Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Tiết thứ 25: Hypebo

Tr­êng THPT NguyƠn §×nh ChiĨu H×nh häc 12 Trang 1 TiÕt 25. Hypebol Ngµy d¹y: I Mơc tiªu bµi d¹y * Häc sinh ph¸t hiƯn vµ n¾m v÷ng ®Þnh nghi· hypebol, ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa hypebol, h×nh d¹ng hypebol, b¸n kÝnh qua tiªu, tiƯm cËn vµ t©m sai cđa hypebol. * RÌn luyƯn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh. II. ChuÉn bÞ cđa GV vµ HS.  Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, th­íc vµ compa.  Häc sinh: chuÉn bÞ bµi tr­íc ë nhµ. III. TiÕn tr×nh bµi d¹y.  B­íc 1: ỉn ®Þnh líp.  B­íc 2: KiĨm tra bµi cị:  B­íc 3: bµi míi. Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng Ho¹t ®éng 1 H­íng dÉn häc sinh ph¸t hiƯn vµ n¾m v÷ng kh¸i niƯm hypebol. Trong mỈ ph¼ng, cho hai ®iĨm cè ®Þnh F1 vµ F2 víi F1F2 = 2c > 0. LÊy mét vßng d©y quÊn quanh hai ®iĨm F 1F2. Ta c¨ng d©y ra råi quay quanh hai ®iĨm ®ã ®Ĩ v¹ch nªn mét ®­êng. §­êng ®ã gäi lµ Hypebol. GV ®­a ra kh¸i niƯm Hypebol. Ho¹t ®éng 2. H­íng dÉn häc sinh ph¸t hiƯn ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa hypebol. Gi¶ sư hypebol (E) gåm nh÷ng ®iĨm M sao cho: MF1 + MF2 = 2a. Chän hƯ to¹ ®é Oxy sao cho F1(-c, 0) vµ F2(c, 0) M(x, y). Ta cã MF12 = ? MF22= ? Suy ra: MF12 - MF22= ? MF12 + MF22 = ? So s¸nh |MF1 + MF2| vµ 2a M (H)  ? Thay vµo vµ tÝnh ta ®­ỵc PTCT cđa * MF12 = (x + c)2 + y2, MF22 = (x - c)2 + y2. Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx. MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2) M (E) MF1 + MF2 = 2a * |MF1 + MF2|  2c > 2a. M (H)  |MF1 - MF2| = 2a (MF1 - MF2 )2 = 4a2  (MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = 0 1. §Þnh nghÜa. Trong mỈ ph¼ng, cho hai ®iĨm cè ®Þnh F 1 vµ F2 víi F1F2 = 2c > 0. TËp hỵp nh÷ng ®iĨm M trong mỈt ph¼ng sao cho |MF 1 - MF2| = 2a (a lµ sè kh«ng ®ỉi nhá h¬n c) gäi lµ mét hypebol. F1, F2: tiªu ®iĨm cđa hypebol. Kho¶ng c¸ch 2c: tiªu cù. M thuéc hypebol th× MF1, MF2 gäi lµ c¸c b¸n kÝnh qua tiªu ®iĨm cđa M.2. Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa hypebol. Gi¶ sư hypebol (H) gåm nh÷ng ®iĨm M sao cho: |MF 1 - MF2| = 2a. Chän hƯ to¹ ®é Oxy sao cho F 1(-c, 0) vµ F2(c, 0).  