điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng (a, b) ? Nêu quy tắc xét sự biến thiên của hàm số ? GV nhận xét, đánh giá, ghi điểm cho hs. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs làm bài tập 2 sgk. Nãu táûp xạc âënh cuía haìm säú y = ? y ' = ?nháûn xẹt gç vãư y’ ? Suy ra sỉû biãún thiãn cuía haìm säú naìy ? Tỉång tỉû cho haìm säú y = ? Xẹt sỉû biãún thiãn cuía haìm säú y = xlnx vaì haìm säú y = x + sinx ? „. Củng cố : Hoüc thuäüc dáúu hiãûu cuía tênh âån âiãûu. Nàõm vỉỵng PP tçm cạc khoaíng âån âiãûu thäng qua BBT. Baìi táûp 1, 2, 3, 4 trang 52, 53. Bài tập làm thêm: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3(m -1)x2 + 6(m - 2)x + m2 - 2m + 1. a) Xác định m để hàm số tăng trên R ? b) Xác định m để hàm số tăng trên (0, 1). c) Xác định m để hàm số giảm trê (-2, 3) ? d) Xác định m để hàm số giảm trên (1, 2) ? e) Xác định m để hàm số tăng trên (1, +). f) Xác định m để hàm số giảm trên một khoảng có độ dài bằng 1. * Cho haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm trãn (a, b). Nãúu f '(x) 0 (hồûc f '(x) 0), vaì âàĩng thỉïc chè xaíy ra tải 1 säú hỉỵu hản âiãøm trãn (a,b) thç haìm säú âäưng biãún (nghëch biãún) trãn khoaíng âo.ï *1 Tçm cạc âiãøm tåïi hản. 2. Xạc âënh dáúu cuía f '(x) trong cạc khoaíng xạc âënh båíi cạc âiãøm tåïi hản. 3. Tỉì âọ suy ra chiãưu biãún thiãn cuía f(x) trong mäùi khoaíng. * TXÂ: D = R\ {1}. y ' = x 1. haìm säú âäưng biãún trãn (- ,1) vaì (1, + ). * y = TXÂ: D = R \{1}. y ' = y ' = 1 Haìm säú âäưng biãún trãn (-, 1) vaì (1, +) Baìi 1: c. y = x3 - 3x2 + 8x - 2 TXÂ: D = R. y ' = x2 - 6x + 8; y ' = 0 x = 2 , x = 4 x - 2 4 + y ' + 0 - 0 + y Váûy haìm säú âäưng biãún (- , 2) vaì (4, + ). Haìm säú nghëch biãún (2, 4). d. y = x4 - 2x2 + 5 TXÂ: D = R y' = 4x3 - 4x = 4x (x2 - 1) y' = 0 x = 0; x = 1 x - -1 0 1 + y ' - 0 + 0 - 0 + y Haìm säú nghëch biãún trãn (-, -1) vaì (0, 1). haìm säú âäưng biãún trãn ( -1; 0) vaì (1; +). Baìi 2: a. y = TXÂ: D = R\ {1}. y ' = x 1. haìm säú âäưng biãún trãn (- ,1) vaì (1, + ). b. y = TXÂ: D = R \{1}. y ' = y ' = 1 Haìm säú âäưng biãún trãn (-, 1) vaì (1, +) e. y = xlnx TXÂ: D = (0, + ) y ' = lnx +1; y ' = 0 x = . y' > 0 x > ; y' < 0 0 < x < h. y = x + sinx TXÂ: D = R. y ' = 1 + cosx; do -1 1 nãn 0 2 hay y '0 dáúu bàịng xaíy ra tải hỉỵu hản âiãøm nãn haìm säú âäưng biãún trãn R. Tiết 23: CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU Ngày dạy : I. Mục tiêu bài dạy. 1. Kiến thức : Hướng dẫn hs phát hiện và nắm vững: - Khái niệm cực đại, cực tiều. - Nội dung của định lí Fermat, ý nghĩa hình học của định lý này. - Dấu hiệu đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu. 2. Kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng cực đại, cực tiểu của hàm số. 3. Giáo dục : Giáo dục học sinh tính cẩn thận, có suy luận, khả năng tính toán. 4. Trọng tâm : Các định lí về điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện và nắm vững khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số. - GV đưa ra khái niệm lân cận của một điểm. - Giáo viên đặt vấn đề để học sinh hiểu được khái niệm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát hiện định lý Fermat. Giaí sỉí haìm säú âảt cỉûc âải tải xo. Giaí sỉí: x > 0 , Nháûn xẹt gç vãư ? Suy ra dáúu cuía f’(x0) ? Våïi x < 0 , thç sao ? Váûy ta cọ âỉåüc âiãưu gç ? Ta cọ âënh lyï sau goüi laì âënh lyï Fermat. GV goüi hs phạt biãøu âënh lyï Fermat. * Hỉåïng dáùn hs phạt hiãûn yï nghéa hçnh hoüc cuía âënh lyï Fermat. Nhận xét gì về hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M0(x, y0) thoả mãn định lý Fermat ? Nhận xét gì về điểm tới hạn của hàm số và điểm cực trị của hàm số đó? Điều ngược lại có đúng không ? Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện dấu hiệu 1 để hàm số có cực trị. * Giaí sỉí haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm trãn mäüt lán cáûn cuía xo (cọ thãø trỉì tải xo) Nãúu f '(x) > 0 trãn (xo - ,x0); f '(x)< 0 trãn khoaíng (xo, x0 +) thç âiãøm xo cọ gç âàûc biãût ? Tải sao ? Tỉång tỉû khi haìm säú f(x) cọ f '(x0) 0 trãn khoaíng (xo,x0+) Hỉåïng dáùn hs quy tàõc 1 tçm âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú. Tçm cạc âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10 ? Hoạt động 4. Hướng dẫn hs phát hiện dấu hiệu 2 để hàm số có cực trị. Giaí sỉí haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm liãn tủc tåïi cáúp 2 tải xo vaì f '(xo) = 0, f ''(xo) 0. thç xo laì 1 âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú. Trong mäüt lán cáûn cuía âiãøm x0, Trong trỉåìng håüp f”(x) > 0: Nháûn xẹt gç vãư dáúu cuía f’(x) khi x > x0 vaì khi x < x0? Tỉì âọ ta cọ nháûn xẹt gç ? * Hỉåïng dáùn hs phạt hiãûn dáúu hiãûu II âãø tçm cỉûc âải, cỉûc tiãøu cuía haìm säú. * Goüi hs laìm vê dủ Tçm y’ ? y”? y’ = 0 Û ? Xẹt dáúu y '' (); y ''()? „. Củng cố : Hoüc thuäüc dáúu hiãûu tçm cỉûc trë cuía haìm säú. Baìi táûp 1, 2, 3, 4 trang 52, 53. * Våïi x > 0 , ta cọ: f'(xo+)= hay f’(x0)£ 0 Våïi x < 0 , ta cọ: f '(xo-)=(2) * f' (xo+) = f' (xo-- ) = 0 * Hệ số góc bằng 0 nên tiếp tuyến song song hoặc trùng với trục Ox. Mọi điểm cực trị của hàm số đều là điểm tới hạn của hàm số đó. * Điều ngược lại không đúng, vì xét hàm số y = x3, có điểm tới hạn x = 0 ngưng không phải là điểm cực trị của hàm số này. * Nãúu f '(x) > 0 trãn (xo - ,x0); f '(x) < 0 trãn khoaíng (xo, x0 +) thç xo laì âiãøm cỉûc âải cuía haìm säú f(x). * Nãúu f '(x0) 0 trãn khoaíng (xo,x0+) thç xo laì âiãøm cỉûc tiãøu cuía haìm säú f(x). TXÂ: D = R y ' = 6x2 + 6x -36 y ' = 0 x2 + x - 6 = 0 x = 2 vaì x = -3. Vç yï âäøi dáúu tỉì dỉång sang ám khi x âi qua -3 vaì tỉì ám sang dỉång khi x âi qua 2 nãn âiãøm x = 2 laì âiãøm cỉûc tiãøu cuía haìm säú coìn x = -3 laì âiãøm cỉûc âải cuía haìm säú naìy. * Khi x > x0, f’(x) > f’(x0) = 0, coìn khi x < x0 thç f’(x) < f’(x0) = 0. * Nháûn xẹt f '' (xo) > 0 thç xo laì âiãøm cỉûc tiãøu f ''(xo) < 0 thç xo laì âiãøm cỉûc âải * y ' = 0 cos2x = 2x = x = . Ta cọ: y '' = - 4 sin2x 1. Âënh nghéa Cho haìm säú y = f(x) liãn tủc trãn khoaíng (a,b), vaì xo(a,b) a) Khoaíng (xo - , xo + ) kyï hiãûu V() , trong âọ > 0 âỉåüc goüi laì mäüt lán cáûn cuía xo. b. Âiãøm xo âỉåüc goüi laì âiãøm cỉûc âải cuía hsäú y= f(x) nãúu våïi moüi x thuäüc mäüt lán cáûn V()(a, b) cuía xo, ta cọ: f (x) < f (x0) (x xo) Khi âọ ta nọi haìm säú âảt cỉûc âải tải âiãøm xo; f(xo) âỉåüc goüi laì giạ trë cỉûc âải cuía haìm säú, kyï hiãûu f C = f (xo). Mo(xo,f(xo)) âiãøm cỉûc âải cuía âäư thë hsä.ú c. Âiãøm xo âỉåüc goüi laì âiãøm cỉûc tiãøu cuía h/s y= f(x) nãúu våïi moüi x thuäüc mäüt lán cáûn V()(a, b) cuía xo, ta cọ: f (x) > f (x0) (x xo) Khi âọ ta nọi haìm säú âảt cỉûc tiãøu tải âiãøm xo; f(xo) âỉåüc goüi laì giạ trë cỉûc tiãøu cuía haìm säú, kyï hiãûu f CT = f (xo). Mo(xo, f(xo)) âiãøm cỉûc tiãøu cuía âäư thë hs. d. Cạc âiãøm cỉûc âải, cỉûc tiãøu goüi chung laì âiãøm cỉûc trë. Giạ trë cuía haìm säú tải âiãøm cỉûc trë goüi laì cỉûc trë cuía haìm säú. 2. Âiãưu kiãûn âãø haìm säú cọ cỉûc trë Ta luän gthiãút haìm säú y = f (x) liãn tủc trãn (a,b) , xo (a,b) a. Âënh lyï Fecma Nãúu haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm tải xo vaì âảt cỉûc trë tải xo thç f '(xo) = 0 C/m: Hỉåïng dáùn hoüc sinh chỉïng minh a. Giaí sỉí haìm säú âảt cỉûc âải tải xo. Khi âọ våïi âuí nhoí ta cọ:f (xo+ x) < f (x0). * Våïi x > 0 , ta cọ: f'(xo+)=(1) * Våïi x < 0 , ta cọ: f '(xo-)=(2) (1), (2) f' (xo+) = f' (xo-- ) = 0 b. Trỉåìng håüp f(x) âảt cỉûc tiãøu tải xo, C/m tỉång tỉû. b. YÏ nghéa hçnh hoüc cuía âënh lyï Fecma: Nãúu haìm säú f(x) cọ âảo haìm tải xo, âảt cỉûc trë tải xo thç tiãúp tuyãún cuía âäư thë tải âiãøm Mo (x0, f(xo) song song Ox hồûc truìng våïi trủc Ox. c. Hãû quaí: Moüi âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú y = f (x) âãưu laì âiãøm tåïi hản cuía haìm säú âo.ï Chụ yï: Âiãøm tåïi hản cuía haìm säú khäng nháút thiãút laì âiãøm cỉûc trë. 3. Âiãưu kiãûn âuí (dáúu hiãûu) âãø haìm säú cọ cỉûc trë 1) Dáúu hiãûu I Âënh lyï 1: Giaí sỉí haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm trãn mäüt lán cáûn cuía xo (cọ thãø trỉì tải xo) a) Nãúu f '(x) > 0 trãn (xo - ,x0); f '(x)< 0 trãn khoaíng (xo, x0 +) thç xo laì âiãøm cỉûc âải cuía haìm säú f(x). b) Nãúu f '(x0) 0 trãn khoaíng (xo,x0+) thç xo laì âiãøm cỉûc tiãøu cuía haìm säú f(x). C/m: Hỉåïng dáùn hoüc sinh C/m: Qui tàõc I 1) Tçm f '(x) 2) Tçm cạc âiãøm tåïi hản 3) Xẹt dáúu cuía âảo haìm 4) Tỉì BBT suy ra cạc âiãøm cỉûc trë Vê dủ 1:Tçm cạc âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10. TXÂ: D = R; y ' = 6x2 + 6x -36 y ' = 0 x2 + x - 6 = 0 x = 2 vaì x = -3 2. Dáúu hiãûu II Âënh Lyï 2: Giaí sỉí haìm säú y = f(x) cọ âảo haìm liãn tủc tåïi cáúp 2 tải xo vaì f '(xo) = 0, f ''(xo) 0 thç xo laì 1 âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú. Hån nỉỵa: f '' (xo) > 0 thç xo laì âiãøm cỉûc tiãøu f ''(xo) < 0 thç xo laì âiãøm cỉûc âải C/m: Hỉåïng dáùn hoüc sinh C/m Qui tàõc II 1. Tênh f '(x), giaíi ptrçnh f '(x) = 0. Goüi xi (i=1,2 )laìì cạc nghiãûm. 