Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Tính đơn điệu của hàm số

Chuyên đề 1 : PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Á1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 Î(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2). 2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 Î(a,b) mà x1f(x2). 3) x0 Î(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không nh hay bằng 0. II. Định lý: Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm cÎ(a,b) sao cho Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b). Nếu f’(x)>0 "xÎ(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b). Nếu f’(x)<0 "xÎ(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b). (Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng). CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số . a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1. Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Bài 4: Chứng minh rằng a) x > sinx "x Î (-π/2,π/2). b) . c) . Bài 5 :  Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :   Á2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 Î(a,b) . Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0). Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0Î(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0)     a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + d) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).     b) Nếu f’(x) 0 trên khoảng (x0; d+ x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).     Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị.     Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) ¹ 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 Þ x0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 Þ x0 là điểm cực đại. B . CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 2: Cho hàm số Khảo sát hàm số khi m=-1. Xác định m để hàm số có hai cực trị. Bài 3: Cho hàm số a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;¥). Bài 4: Cho hàm số   với tham số k. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A. 3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0. Bài 5: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 6: Cho hàm số Xác định m sao cho hàm số. Có cực trị. Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số Á3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) . c)        trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d) xÎ[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) trên đoạn [-10,10]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên đoạn[-1,3]. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị x. góc bé nhất. Á4. TIỆM CẬN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Tiệm cận đứng: Nếu thì đường thẳng (d) có phương trình x= x0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C). Tiệm cận ngang: Nếu thì đường thẳng (d) có phương trình y= x0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C). Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là hoặc hoặc . Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. . B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Khảo sát hàm số . Xác định m để đồ thị hàm số  có các tiệm cận trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số a) b) c) .d) PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai. Các dạng đồ thị hàm số: x y O · I x y O · I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị Û ? x y O · I x y O · I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị Û ? F Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị Û ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị Û ? F Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến x O I F Hàm số nhất biến : F Hàm số hữu tỷ (2/1) : (tử, mẫu không có nghiệm chung, ... ) x y O · I x y O · I Dạng 2: hàm số không có cực trị x y O · I x y O · I Dạng 1: hàm số có cực trị Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau: Bước ‚: Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình = m ( dùng bảng 1) 2. Biện luận phương trình = 3m -2 ( dùng bảng 2) 3. Biện luận phương trình = ( dùng bảng 3) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) ® Ta sử dụng công thức (I) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] ® Ta sử dụng công thức (II) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. ® Ta dùng công thức (III) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. ® Ta dùng công thức (IV) Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:  Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng: F Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox). F Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm). F Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]). F Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả. ‚ Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay: ? Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy) ? Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả. Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1. Giải: (0,75 đ) Ta có: ex = 2 Û x = ln2 Diện tích hình phẳng cần tìm S = (0,25 đ) = (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox. Giải: Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có: = 27/4 ( đvdt) Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4: Cho hàm số (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2). b) Dùng đồ thị (C2) giải và biện luận phương trình : x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0. c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1. d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra. Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = ; y = . Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y = quay quanh Ox. Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình (điều kiện x khác 1) +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ¹ 0 và m ¹ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ¹ 0 và m ¹ - 2 có hai giao điểm. BÀI TậP: Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): và đường thẳng (T): . KQ: 1 giao điểm ( m £ ), 3 giao điểm ( m > ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số . KQ: -28 < a £ 0 Dạng 4: Cực trị của hàm số Yêu cầu đối với học sinh: F Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình: ? Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) ® không có cực trị hoặc có 2 cực trị. ? Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) ® có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị. ? Hàm số nhất biến dạng: ® chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị. ? Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: ® không có cực trị hoặc có 2 cưc trị. F Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0 Î (a;b) Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0 Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + ® – khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0. Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – ® + khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0. (Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số có xác định tại đó). F Hoặc: Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) ¹ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0. Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0. Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0. Bài tập:1 Định tham số m để: i) Hàm số y = có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m 3 2i)Hsố y = có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1 3i) Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : "m và x2 – x1 = 1 Bài 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : = 2. Kết quả : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) Î (C). F Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) hay y – y0 = k(x – x0) (*) F Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA) F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1) F Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: F Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả. Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) ) C1: F Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k Þ .. Þ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm) F Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả C2:F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết) F Bước 2: Lập và giải hệ pt: Þ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả Bài tập về PTTT của đồ thị (C ): Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đó. Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 4: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số y = . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y = đi qua B(1;0) Bài 8) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 9) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập Pttt kẻ từ A(;4) Bài 10) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M Î đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1) Cho hàm số , m là tham số, có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2. Bài 2) Cho hàm số , có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O. Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên. Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2. Định m để ptrình : 2x2 – 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt. Bài 5 : Cho hàm số gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: Bài 7: Cho hàm số a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;¥) Bài 8 : Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0. Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng. Chuyên đề 2 : §1. NGUYÊN HÀM: Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ : Bài tập: ­Ghi nhớ: Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm. Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: 1. (đặt t= 2-x) 2. (đặt ) 3. (đặt ) 4. (đặt ) 5. ( đặt t= 3+x3) 6. (đặt ) 7. (đặt t=1+x2) 8. (đặt t=1+x2) 9. (đặt t=lnx) Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: i) 2i) 3i) 4i) 5i) 6i) 7i) 8i) 9i) 10i) 11i) 12i) 13i) 14i) 15i) Bài 4: Cho hai hàm số ; . a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của . b. Tìm nguyên hàm biết rằng . Bài 5: Cho hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng . Bài 6: Cho hàm số . Tìm hàm số biết rằng và . Bài 7: Cho hàm số . a. Giải phương trình . b. Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm . Bài 8: Biết rằng hàm số là nguyên hàm của . Hãy tìm các giá trị của sao cho . Bài 9: Cho hàm số . a. Tính và . b. Tìm nguyên hàm của hàm số . Bài 10: Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số là nguyên hàm của hàm số . Bài 11: Tìm nguyên hàm của hàm số ,biết rằng . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2. TÍCH PHÂN : Định nghĩa: Bài tập: ­ Ghi nhớ: Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. Bài 2: Cho hàm số và hàm số . a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của . b. Áp dụng câu a. tính . Bài 3: Cho hàm số . a. Tính . b. Áp dụng câu a. tính . Bài 4: Biết hàm số là một nguyên hàm của . Hãy tính : . Bài 5: Tính các tích phân sau: 1. . 2. 3. 4. . 5. 6. 7. . 8. 9. . 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. §3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: Công thức tổng quát: Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của (hàm số theo biến là ) với đạo hàm của hàm . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau: TH1: . Đặt hoặc hoặc nếu như biểu thức nằm trong . TH2: . Đặt hoặc hoặc nếu như biểu thức nằm trong . TH3: . Đặt hoặc hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu . TH4: . Đặt hoặc hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu . TH5: . Đặt hoặc hoặc nếu như biểu thức nằm trong . Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. Bài 3: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. Bài 4: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. Bài 5: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp) 1 (HD: x=tant) 2. (HD: x=3tant) 3 (HD: x=sint) 4. ( HD: x=4sint) 5. (HD: x=2sint) 6. (HD:đặt x+1=tant) 7. (HD: x=asint) 8. () Bài 6: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp) 1. (t=1-x) 2. 3. 4. 4. 5. 6. (t=lnx) 7. 8. 9. 10. 11 . 12. ` 13. (t=tanx+2) §4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: Công thức tổng quát: hay (1) Các bước thực hiện: Bước 1: Bước 2: Thế vào công thức (1). Bước 3: Tính và suy nghĩ tìm cách tính tiếp (tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau: Dạng 1: Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm hoặc . Trong trường hợp này ta đặt: ­ Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được phức tạp hơn ban đầu. Dạng 2: Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm logarit. Trong trường hợp này ta đặt: ­Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra từ . Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. e. f. g. h. Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. . §5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây: a. b. c. d. e. f. g. h. §6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: (trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai). Công thức: (2) Các bước thực hiện: Bước1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình (PTHĐGĐ của và để tìm. Bước 2: Áp dụng công thức (2). Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này. Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, nằm trên thì hiệu , và nằm dưới thì hiệu . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1: Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát). Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2). Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ. Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox: (trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai). Công thức: (3) Các bước thực hiện: Bước 1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình (PTHĐGĐ của và trục Ox) để tìm. Bước 2: Áp dụng công thức (3). Bài tập: ÁP Dụng 01: Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. (C): và các tiếp tuyến của (C) đi qua 7. (C): và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1; 8.