M, ta cã: MF12 = (x + c)2 + y2, MF22 = (x - c)2 + y2. Suy ra: MF12 - MF22 = 4cx. MF12 + MF22 = 2(x2 + y2 + c2) §Ĩ ý |MF1 + MF2|  2c > 2a nªn (MF1 - MF2)2 - 4a2 ≠ 0. M (H)  |MF1 - MF2| = 2a (MF1 - MF2 )2 = 4a2  (MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = 0  (MF12 - MF22)2 - 8(MF12 + MF22) + 16a4 = 0 16c2x2 - 16a2(x2 + y2 + c2) + 16a4 = 0 x2(a2 - c2) + a2y2= a2(c2 - a2) 122 2 2 2  ca y a x  12 2 2 2  b y a x (víi b2 = c2 - a2). Ph­¬ng tr×nh: 12 2 2 2  b y a x (víi b2 = c2 - a2) gäi lµ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c M (H) F1 F2 Tr­êng THPT NguyƠn §×nh ChiĨu H×nh häc 12 Trang 2 hypebol lµ 12 2 2 2  b y a x (víi b2 = c2 - a2). Từ MF12 - MF22 = 4cx |MF1 - MF2 | = 2a suy ra MF1 , MF2 ? Ho¹t ®éng 3 H­íng dÉn häc sinh ph¸t hiƯn vµ n¾m v÷ng h×nh d¹ng cđa hypebol. LÊy M(x, y)  (H). NhËn xÐt g× vỊ M’(-x, y) ? T­¬ng tù cho ®iĨm M”(x, -y) ? Tõ ®ã ta cã thĨ kÕt luËn ®iỊu g× ? X¸c ®Þnh giao ®iĨm cđa hypebol víi c¸c trơc to¹ ®é ? M(x, y)(E): 12 2 2 2  b y a x , nhËn xÐt g× vỊ x suy ra ®iỊu g× ? Ho¹t ®éng 4. H­íng dÉn häc sinh ph¸t hiƯn vµ n¾m v÷ng tiƯm cËn cđa hypebol. * Tõ pt cđa hypebol 12 2 2 2  b y a x T×m y theo x ? T×m tiƯm cËn cđa hµm y = 22 ax a b  , x  a. Ho¹t ®éng 5. H­íng dÉn häc sinh ph¸t hiƯn t©m sai cđa hypebol. * Khi x > 0, ta cã |MF1 - MF2 | = 2a MF1 - MF2 = 2aMF1 + MF2 = 2 a cx .C¸c b¸n kÝnh ®i qua tiªu ®iĨm cđa ®iĨm M lµ: MF1 = a + a cx vµ MF2 = - a + a cx M’(-x, y) ®èi xøng víi M qua Ox vµ M’ (H). M”(-x, y) ®èi xøng víi M qua Oy vµ M” (H). Tõ ®ã ta thÊy hypebol nhËn Ox vµ Oy lµm trơc ®èi xøng, nªn nã cã t©m ®èi xøng lµ O. y = 0 12 2  a x  x=a, x= -a. Hypebol (E) c¾t Ox t¹i (-a, 0) vµ (a, 0) vµ kh«ng c¾t * x2  a2  x  a hoỈc x  -a VËy kh«ng cã ®iĨm nµo thuéc hypebol n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng x = a vµ x = -a. * 12 2 2 2  b y a x  y2 = 2 22 2 a axb   22 ax a by  cđa hypebol. Chĩ ý: a, C¸c b¸n kÝnh ®i qua tiªu ®iĨm cđa ® iĨm M lµ: i, NÕu x > 0 th× MF 1 = a + a cx vµ MF2 = - a + a cx ii, NÕu x < 0 th× MF 1 = - a - a cx vµ MF2 = a - a cx . b, NÕu chän F 1(0, -c) vµ F2 (0, c) th× hypebol cã ph­¬ng tr×nh lµ - 12 2 2 2  a y b x . 3. H×nh d¹ng cđa hypebol Cho hypebol (H): 12 2 2 2  b y a x a, Hypebol (E) nhËn Ox, Oy lµm trơc ®èi xøng, nªn nã nhËn gèc to¹ ®é O lµm t©m ®èi xøng. b, Hypebol (E) c¾t Ox t¹i A1(-a, 0) vµ A2(a, 0) vµ kh«ng c¾t Oy. Trơc Oy gäi lµ trơc ¶o cđa hypebol cßn trơc Ox gäi lµ trơc thùc. 2a: ®é dµi trơc thùc, 2b: ®é dµi trơc ¶o. c, M(x, y)  (E): 12 2 2 2  b y a x ,  x2  a2  x  a hoỈc x  -a VËy kh«ng cã ®iĨm nµo thuéc hypebol n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng x = a vµ x = -a. Hypebol gåm hai nh¸nh, nh¸nh tr¸i gåm nh÷ng ®iĨm n»m bªn tr¸i ®­êng th¼ng x = -a, nh¸nh ph¶i gåm nh÷ng ®iĨm n»m bªÈiphØ ®­êng th¼ng x = a. 4. §­êng tiƯm cËn cđa hypebol. * XÐt ®­êng hypebol (H): 12 2 2 2  b y a x . 12 2 2 2  b y a x  y2 = 2 22 2 a axb   22 ax a by  . Gäi (H1) lµ mét phÇn cđa hypebol n»m trong gãc phÇn t­ thø nhÊt cđa hµm sè y = 22 ax a b  , x  a. Ta cã: 0)) 22 2 22 lim(lim(    xax a a b x a b ax a b xx N MQ P b -a y a x -b Tr­êng THPT NguyƠn §×nh ChiĨu H×nh häc 12 Trang 3 TØ sè gi÷a tiªu cù vµ ®é dµi trơc lín cđa hypebol gäi lµ t©m sai cđa hypebol. e = ? NhËn xÐt g× vỊ t©m sai cđa hypebol ? Cđng cè: N¾m v÷ng h×nh d¹ng vµ t©m sai cđa hypebol. Lµm hÕt c¸c bµi tËp SGK. * T©m sai cđa hypebol (E): 12 2 2 2  b y a x lµ e = a ba a c 22  . * T©m sai cđa hypebol lu«n lu«n lín h¬n 1. VËy phÇn cđa hypebol n»m trong gãc phÇn t­ thø nhÊt nhËn ®­êng th¼ng y = a b x lµm tiƯm cËn. T­¬ng tù ba phÇn cßn l¹i cuae hypebol (H) cịng nhËn hai ®­êng th¼ng y = a b x vµ y = - a b x lµm tiƯm cËn. Tãm l¹i hypeol cã hai ®­êng tiƯm cËn lµ: y = a b x vµ y = - a b x. Chĩ ý: Tõ hai ®Ønh cđa hypebol ta vÏ hai ®­êng th¼ng song song c¾t hai tiƯm cËn t¹ 4 ®iĨm P, Q, S vµ S. §ã lµ 4 ®Ønh cđa mét h×nh ch÷ nhËt. H×nh ch÷ nhËt ®ã gäi lµ h×nh ch÷ nhËt cë së cđa hypebol. 4. T©m sai cđa hypebol. TØ sè gi÷a tiªu cù vµ ®é dµi trơc thùc cđa hypebol gäi lµ t©m sai cđa hypebol, kÝ hiƯu: e. T©m sai cđa hypebol (E): 12 2 2 2  b y a x lµ e = a ba a c 22  . Chĩ ý. T©m sai cđa hypebol lu«n lu«n lín h¬n 1. TiÕt 26. bµi tËp Hypebol Ngµy d¹y: I. Mơc tiªu bµi d¹y * H­íng h­íng dÉn häc sinh vËn dơng ®Þnh nghi· hypebol, ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa hypebol, h×nh d¹ng hypebol, b¸n kÝnh qua tiªu ®iĨm, tiƯm cËn vµ t©m sai cđa hypebol ®Ĩ gi¶i c¸c bµi tËp SGK. * RÌn luyƯn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho häc sinh. II. ChuÉn bÞ cđa GV vµ HS.  Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, b¶ng phơ, d©y, th­íc vµ compa.  Häc sinh: chuÉn bÞ bµi tr­íc ë nhµ. III. TiÕn tr×nh bµi d¹y.  B­íc 1: ỉn ®Þnh líp.  B­íc 2: KiĨm tra bµi cị: Nªu ®Þnh nghi· hypebol, ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa hypebol, CT b¸n kÝnh qua tiªu ®iĨm, tiƯm cËn vµ t©m sai cđa hypebol  B­íc 3: bµi míi. Tr­êng THPT NguyƠn §×nh ChiĨu H×nh häc 12 Trang 4 Ho¹t ®éng cđa thÇy Ho¹t ®éng cđa trß Néi dung ghi b¶ng Ho¹t ®éng 1 H­íng dÉn häc sinh ph¸t lËp PTCT cđa hypebol. * Gäi hs gi¶i bt 1(SGK). Nªu PTCT cđa hypebol ?  