2. Tênh f ''(x) 3. Tỉì dáúu f ''(xi) tênh cháút cỉûc trë cuía xI theo dáúu hiãûu II Vê dủ: Tçm cạc âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú: y = sin2x - x TXÂ: D = R y ' = 2cos2x - 1; y ' = 0 cos2x = 2x = x = . Ta cọ: y '' = - 4 sin2x y '' () 0 x = laì cạc âiãøm cỉûc âải. x = - laì cạc âiãøm cỉûc tiãøu. Tiết 24: BÀI TẬP CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU I. Mục tiêu bài dạy. 1. Kiến thức : Hướng dẫn hs vận dụng - Khái niệm cực đại, cực tiều. - Nội dung của định lí Fermat, ý nghĩa hình học của định lý này. - Dấu hiệu đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu. Để giải các bài tập sgk. 2. Kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm các điểm cực trị của hàm số. 3. Giáo dục : Giáo dục học sinh tính cẩn thận, có suy luận, khả năng tính toán. 4. Trọng tâm : Các bài tập về tìm điểm cực trị của hàm số. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Hướng dẫn hs làm bài tập 1 sgk. Gọi hs giải bài tập 1. Nêu dấu hiệu I tìm điểm cực trị của hàm số. Nêu TXĐ của hàm số y = ? Tìm y’ của hàm số này ? Giải Pt y’ = 0. GV nhận xét, đánh giá, ghi điểm cho hs. Tương tự cho các câu còn lại trong bài 1. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs làm bài tập 2 sgk. Gọi hs giải bài tập 1. Nêu dấu hiệu II tìm điểm cực trị của hàm số. Nêu TXĐ của hàm số y = ? Tìm y’ của hàm số này ? Giải Pt y’ = 0. Tênh y” vaì y”(0) ? Suy ra âiãøm cỉûc trë cuía haìm säú naìy GV nhận xét, đánh giá, ghi điểm cho hs. Tương tự cho các câu còn lại trong bài 2. Hoạt động 3. Hướng dẫn hs làm bài tập 4 sgk. Haìm säú naìy âảt cỉûc âải tải x = 2 khi naìo ? Giaíi baìi naìy ntn ? * Hỉåïng dáùn hs giaíi baìi táûp 6. „. Củng cố : Hoüc thuäüc dáúu hiãûu tçm âiãøm cỉûc âải, cỉûc tiãøu cuía haìm säú. Giaíi cạc baìi táûp coìn lải. Bài tập làm thêm: Cho hàm số y = f(x) = mx3 - 3(m -1)x2 - (9m - 6)x + m2 - 2m + 1. Xác định m để: a) hàm số có hai điểm cực trị trong (2, + ). b) hàm số có hai điểm cực trị trong (-2, 3). c) hàm số nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại. d) hàm số nhận điểm x = 2 làm điểm cực tiểu? * 1) Tçm f '(x) 2) Tçm cạc âiãøm tåïi hản 3) Xẹt dáúu cuía âảo haìm 4) Tỉì BBT suy ra cạc âiãøm cỉûc trë * TXÂ: D = R \ {1} * y' = = ; y' = 0x = 1+, x =1 - * 1. Tênh f '(x), giaíi ptrçnh f '(x) = 0. Goüi xi (i=1,2 ) laìì cạc nghiãûm. 2. Tênh f ''(x) 3. Tỉì dáúu f ''(xi) tênh cháút cỉûc trë cuía xI theo dáúu hiãûu II  * Khi * y ' = = 1 - y '' = Do haìm säú âảt cỉûc âải tải x = 2 nãn: Baìi 1: d. y = TXÂ: D = R \ {1} y' = = y' = 0 x = 1 +, x = 1 - x - 1- 1 1+ + y ' + 0 - - 0 + y C CT x = 1 - laì âiãøm cỉûc âải x = 1 +laì âiãøm cỉûc tiãøu e. y = xe- x y' = e- x - xe- x = e- x (1 - x) y' = 0 x = 1, e-x > 0 nãn dáúu y ' laì dáúu cuía 1 - x. x - 1 + y' + 0 - y C x = 1 laì âiãøm cỉûc âải Baìi táûp 2. Xẹt haìm säú y = TX D = R. y' = , y’ = 0 Û x = 0. Ta cọ y” = , y”(0) = 1 > 0. Váûy âiãøm x = 0 laì âiãøm cỉûc tiãøu cuía haìm säú. Baìi 4: y = TXÂ: D = R \{-m} y ' = = 1 - y '' = Do haìm säú âảt cỉûc âải tải x = 2 nãn: Váûy våïi m = - 3 haìm säú âảt cỉûc âải tải x = 2. Baìi 6: y =a2 x3 + 2ax2 - 9x + b TXÂ: D = R Khi a = 0 y = - 9x + b hsäú naìy khäng cọ cỉûc trë. Vç váûy ta xẹt khi a 0 y ' = 5a2x2 + 4ax - 9 y' = 0 x = - ; x = Xẹt hai trỉåìng håüp: a) a < 0 ta cọ: x - 1/a -9/5a + y' + 0 - 0 + y C xo = - laì âiãøm cỉûc âải = - a = - Màût khạc YCT = y (-) = y (1) > 0 - b > b) a > 0 ta cọ: x - -9/5a 1/a + y' + 0 - 0 + y C x1 = - laì âiãøm cỉûc âải -9/5a = - a = yCT = y () > 0 b > Váûy hồûc