Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài 1: Toạ độ véc tơ, toạ độ điểm trong không gian

BÀI 1: TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN I/ Tọa độ của véctơ 1.Định nghĩa: = (a1;a2;a3) = a1.+a2.+a3 . 2. Tính chất: Cho=(a1;a2;a3) ;=(b1;b2;b3) và k,ta có: = =(a1b1;a2b2;a3b3) k.=(ka1;ka2;ka3) III/. Tọa độ của điểm 1.Định nghĩa:Cho hệ tọa độ Oxy .Với một điểm M tùy ý ,tọa độ của véctơ được gọi là tọa độ của điểm M ;ký hiệu M=(x;y;z) hay M (x;y;z) 2. Tính chất : Cho A(x1 ;y1;z1) và B(x2;y2;z2) thì : a/=(x2-x1 ; y2-y1; z2-z1) b/ Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là:= k.) thì: c/Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là : BÀI 2 TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG I/Tích vô hướng của 2 véc tơ: 1/Định nghĩa: Cho hai véc tơ =(a1;a2;a3), =(b1;b2;b3) tích vô hướng của 2 véc tơ , kí hiệu . được định nghĩa: . = 2/Hệ quả: 2= Þ || = =0 II/Tích có hướng của 2 véc tơ: 1/Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ tuỳ ý =(a1;a2;a3); =(b1;b2;b3). Tích có hướng củ 2 véc tơ và là một véc tơ kí hiệu: được định nghĩa:= 2/Tính chất: , cùng phương khi và chỉ khi = , = III/Một số ứng dụng cuả tích có hướng: 1/Diện tích tam giác : SABC= 2/Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD= 3/Điều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ: Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ , , đồng phẳng là : . = 0 4/Thể tích của hình hộp ABCDA’B’C’D’: VABCDA’B’C’D’ = 5/Thể tích của hình tứ diện ABCD: VABCD = BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 1/Định nghĩa: là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với(P) 2/Chú ý: Cho 2 vétơ , không cùng phương chúng nằm trên 2 đường thẳng song song với mặt phẳng (P)hoặc nằm trên (P). Thì =[, ] là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Khi đó hai véc tơ , gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì cặp , là cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC), =[, ] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). 3/Định nghĩa phương trình mặt phẳng: Trong không gian mỗi phương trình: Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C20 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (hay đơn giản hơn là phương trình mặt phẳng). Chú ý: Mặt phẳng có phương trình: Ax+By+Cz+D = 0 thì =(A;B;C) là một véc tơ pháp tuyến của nó. Mặt phẳng đi qua M(x;y;z) có một véc tơ pháp tuyến là =(A;B;C) có phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0. Mặt phẳng () song song với mp() có phương trình: Ax+By+Cz+D = 0 thì phương trình của mặt phẳng () có dạng : Ax+By+Cz+D’ = 0 Mặt phẳng qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) phương trình là:. Phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng. BÀI 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG II/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng : () : Ax + By + Cz + D = 0 () : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 a/ () cắt () Û A : B : C ¹ A’:B’:C’ b/ () º () Û c/ () // () Û BÀI 7: CHÙM MẶT PHẲNG Cho 2 mặt phẳng : () : Ax + By + Cz + D = 0 (): A’x + B’y + C’z+ D’= 0 1/- Định lý : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của () và () đều có phương trình dạng : l(Ax + By+ Cz + D)+(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (2) () Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của()và() 2/- Định nghĩa : Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng () và () gọi là một chùm mặt phẳng , phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng. BÀI 8: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I/ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng được xem là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau () : Ax + By + Cz + D = 0 và () : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Nên phương trình tổng quát của đường thẳng là : với A2 + B2 + C2 ¹ 0 ; A’2 + B’2 + C’2 ¹ 0 và A : B : C ¹ A’ :B’ : C’ II/ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1/- Véctơ chỉ phương của đường thằng Véctơ ¹được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu đường thẳng chứa song song hoặc trùng với d 2/ Phương trình tham số của đường thẳng Đường thẳng d đi qua điểm Mo (xo;yo;zo) có một vtcp = (a1;a2;a3) phương trình tham số là : , t là tham số III/ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng d đi qua điểm Mo (xo;yo;zo) có một vtcp = (a1;a2;a3) phương trình chính tắc là : (3) với Chú ý : i/ Trường hợp 1 hoặc 2 trong 3 số a1, a2, a3 bằng 0 ta vẫn viết phương trình (3) với quy ước : nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0. ii/ Phương pháp chuyển phương trình từ dạng : a- Tham số ra tổng quát * Chuyển tham số về dạng chính tắc * Từ 2 trong 3 cặp tỷ lệ rút ra 1 phương trình mặt phẳng Þ có 2 mặt phẳng Þ có phương trình đường thẳng dạng tổng quát b- Tổng quát ra tham số : * Cho x = t (hoặc y = t, hoặc z = t) Giải hệ phương trình theo 2 ẩn còn lại theo t , ta có hệ x, y, z theo t là phương trình tham số cần tìm. BÀI 9: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng : Cho 2 đường thẳng: d1 :có véctơ chỉ phương=(a1;a2;a3) d2 :có véctơ chỉ phương=(b1;b2;b3) và M1 (x1, y1, z1) Ỵ d1 ; M2 (x2, y2, z2) Ỵ d2 1/- d1, d2 đồng phẳng Û [,].= 0 * d1 cắt d2 Û * d1 // d2 Û * d1 º d2 Û 2/- d1 chéo d2 Û [,]. 0 II/ Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d : và mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 1/- d cắt () Û Aa1 + Ba2 + Ca3 ¹ 0 () 2/- d // Û 3/- d Ì Û 4/- d ^ Û a1 : a2 : a3 = A : B : C BÀI 10: KHOẢNG CÁCH I/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : Cho Mo (xo;yo;zo) và mp : Ax + By + Cz + D = 0 II/Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm Mo (xo, yo, zo)(D), (D) có véctơ chỉ phương và một điểm M1 . Ta có : III/ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU : Cho hai đường thẳng : Đường thẳng D qua Mo có véctơ chỉ phương Đường thẳngqua M1 có véctơ chỉ phương BÀI 11: GÓC I/ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG : Cho hai đường thẳng D, lần lượt có các véctơ chỉ phương là : =(a1;a2;a3),=(b1;b2;b3) ; = () Ta có : D ^ Û .= 0 Û a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 II/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến =(A; B;C) và đường thẳng (D) có véctơ chỉ phương =(a1; a2; a3). Gọi j là góc giữa (D) và . Ta có : D// hoặc DÌ Û Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0 III/ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG : Cho hai mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D=0có véctơ pháp tuyến =(A;B;C). ():A’x+B’y+C’z+D’=0 có véctơ pháp tuyến =(A’;B’;C’) gọi là góc giữa () và () ta có : cos= BÀI 12: MẶT CẦU I/ Phương trình mặt cầu : 1/- Phương trình mặt cầu (S) tâm I (a;b;c), bán kính R là : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 * Nếu I º 0 thì phương trình mặt cầu là : x2+ y2+z2 = R2 2/- Phương trình : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+d= 0 với a2 + b2 + c2 –d > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I (a;b;c) và bán kính R= II/ Giao của mặt cầu và mặt phẳng : Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 +(y – b)2 +(z– c)2 = R2 tâm I(a;b;c) và mặt phẳng () : Ax+By+Cz+D = 0Gọi H = thì : IH = d (I,) = + Nếu IH < R thì (S) Ç ()= C (H, ) Vậy với < R là phương trình đường tròn . + Nếu IH=R thì () Ç (S)=Þ () là tiếp diện của (S) tại H + Nếu IH > R thì () Ç (S) = f MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 12 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG. 1/ Một số bài toán về tam giác, tứ giác. Chứng minh 3 diểm A, B, C lập thành tam giác. Ta đi tính toạ độ véc tơ , , rồi chứng tỏ chúng không cùng phương Û toạ độ tương ứng chia cho nhau khác nhau họăc [,]¹ Chứng minh tam giác ABC vuông tại A: Ta đi tính toạ độ véc tơ , , rồi chứng tô .. D A Tìm điểm D để tứ giác ABCD lập thành một hình bình hành. Ta đi tính toạ độ véc tơ , để tứ giác ABCD lập thành một hình bình hành thì : C B = Þ toạ độ điểm D Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. H là trực tâm tam giác ABC Û Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Û Tìm toạ độ giao điểm D cuả đường phân giác trong góc A với cạnh BC của tam giác ABC. Ta có điều này chứng tỏ điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k = từ đây tìm được toạ độ điểm D Tìm toạ độ giao điểm E cuả đường phân giác ngoài góc A với cạnh BC của tam giác ABC. Ta có điều này chứng tỏ điểm E chia đoạn BC theo tỉ số k = từ đây tìm được toạ độ điểm E Tính diện tich của một tam giác. SABC = Độ dài đường cao AH. AH= 2/ Một số bài toán về tứ diện. Chứng minh 4 diểm A, B, C, D lập thành tứ diện. Ta đi tính toạ độ véc tơ , , rồi chứng tỏ chúng không đồng phẳng Û [,]. ¹ 0 Tìm toạ độ trực chân đường cao H của tứ diện hạ từ A xuống mp(BCD). Cách I/ H là chân đường cao cần tìm Û Cách II/ Lập phương trình mp(BCD), Phương trình đường thẳng D qua A vuông góc mp(BCD) toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD. Cách I/ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện Û Cách II/ Thế toạ độ của A,B,C,D vào phương trình tông quát dạng khai triển giải hệ 4 phương trình 4 ẩn số A,B,C,D Þ toạ độ tâm là I(-A;-B;-C) Thể tích của tứ diện ABCD : VABCD= Độ dài Đường cao AH của tứ diện ABCD : AH = MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂÛNG 1/ Lập phương trình mặt phăûng qua 3 điểm A,B,C. Chọn điểm đi qua là A, véc tơ pháp tuyến là 2/ Lập phương trình mặt phăûng ( ) qua M(x0;y0;z0) và vuông góc đường thẳng d cho trước. Mặt phẳng () qua M và nhận vtcp của đường thẳng d làm VTPT. 3/ Lập phương trình mặt phăûng () qua M(x0;y0;z0) va øsong song với mp(b): Ax +By+Cz+D=0. Mặt phăûng ()//(b):Ax +By+Cz+D=0 Þ () có VTPT là =(A;B;C). Mặt khác Mp() đi qua M Þ Phương trình của Mp() là : A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0. 4/ Lập phương trình mặt phăûng (g) qua M(x0;y0;z0) và vuông góc với 2 mặt phẳng () và (b) . Mặt phẳng (g) đi qua M và nhận = (A;B) làm véc tơ pháp tuyến. 5/ Lập phương trình mặt phăûng mp () qua M(x0;y0;z0) chứa đường thẳng d: . Phưong trình mặt phẳng () có dạng: m(Ax +By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0. (với m2+n2>0) Thay toạ độ M vào phương trình mp () chọn m.n thích hợp Þ phương trình () . 6/ Lập phương trình mặt phăûng trung trực của AB. Mặt phẳng trung trực nhận làm VTPT và đi qua trung điểm I của AB Þ phương trình Mp () . 7/ Lập phương trình mặt phăûng () qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0), C(0;0;c). Mặt phẳng này là mặt phẳng theo đoạn chắn phương trình là: . 8/ Lập phương trình mặt phăûng () qua M(x0;y0;z0) và song song với đường thẳng (d) và vuông góc với mp(b): Mặt phẳng () qua M nhận làm VTPT. 9/Lập phương trình mặt phăûng chứa đt (d) và song song với đt(D ). TH1: Nếu đt(d) cho dưới dạng tham số. Ta tìm điểm đi qua M và VTCP của (d), VTCP của D . Lập phương trình mặt phẳng qua M có VTPT TH2: Nếu đt(d) cho dưới dạng tổng quát. Lập phương trình mặt phăûng () dưới dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d). Do mp () // D Þ = 0 chọn m,n thích hợp Þ ptr 10 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 và d2: Mặt phẳng () đi qua điểm đi qua của một trong 2 đường thẳng và nhận làm VTPT. 11/ Lập phương trình mặt phăûng () qua M(x0;y0;z0) và song song với 2 đường thẳng d1 và d2.. Mặt phẳng () qua M nhận làm VTPT. 12/ Lập phương trình mặt phăûng () chứa đt D và vuông góc với mp (b) . TH1: Nếu đt D cho dưới dạng tham số. Ta tìm điểm đi qua M và VTCP của (D ), VTPT của (b) . Lập phương trình mặt phẳng () qua M có VTPT TH1: Nếu đt(d) cho dưới dạng tổng quát. Lập phương trình mặt phăûng () dưới dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d) Do mp () (b) Þ = 0 chọn m,n thích hợp Þ ptr 13 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 và d2: Mặt phẳng () đi qua điểm đi qua của một trong 2 đường thẳng và nhận làm VTPT. 14/ Lập phương trình mặt phăûng () qua M(x0;y0;z0) và song song với 2 đường thẳng d1 và d2.. Mặt phẳng () qua M nhận làm VTPT. 15/ Lập phương trình mặt phăûng () đi qua A vuông góc với trục ox. Khi đó () đi qua A có véc tơ pháp tuyến là . 