GV nhËn xøt ®snhs gÝa vµ ghi ®iĨm. Nªu h×nh d¹ng cđa hypebol ? Nªu t©m sai cđa hypebol ? Ho¹t ®éng 2. H­íng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp 4 sgk. Gäi I(0, b) lµ t©m ®­êng trßn. BK ®­êng trßn R = ? Gäi M(x, y) th× M’cã to¹ ®é lµ g× ? Ta cã: x = ? vµ y = ? Suy ra quü tÝch c¸c ®iĨm M ? Ho¹t ®éng 3. H­íng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp 7 sgk. Gi¶ sư hypebol (H) cã PTCT: 12 2 2 2  b y a x Khi ®ã hai ®­êng tiƯm cËn cã PTTQ lµ g× ? 1: bx + ay = 0 vµ 2: bx – ay = 0. Gäi M(x, y)  (H). Khi ®ã: 12 2 2 2  b y a x . TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiƯm cËn lµ g× ? Ho¹t ®éng 4. H­íng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp lµm thªm. Cđng cè: N¾m v÷ng h×nh d¹ng vµ t©m sai cđa hypebol. * Ph­¬ng tr×nh: 12 2 2 2  b y a x (víi b2 = c2 - a2) gäi lµ ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa hypebol. * Hypebol (E) nhËn Ox, Oy lµm trơc ®èi xøng, nªn nã nhËn gèc to¹ ®é O lµm t©m ®èi xøng. * T©m sai cđa hypebol (E): 12 2 2 2  b y a x lµ e = a ba a c 22  . * Gäi I(0, b) lµ t©m ®­êng trßn. BK ®­êng trßn lµ R = 22 ba  . * M’(-x, y) vµ x = R vµ y = b Ta cã x2 – y2 = R2 – b 2 = a2 . VËy quü tÝch c¸c ®iĨm M lµ hypebol x 2 – y2 =a2.. * Hai ®­êng tiƯm cËn cã PTTQ lµ: 1: bx + ay = 0 vµ 2: bx – ay = 0. Gäi M(x, y)  (H). * TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiƯm cËn lµ:     2222 ba aybx ba aybx 22 22 ba ba  . Giải BTLT: * (E) có các tiêu điểm F1, 2 ( 3, 0) * Tư ø giả thiết suy ra (H) có tiêu điểm  '1,2F 5,0 và 2 đỉnh (3, 0), c’ = 5, a’ = 3  (H) 2 2x y 9 16  =1. Bµi tËp 2. a, ta cã: a = 4, c = 5  b = 3 PTCTcđa Hypebol lµ: 1 916 22  yx . b, a, ta cã: c = 13 vµ 1 49 :4,913, 9 4 3 2 222222 2 22  yxPTCTbaba a ab a b c, Gi¶ sư PTCT cđa Hypebol: 12 2 2 2  b y a x , v× nã ®i qua M( 10 , 6) nªn: 13610 22  ba , h¬n n÷a: e = 455 2 2 2 2  a b a c . Tõ ®ã suy ra: a2= 1 vµ b2 = 4. VËy PTCT cđa hypebol lµ: 1 41 22  yx . Bµi tËp 4. Gäi I(0, b) lµ t©m ®­êng trßn. BK ®­êng trßn lµ R = 22 ba  . Gäi M(x, y) th× M’(-x, y). Ta cã: x = R vµ y = b  x2 – y2 = R2 – b 2 = a2 . VËy quü tÝch c¸c ®iĨm M lµ hypebol x 2 – y2 =a2.. Bµi tËp 7. Gi¶ sư hypebol (H) cã PTCT: 12 2 2 2  b y a x , khi ®ã hai ®­êng tiƯm cËn cã PTTQ lµ: 1: bx + ay = 0 vµ 2: bx – ay = 0. Gäi M(x, y)  (H). Khi ®ã: 12 2 2 2  b y a x . TÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai tiƯm cËn lµ: 22 22 2 2 2 2 22 22 2222 |||| ba ba b y a x ba ba ba aybx ba aybx     (kh«ng phơ thuéc vµo M) Bài tập làm thêm: Cho (E) : 2 2x y 1 25 16   . Viết phư ơng trình của (H) có đỉnh là các tiêu điểm của (E), có tiêu điểm là các đỉnh của (E). 8 6 4 2 -2 -5 5 10B M' A M