Giáo án lớp 12 môn Hình học - 24 bài tập hình học (dành cho các lớp luyện thi đại học)

24 bµi tËp h×nh häc (dµnh cho c¸c líp luyƯn thi §¹i häc) Câu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) : là đường tròn có bán kính r = 1. Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'. Câu 3: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng (D) : 1. Tìm điểm M thuộc (D) để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2. Tìm điểm N thuộc (D) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất. Câu 4: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. Câu 5 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S): Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 8. Câu 6 Cho tứ diện OABC có đáy là DOBC vuông tại O, OB = a, OC = và đường cao . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. Câu 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (a) : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của (a) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng . Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của DABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o. Câu 9: Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : và mặt phẳng (a) : 2x – y – 2z = 0. Câu 10: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng , SA vuông góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF. Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): (P): . Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác định tọa độ tiếp điểm. Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh DMAB cân và tính diện tích DMAB theo a. Câu 13: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Câu 14: . Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: (d1) : ; (d2) : Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). Câu 15: Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng: (d1): Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2). Câu 16: Cho hình lập phương ABCD . A'B'C'D' cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D'. Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN). Câu 17: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (d1) : ; và (d2) : Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1). Câu 18: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a. Câu 19: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (D1) : 1. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (D3) đối xứng với (D2) qua (D1). 2. Xét mặt phẳng (a) : x + y + z + 3 = 0. Viết phương trình hình chiếu của (D2) theo phương (D1) lên mặt phẳng (a). 3. Tìm điểm M trên mặt phẳng (a) để đạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) và M2(7; 3; 9). Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh DAB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). Câu 21 Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng dường cao SH. a. Chứng minh SA ^ BC. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC. b. Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Câu 22 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (a) : 2x + 3y + 6z – 18 = 0 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Tìm điểm M(x, y, z) với x > 0, y > 0, z > 0 cách đều bốn mặt của tứ diện OABC. Suy ra phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện. Câu 23 Cho hình chóp S. ABCD có SA ^ (ABCD) và SA = , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). Câu 24 Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; -2). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C. Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đi qua O, A, B, C sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 lớn nhất. 2.Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đi qua O, A, B, C sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 lớn nhất. ®¸p ¸n Câu 1: Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0 ° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2. ° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1 ° Cho A/ B/ C/ C B A H F D ° Vậy, có 2 mặt phẳng (P): Câu 2: . Cách 1: ° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông Þ Þ các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều. ° Ta có: ° Ta có: ° Dựng ° Vì A/ C/ B/ A B C D x a z y ° DA/FD vuông có: ° Vậy, Cách 2: ° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông Þ DABC, DA/B/C/ là các tam giác đều cạnh a. ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), ° Ta có: ° ° với ° Phương trình mp (A/BC) qua A/ với pháp vectơ : ° ° Vậy, Câu 3: 1. Phương trình tham số của (D): ° ° ° , với ° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. ° ° Đường cao MH của tứ diện MABC là khoảng từ M đến (ABC): ° Thể tích tứ diện MABC bằng 3 ° Vậy, có 2 điểm M cần tìm là: 2. ° S I A O B M C ° Vậy, điểm N cần tìm là N(-3; 0; 1). Câu 4: Cách 1: ° Gọi O là tâm của DABC ° Ta có: Þ SO là trục của đường tròn (ABC) ° Mà : ° Dựng , suy ra: là góc phẳng nhị diện (B, SA, C). ° DSOA vuông có: ° Gọi M là trung điểm BC Ta có: (định lý 3 đường vuông góc) Þ ° cân tại I. ° vuông cân tại I S z A z H B M y C ° Vậy, Cách 2: ° Gọi H là tâm của DABC và M là trung điểm của BC ° Ta có: ° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc . ° ° với ° với . ° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương nên có pháp vectơ . ° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương nên có pháp vectơ . ° Vậy: H N M I Câu 5: Mặt cầu (S): có tâm I(-2; 3; 0), bán kính , với m < 13. ° Dựng , với m < -3. ° Phương trình tham số của đường thẳng (d): ° (d) có vectơ chỉ phương và đi qua điểm A(0; 1; -1) ° ° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d): ° Ta có: IH = h (thỏa điều kiện) ° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12. Câu 6: Cách 1: ° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. ° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) Þ OM // (ABN) Þ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)). ° Dựng ° Ta có: ° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có: z A y C N O M a x B ° Vậy, Cách 2: ° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc O(0; 0; 0), và là trung điểm của AC. ° MN là đường trung bình của DABC Þ AB // MN Þ AB // (OMN) Þ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)). ° ° , với ° Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ ° Ta có: Vậy, Câu 7 Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0 ° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi (a) và (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0 ° Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ: ° Thể tích tứ diện OABC bằng ° Vậy, có 2 phương trình mặt phẳng (P): G M C S I A B Câu 8: . Cách 1: ° Gọi M là trung điểm của BC (DABC vuông cân) ° Ta có: . Suy ra: ° Dựng và là góc phẳng nhị diện (B; SA; C). ° cân tại I. ° ° . ° Ta có: z x x y C B A E F G M ° Vậy, Cách 2: ° ° Gọi M là trung điểm BC ° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông ° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), . ° ° , với ° với . ° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương nên có pháp vectơ ° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương nên có pháp vectơ ° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o. ° Vậy, Câu 9: Gọi A(a; 0; 0) . ° Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (a) : ° (D) qua và có vectơ chỉ phương ° Đặt ° Do đó: d(A; D) là đường cao vẽ từ A trong tam giác ° Theo giả thiết: d(A; a) = d(A; D) C S F M B E K H A ° Vậy, có một điểm A(3; 0; 0). Câu 10: Cách 1: ° Gọi M là trung điểm của BF Þ EM // AF ° DSAE vuông tại A có: ° ° ° ° Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong DSBF có: ° Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF ° Áp dụng định lý hàm Côsin vào DSEM có: ° Dựng Ta có: và ° Vì z a S A x E B M F y C ° DSAK vuông có: ° Vậy, . Cách 2: ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), và . ° ° Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có: ° với ° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ ° Khoảng cách từ A đến (SEM): ° Vì Vậy, Câu 11: có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3. (P) tiếp xúc (S) ° Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0 ° Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình: S M C H B K A ° Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: ° Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2). Câu 12: Cách 1: ° Ta có: Do đó DSAC vuông tại A có AM là trung tuyến nên ° Ta lại có: Þ (định lý 3 đường vuông góc) Do đó DSBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên ° Suy ra: MA = MB Þ DMAB cân tại M. ° Dựng MH // SA và vì: ° DMHK vuông tại H có: ° Diện tích DMAB: z S 2a M C y H B A K x Cách 2: ° DABC vuông tại B có: ° Dựng ta có: × × ° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và ° Tọa độ trung điểm M của SC là ° Ta có: suy ra: MA = MB Þ DMAB cân tại M. ° Ta có: ° Diện tích DMAB: S A O B H C j Câu 13: Cách 1: ° Gọi H là trung điểm của BC. ° Do S.ABC đều và DABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao là trực tâm O của DABC và có DSBC cân tại S. suy ra: nên . ° Ta có: vuông góc: và ° Thể tích hình chóp S.ABC: ° Diện tích DSBC: ° Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: C j M B x A z S O y Cách 2: ° Vì S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC). ° Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: - và - - DSOM vuông có: ° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), ° Thể tích hình chóp: ° Ta có: ° ° Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến ° Khoảng cách d từ A đến (SBC): Câu 14: (d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương (d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương ° ° không đồng phẳng. ° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau. ° (d2) có phương trình tham số: ° Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) ° , ° Ta có: ° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính ° Vậy, phương trình mặt cầu (S): Câu 15: (P) có pháp vectơ với Q P Q/ P/ D B d2 d1 A D/ ° (Q) có pháp vectơ ° (d1) có vectơ chỉ phương ° (d2) có vectơ chỉ phương ° Gọi: ° Suy ra (D) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P/) và (Q/), và (D) // (D/). ° (D) có vectơ chỉ phương với ° mp (P/) có cặp vectơ chỉ phương và nên có pháp vectơ: ° Phương trình mp (P/) chứa (d1) đi qua điểm A(-5; 3; -1) với là: 