16/ Lập phương trình mặt phăûng () đi qua A, B song song với trục ox. Khi đó () đi qua A có véc tơ pháp tuyến là . 17/ Lập phương trình mặt phăûng () đi qua A song song với mp(oxy) . Khi đó () đi qua A có véc tơ pháp tuyến là . 18/ Lập phương trình mặt phăûng () đi qua A, B vuông góc với mp(oxy) . Khi đó () đi qua A có véc tơ pháp tuyến là . MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THĂÛNG 1/ Đưa từ phương trình tổng quát thành phương trình tham số, chính tắc: Cách 1: B1:Tìm một điểm đi qua bằng cách cho x hoặc y hoặc z một giá trị tuỳ ý giải hệ còn lại Þ toạ độ điểm đi qua. B2: Tìm một véc tơ chỉ phương là tích có hướng của 2 véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng chứa đường thẳng đó. B3: viết phương trình tham số và chính tắc Cách 2: Đặt x=t thế vào phương trình tổng quát, rồi giải tìm x, y theo t. giả sử x=(t), y= Þ phương trình tham số là: 1/ Đưa từ phương trình phương trình tham số, chính tắc về tổng quát : Rút t trong phương trình tham số cho bằng nhau Þ phương trình chính tắc: Þ phương trình tổng quát là: MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THĂÛNG 1/ Lập phương trình đường thăûng D qua 2 điểm A, B. Đường thẳng D qua A và nhận làm VTCP. 2/ Lập phương trình đường thăûng qua điểm A và vuông góc với mặt phẵng () . Đường thẳng D qua A và nhận vtpt làm VTCP. 3 / Lập phương trình đường thăûng D qua điểm A và song song với giao tuyến của 2 mp () , mp (b) . Đường thẳng D qua A và nhận làm VTCP. 4 / Lập phương trình đường thăûng D qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2. Lập phương trình mp () qua A và d1. Lập phương trình mp (b) qua A và d2. D là giao tuyến của () và (b) Þ phương trình của () là Giải xong thử lại xem D có cắt d1, d2 không? Chú ý: Nếu d1, d2 cho dưới dạng tổng quát thì nên lập phương trình của () , (b) dùng phương trình chùm 5/ Lập phương trình đường thăûng D qua A vuông góc và cắt đt d. Lập phương trình Mp () qua A nhận vtcp của d làm vtpt . Lập phương trình Mp (b) qua A chứa d. D là giao tuyến của () và (b) Þ phương trình của () là 6/ Lập phương trình đường thăûng D nằm trong mp () và cắt hai đường thẳng d1, d2. Tìm giao điểm A của d1 và (). Tọa độ của A là nghiệm của hệ Tìm giao điểm B của d2 và ().Tọa độ của B là nghiệm của hệ Phương trình đường thẳng D là Pt đường thẳng AB. 7/ Lập phương trình hình chiếu của đường thăûng D trên mặt phẳng (). Lập phương trình mặt phẳng (b) chứa D và vuông góc () . Phương trình hình chiếu là hệ phương trình 8/ Lập phương trình đường thăûng D song song với d1 cắt d2 và d3 . Lập phương trình mp () chứa d2 và song song với d1. Lập phương trình mp (b) chứa d3 và song song với d1. Phương trình đt D là hệ phương trình 9/ Lập phương trình đường thăûng Dlà đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d1 cắt d2. D là dường vuông góc chung của d1 và d2 Þ vtcp của D là Lập phương trình mp () chứa d1 và D . mp () đi qua điểm M của d1 nhận làm VTPT . Lập phương trình mp (b) chứa d2 và D . mp (b) đi qua điểm N của d2 nhận làm VTPT . Phương trình đt D là hệ phương trình 10/ Lập phương trình đường thăûng D qua giao điểm của mp () và d nằm trong () vuông góc với D . Tìm giao điểm A của d và (). Toạ độ của A là nghiệm của hệ Lập phương trình mặt phẳng (b) đi qua A và vuông góc với d . Phương trình đt D là hệ phương trình 11 / Lập phương trình đường thăûng qua D qua M vuông góc với d1, và cắt d2. Lập phương trình mặt phẳng () qua M vuông góc với d1. Lập phương trình mp (b) qua M chứa d2. Phương trình đt D là hệ phương trình 12 / Lập phương trình đường thăûng D vuông góc với () và cắt d1 và d2. Lập phương trình mp (b) chứa d1 và vuông góc với () . Lập phương trình mp (g ) chứa d2 và vuông góc với (). Phương trình đt D là hệ phương trình 13/ Lập phương trình đường thăûng D qua M vuông góc với 2 đường thẳng d1 và d2. Khi đó D qua M và nhận làm VTCP 14/ Lập phương trình đường thăûng D qua M song song với mp() và vuông góc với đt (d). Lập phương trình mặt phẳng (b) qua M song song với mp () . Lập phương trình mp(g ) qua M vuông góc với D . Phương trình đt D là hệ phương trình MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM VÀ TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG 1/ Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng D . B1: Viết phương trình mặt phẳng () qua M vuông góc với D . B2:Tìm giao điểm H của D và mp() Þ H là hình chiếu của M trên D Chú ý: Tìm giao điểm của đường thẳng D và mặt phẳng () ta thường làm như sau: CI: Nếu phương trình D là phương trình tham số. Ta thay x, y, z vào phương trình mặt phẳng tìm t. Thay t ngược lại vào phương trình đường thẳng Þ toạ độ giao điểm. CII: Nếu phương trình D là phương trình tổng quát ta giải hệ 3 phương trình ba ẩn số (giải bằng máy tính) Þ toạ độ của giao điểm 2/ Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng () . B1: Viết phương trình đường thẳng D qua M vuông góc với mp(). B2:Tìm giao điểm H của D và mp() Þ H là hình chiếu của M trên D. 3/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng D . B1: Viết phương trình mặt phẳng () qua M vuông góc với D . B2:Tìm giao điểm I của D và mp(). B3: M’ là điểm đối xứng của M qua () thì I là trung điểm của MM’ Þ toạ độ của M’ là: 4/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng () . B1: Viết phương trình đường thẳng D qua M vuông góc với mp(). B2:Tìm giao điểm I của D và mp(). B3: M’ là hình chiếu của M qua () thì I là trung điểm của MM’ Þ toạ độ của M’ là: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1/ Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng : () : Ax + By + Cz + D = 0 () : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 Nếu () cắt () Û A : B : C ¹ A’:B’:C’ Nếu () º () Û Nếu () // () Û 2/ Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng: B1: Tìm VTCP, điểm đi qua của d1: Giả sử d1 có 1 véc tơ chỉ phương=(a1;a2;a3) và một điểm đi qua là M1 (x1, y1, z1). Tìm VTCP, điểm đi qua của d2: Giả sử d2 có véctơ chỉ phương=(b1;b2;b3) và một điểm đi qua là M2 (x2, y2, z2). B2: Tính [,], * d1 chéo d2 Û [,]. 0 * d1 cắt d2 Û * d1 // d2 Û * d1 º d2 Û 3/ Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d : và mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 1/- d cắt () Û Aa1 + Ba2 + Ca3 ¹ 0 () 2/- d // Û 3/- d Ì Û 4/- d ^ Û a1 : a2 : a3 = A : B : C MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Phương pháp giải: Cách I: Biến đổi phương trình về dạng : (x – a )2 + ( y -b)2 + (z – c ) =R2 mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R. Cách II: Đồng nhất phương trình đã cho với phương trình : x2+y2 + z2 +2Ax + 2By + Cz + D = 0 tìm được A,B,C,D nếu A2+B2+C2 -D ³ 0 Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C), bán kính R= Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của mp () với mặt cầu C. Phương pháp giải: B1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (C). B2: Xác định các vị trí tương đối nhờ: Nếu d(I,() ) = R () tiếp xúc (C). Nếu d(I,() ) > R () và (C) không có điểm chung. Nếu d(I,() ) < R () cắt (C) bằng một mặt cầu. phương trình là: Dạng 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu giao tuyến của một mặt phăûng () và một mặt cầu C (I,R). Phương pháp giải: Lập phương trình đường thẳng D qua I vuông góc với Mp () . (lập phương trình tham số.) Tâm H của mặt cầu giao tuyến là giao điểm của D và mp () Toạ độ H là nghiệm của hệ. Bán kính mặt cầu giao tuyến là: r = Dạng 4: Xác định tiếp điểm của một mặt phăûng () và một mặt cầu C (I,R). Phương pháp giải: Lập phương trình đường thẳng D qua I vuông góc với Mp () . (lập phương trình tham số.) Tiếp điểm H của mp() và mặt cầu C (I,R) là giao điểm của D và mp (). Toạ độ H là nghiệm của hệ. Dạng 5 : Lập phương trình mặt cầu Phương pháp chung: C1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu rồi lập phương trình tổng quát. Nếu tâm I (a; b; c), bán kính R phương trình mặt cầu là : (x – a )2 + ( y -b)2 + (z - c)2 =R2 . C2: Tìm A, B, C, D rồi lập phương trình tổng quát dạng khai triển là x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Một số bài toán cụ thể thường gặp: Lập phương trình mặt cầu tâm I, đi qua M. Bán kính chính là khoảng cách từ tâm I tới điểm M Lập phương trình mặt cầu đường kính AB khi biết toạ độ A và B. Tâm là trung điểm I của đoạn AB. Bán kính R= AI= Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với một mặt phẳng () cho trước. Bán kính mặt cầu là R= d(I, () ). Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với đường thẳng D cho trước. Bán kính mặt cầu là R= d(I, D ). Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C,D ( Hay ngoại tiếp tứ diện ABCD). CI/ Thế toạ độ của A, B, C, D lần lượt vào phương trình: x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Ta được hệ 4 phương trình 4 ẩn số giải hệ này bằng cách rút một ẩn từ một phương trình thế vào các phương trình còn lại. Rồi giải hệ 3 phương trình 3 ẩn Þ các hệ số A , B, C, D phương trình mặt cầu. CII/ Gọi I(x;y;z) là tâm hình cầu giải hệ Þ toạ độ tâm I, bán kính R= AI Þ phương trình mặt cầu. Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp () . Phương trình Mặt cầu có dạng: x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Thế toạ độ của A, B, C vào phương trình mặt cầu, thế tâm I(-A,-B,-C) vào phương trình mặt phẳng () . Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn tìm A, B, C, D Þ phương trình. Lập phương trình mặt cầu(S) tâm I cắt d tại 2 điểm A, B sao cho AB=l. Bán kính của mặt cầu là R= Lập phương trình mặt cầu(S) đi qua điểm A(x0;y0;z0) và đi qua đường tròn Phương trình mặt cầu (S) có dạng: l (x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D) + m(mx+ny+pz+q)= 0. (1)Với l2+m2>0. Thế toạ độ của A vào (1) rồi tìm l, m thích hợp Þ phương trình mặt cầu. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1/ Bài 1 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A ( 1 , 2 , 2 ) , B ( 2 , 0 , -2 ) và mặt phẳng (P) : 3x + y + 2z – 1 = 0. a/ Tìm toạ độ giao diểm M của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). c/ Tìm toạ độ điểm A / đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng (P). e/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 2/ Bài 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho : Đường thẳng (D) : Mặt phẳng (P) : x + y + z – 7 = 0. a/ Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và mặt phẳng (P). b/ Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (D) lên mặt phẳng (P). c/ Viết phương trình đường thẳng () đi qua diểm M (1 , -2 , 2 ) cắt trục Ox và cắt đường thẳng (D). 3/ Bài 3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d) : (d/) : a/ Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d) và (d/) chéo nhau . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d) và (d/). b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song đường thẳng (d/). c/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d) và (d/). 4/ Bài 4 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng : : a/ Chứng minh rằng và () chéo nhau. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) , biết tiếp diện đó song song với hai đương thẳng và (). 5/ Bài 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( 1 , -1 ,2) , B ( 1 , 3 , 2 ) , C ( 4 , 3 , 2 ) , D ( 4 , -1 , 2 ).