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 ° mp (Q/) có cặp vectơ chỉ phương và nên có pháp vectơ: ° Phương trình mp (Q/) chứa (d2) đi qua điểm B(3; -1; 2) với là: ° Ta có: ° Vậy, phương trình đường thẳng (D) : Câu 16: Cách 1: ° Bốn tam giác vuông bằng nhau (c.g.c) D/ A/ B/ C/ D A B C M N là hình thoi. ° Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ và nên: ° Mà: ° Ta có: với ° Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: C a A/ C/ D A B M N D/ z a a y x Cách 2: ° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz đôi một vuông góc, A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a), ° Ta có: ° Phương trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ ° Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN): Câu 17: (d1) có vectơ chỉ phương (d2) có vectơ chỉ phương ° ° ° Giả sử (D) cắt (d1) tại ° ° ° Vậy, phương trình tham số của đường thẳng (D): . Câu 18: Cách 1: ° Dựng S H P C A B N j ° Ta có: và SH là đường cao của hình chóp. ° Dựng ° DSHN = DSHP Þ HN = HP. ° DAHP vuông có: ° DSHP vuông có: ° Thể tích hình chóp Cách 2: ° Dựng ° Ta có: ° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc a và DABC đều, nên suy ra H là trung điểm AB. z h S B C A x H y ° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz đôi một vuông góc, ° Phương trình mp (ABC): z = 0, với pháp vectơ ° Phương trình mp (SAC): với ° (SAC) tạo với (ABC) một góc a: ° Thể tích hình chóp S.ABC: . Câu 19: 1. ° có vectơ chỉ phương A A/ B/ B D2 D1 D3 K H ° ° Gọi H là hình chiếu của A trên (D1) ° ° ° Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H Þ A/(-1; -1; -7) ° Gọi K là hình chiếu của B trên (D1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K. Tương tự như trên ta tìm được: ° , với ° Phương trình đường thẳng (D3) đối xứng với (D2) qua (D1) chính là phương trình đường thẳng qua A/ với vectơ chỉ phương . ° Vậy, phương trình chính tắc (D3): . 2. Mặt phẳng (b) chứa (D2) và (b) // (D1) Þ (b) có cặp vectơ chỉ phương Þ với ° Phương trình mp (b) qua A(7; 3; 9) với pháp tuyến : ° Ta có: là hình chiếu của (D2) lên (a) theo phương (D1). ° Vậy, phương trình hình chiếu 3. Gọi I là trung điểm ° Ta có: a M2 M1 I (D) M0 M nhỏ nhất nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (a) ° Phương trình đường thẳng (D) qua I và vuông góc với (a) là: ° Gọi M là giao điểm của (D) và (a) ° ° ° Vậy, điểm M cần tìm: M(0; -3; 0). Câu 20: Cách 1: ° Gọi H là trung điểm A/ B/ C/ A B C 30o H I ° DABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a Þ và ° vuông có: ° DAIC vuông có: ° Ta có: (AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a) ° Vậy, DAB/I vuông tại A. ° Ta có: ° Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta có: Cách 2: 60o B/ A/ C/ z a B C A H I y z ° Gọi H là trung điểm BC Þ ° DABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a và ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, ° ° Ta có: Vậy, DAB/I vuông tại A. * Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ * mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương , nên có pháp vectơ: với . ° Gọi a là góc giữa (ABC) và (AB/I), ta có: S A O C B H Câu 21 Cách 1: a/ Ta có: Þ SH là trục đường tròn ngoại tiếp DABC đều Þ H là trực tâm và: Suy ra: ° DSAH vuông có: ° Thể tích hình chóp: ° Diện tích toàn phần hình chóp: b/ O là trung điểm ° Áp dụng định lý trung tuyến AO trong DSAH có: ° Ta có: vuông tại O. ° Chứng minh tương tự ta cũng có các tam giác OBC, OCA vuông tại O. ° Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. z S A C M y H O B x Cách 2: a/ ° Gọi M là trung điểm BC ° Gọi SH là đường cao của tứ diện đều, nên SH là trục đường tròn (ABC) Þ H là tâm đường tròn (ABC) ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, ° Ta có: Vậy, ° Thể tích hình chóp: ° Diện tích toàn phần: b/ O là trung điểm SH Þ tọa độ ° ° Ta có: Chứng minh tương tự ta cũng có: ° Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Câu 22 Tọa độA(9; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 3) ° Vì M cách đều 3 mặt phẳng tọa độ và (a), nên x = y = z (do x, y, z > 0) và: . ° Mặt khác: . Suy ra: M1 nằm trong, còn M2 nằm ngoài tứ diện OABC Þ M1 là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Vậy, mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có tâm M1(1; 1; 1), bán kính R = 1, có phương trình : Câu 23 Cách 1: ° Ta có: S F E A B C D ° Dựng tại E, ta có: ° Dựng tại F, khi đó: Do đó: ° Từ các tam giác vuông AEB và SAE, ta có: z S x A B B/ C C/ I D 2a y Þ Vậy, Cách 2: ° Dựng và I là trung điểm AD ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông ° với ° Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ : ° Vì: ° Ta có: ° Vậy, Câu 24: 1.Phương trình mặt phảêng (ABC): ° (C) là giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và một mặt cầu (S) qua A, B, C. Chọn (S) là mặt cầu qua O. ° Phương trình mặt cầu (S): ° A, B, C thuộc (S) nên: ° Vậy, phương trình đường tròn 2. Mặt cầu (S): có tâm I(1; 2; -1), bán kính . ° Phương trình đường thẳng (D) qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (P): ° Tọa độ giao điểm M của (D) và (S) thỏa: ° Khoảng cách từ M1 đến (P): ° Khoảng cách từ M2 đến (P): ° Ta có: ° Vậy, điểm M thuộc mặt cầu (S) cần tìm: .